Radiacion: dipolo electrico

DIPOLO ELECTRICO

Un dipolo eléctrico está conformado por un par de cargas eléctricas de igual magnitud pero de signos opuestos $Q$ y $-Q$ separadas por una distancia $2d$ generalmente muy pequeña, como se muestra en la siguiente figura. Son sistemas físicos muy importantes pues desde las moléculas hasta las antenas de televisión pueden ser descritos como tales.

Una cantidad con que se caracterizan los dipolos eléctricos es la denominada momento dipolar eléctrico expresado como el producto entre la carga eléctrica $Q$ y la distancia de separación entre cargas $d$. Es una cantidad vectorial dirigida de la carga negativa a la positiva.

Es costumbre tomar la distancia entre cargas como $2d$ y medir la distancia $r$ desde el centro de separación entre cargas. Junto con el campo eléctrico hay asociado un potencial eléctrico el cual está dado por:

$V={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}})$

expresamos $r_{1}$ y $r_{2}$ en funcion de $r$ y $q$, que es la posicion del punto $p$ expresada en coordenadas polares

$r_{1}^{2}=r^{2}+d^{2}+2rd\cos \theta$

$r_{2}^{2}=r^{2}+d^{2}-2rd\cos \theta$

teniendo en cuenta que $d$ es pequeño frente a $r$ podemos obtener una buena aproximacion empleando el desarrollo en serie

${\frac {r}{r_{1}}}=\left(1+{\frac {d^{2}}{r^{2}}}+{\frac {2d}{r}}\cos \theta \right)^{\frac {-1}{2}}\thickapprox 1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}}{r^{2}}}+{\frac {2d}{r}}\cos \theta \right)+{\frac {3}{8}}\left({\frac {d^{2}}{r^{2}}}+{\frac {2d}{r}}\cos \theta \right)^{2}+....$

despreciando los terminos de orden superior a ${\frac {d^{2}}{r^{2}}}$

${\frac {r}{r_{1}}}\thickapprox 1-{\frac {d}{r}}\cos \theta +{\frac {d^{2}}{2r^{2}}}(3\cos ^{2}\theta -1)$

${\frac {r}{r_{2}}}\thickapprox 1+{\frac {d}{r}}\cos \theta +{\frac {d^{2}}{2r^{2}}}(3\cos ^{2}\theta -1)$

Que en función de la distancia $r$ y del ángulo θ se expresa por:

$V={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}r}}({\frac {r}{r_{2}}}-{\frac {r}{r_{1}}})\approxeq {\frac {2Qd}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\cos \theta$

Esta expresión es válida para d pequeña y para $r_{1\approxeq }r_{2}$

Y puede simplificarse utilizando el concepto del momento dipolar. Primero se identifica el segmento vectorial dirigido de $-Q$ a $+Q$ con la letra $d$, luego se define el momento dipolar como $Qd$ y se le asigna el simbolo $p$. De manera que, $p=Qd$

Y como $d\cdot a_{r}=d\cos \theta$ se obtiene entonces

$V={\frac {p\cdot a_{r}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$

Obsérvese que el potencial disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia $r$ en vez de la inversa de distancia $r$ como es el caso de una carga puntual.

Ahora bien, como se sabe el campo electrico esta dado por: $E=-\nabla V$

y si se utiliza esta ecuación en coordenadas esféricas, $E=-\nabla V=-({\frac {\partial V}{\partial r}}{\hat {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}{\hat {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}{\hat {e_{\phi }}})$

se obtiene

$E=-(-{\frac {Qd\cos \theta }{2\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\hat {e_{r}}}-{\frac {Qd\sin \theta }{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\hat {e_{\theta }}})$

$E={\frac {Qd}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {e_{r}}}+\sin \theta {\hat {e_{\theta }}})$

haciendo valer $\theta =0$ obtenemos el caso del campo electrico para una sola carga

La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia $r$.

A continuación aplicamos estos conceptos al caso de antenas de dipolo.

RADIACION POR UN DIPOLO ELECTRICO

La radiación procedente de una antena de dipolo se denomina radiación dipolar eléctrica. Muchas ondas electromagnéticas presentan las características de la radiación dipolar eléctrica. Una característica importante de este tipo de radiación es que la intensidad de la onda electromagnética radiada por una antena dipolar es cero a lo largo del eje de la antena y máxima en las direcciones perpendiculares al eje de la misma.

El esquema de una antena dipolar eléctrica, consta de dos varillas conductoras dobladas que se alimentan mediante un generador de corriente alterna. En el instante t = 0, los extremos de las varillas se encuentran cargados y existe un campo eléctrico cerca de las varillas paralelo a ellas. También existe un campo magnético que rodea las varillas y que se debe a la corriente que circula por ellas. Estos campos se mueven alejándose de las varillas con la velocidad de la luz. Al cabo de un cuarto de periodo a t = T/4, las varillas se encuentran descargadas y en sus proximidades el campo eléctrico es nulo. Para t = T/2, las varillas se encuentran cargadas de nuevo, pero las cargas son opuestas a las que había en t = 0. Los campos eléctrico y magnético a grandes distancia de esta antena transmisora son muy diferentes de los que existen cerca de la misma. Lejos de la antena, los campos eléctrico y magnético oscila en fase con un movimiento armónico simple, perpendicular el uno del otro y a la dirección de propagación de la onda. La siguiente figura muestra los campos eléctricos y magnéticos lejos de una antena dipolar eléctrica.

Para determinar el campo electromagnético de un dipolo elemental se siguen los siguientes tres pasos:

1. Determinar el potencial Magnético A de una distribución de corriente J

siendo J una distribución de corriente conocida o supuesta en la antena.

2. Encontrar el campo magnético a partir de A

3. Encontrar el campo eléctrico

Donde

Este potencial magnético A se debe pasar a coordenadas esféricas:

Después de hallado el potencial magnético podemos hallar el campo magnético:

Después de hallado el campo magnético podemos hallar el campo eléctrico:

Al considerar el desarrollo multipolar de una distribución cualquiera de corriente y, tomando en cuenta la ecuación de continuidad (conservación de carga), se puede obtener como valor para el potencial dipolar eléctrico (${\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}_{de}$), la expresión:

${\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}_{de}=-{\frac {{\mathit {i}}\mu _{0}\omega {\boldsymbol {p}}_{0}e^{i(kr-wt)}}{4\pi r}}=-{\frac {{\mathit {i}}\mu _{0}\omega {\boldsymbol {p}}_{0}e^{i(kr-wt)}}{4\pi r}}(\cos \theta {\hat {r}}-\sin \theta {\hat {\theta )}}$

Y la expresión para el campo dipolar eléctrico, a partir del vector potencial se calcula

$div{\boldsymbol {A}}=\nabla \centerdot {\boldsymbol {A}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {V}}{\partial t}}$

Si

$V=(-i{\frac {c^{2}}{\omega }}\nabla \centerdot {\overrightarrow {{\boldsymbol {A}})}}$

Sustituimos en la ecuacion para el campo electrico

${\overrightarrow {\boldsymbol {E}}}=-\nabla {V}+i\omega {\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}=-\nabla (-i{\frac {c^{2}}{\omega }}\nabla \centerdot {\overrightarrow {\boldsymbol {A}}})+i\omega {\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}$

mediante la identidad que dice que

$\nabla \times \nabla \times {\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}+\nabla ^{2}{\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}=\nabla (\nabla \centerdot {\overrightarrow {{\boldsymbol {A}})}}$

llegamos a

$=i{\frac {c^{2}}{\omega }}(\nabla \times \nabla \times {\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}+\nabla ^{2}{\overrightarrow {\boldsymbol {A}}})+i\omega {\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}$

Si utilizamos la fórmula ${\overrightarrow {\boldsymbol {B}}}=\nabla \times {\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}$

la ecuación anterior se reduce a

$=i({\frac {c^{2}}{\omega }})[\nabla \times {\overrightarrow {\boldsymbol {B}}}+\nabla ^{2}{\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}+({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}){\overrightarrow {\boldsymbol {A}}}]$

y como esta ecuación satisface la ecuación de onda tenemos que

$=i({\frac {c^{2}}{\omega }})[\nabla \times {\overrightarrow {\boldsymbol {B}}}]$

En donde ${\overrightarrow {\boldsymbol {B}}}=-{\frac {\mu _{0}k^{2}\omega {\boldsymbol {p}}_{0}}{4\pi }}[{\frac {1}{kr}}+{\frac {i}{(kr)^{2}}}]\sin \theta e^{i(kr-\omega t)}{\hat {\phi }}$

Haciendo la sustitución y resolviendo, llegamos a

${\overrightarrow {\boldsymbol {E}}}=-{\frac {k^{3}{\boldsymbol {p}}_{0}}{4\pi \epsilon _{0}}}\{[{\frac {2i}{(kr)^{2}}}-{\frac {2}{(kr)^{3}}}]\cos \theta {\hat {r}}+[{\frac {1}{kr}}+{\frac {1}{(kr)^{2}}}-{\frac {1}{(kr)^{3}}}]\sin \theta {\hat {\theta }}\}e^{i(kr-\omega t)}$

Para la zona de radiación $kr>>1$, por lo que de los sumandos para los campos ${\boldsymbol {E}}$ y ${\boldsymbol {B}}$, sólo son apreciables los que corresponden a potencias tipo $1/r$

${\boldsymbol {\overrightarrow {E}}}_{RAD}\approx -{\frac {k^{2}{\boldsymbol {p}}_{0}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}\sin \theta e^{i(kr-\omega t)}{\hat {\theta }}$

Estas ecuaciones de campo magnético y campo eléctrico corresponden a un dipolo de longitud finita. Estas expresiones son bastante complicadas, sin embargo en los problemas de antenas lo que mas interesa son los campos a distancias muy lejanas de la antena, es decir, regiones donde $r>>o$. En estas circunstancias (en las zonas lejanas) podemos despreciar los términos ya que tienden a cero.

Finalmente los campos se reducen a:

<math>E_{\theta}=-\frac{Pk}{r}\sin\theta e^{i(kr-\omega t)}\hat{\theta}<math>

<math>H_{\phi}=-\frac{Pk}{r}\sin\theta e{}^{i(kr-\omega t)}\hat{\phi}<math>