Diferencia entre revisiones de «Radiacion: antenas»

De luz-wiki
Sin resumen de edición
Línea 79: Línea 79:




Por lo tanto <math>\nabla\cdot(x'\mathbf{J})=\mathbf{J}_{x'}+x'(\nabla\cdot\mathbf{J})</math>.  
Por lo tanto <math>\nabla\cdot(x'\mathbf{J})=J_{x'}+x'(\nabla\cdot\mathbf{J})</math>.  





Revisión del 02:04 14 dic 2009

Introducción

En esencia, una antena es un sistema conductor metálico capaz de radiar y recibir ondas electromagnéticas, y una guía de onda es un tubo metálico conductor por medio del cual se propaga energía electromagnética de alta frecuencia, por lo general entre una antena y un transmisor, un receptor, o ambos.


Electromagnetismo en las antenas

El comportamiento de las ondas electromagnéticas y de cómo se desplazan en el medio queda expresado analíticamente por medio de las ecuaciones de Maxwell[1], que se transcriben a continuación:





Para nuestro caso, las ondas electromagnéticas se propagan en el espacio libre y se tiene y la ecuación (1) se reduce a:


Por lo tanto, la ecuación (4) se cumple si el campo magnético se expresa como el rotacional de un potencial, al cual se le asigna el nombre de potencial vectorial .

Como la divergencia de un rotacional es cero, se puede establecer entonces:

donde es la permeabilidad magnética.

De la misma manera, se establece una relación entre el campo eléctrico y el potencial escalar . En este caso se tiene sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (2),


Factorizando los rotacionales:


Esta ecuación indica que el campo es conservativo, ya que su rotacional es cero, y en este caso se puede expresar como menos el gradiente de un potencial escalar , donde el signo menos indica que la fuerza decrece con la distancia.

Tenemos entonces:

O sea,


El campo eléctrico se expresa a través de un potencial vectorial y otro escalar .

Campos y radiación de una fuente oscilante localizada

Si consideramos que los potenciales, los campos y la radiación debidos a un sistema de cargas y corrientes varían sinusoidalmente con el tiempo


La solución para el potencial vectorial es:


La integral puede ponerse en forma más familiar si se integra por partes:


Recordemos que:


Pero .


Por lo tanto .


En consecuencia


Donde el primer término es , y como esta dentro del volumen V, es cero en la superficie.


Por lo tanto


Entonces la ec (10) nos queda:


Para encontrar la ecuación de continuidad, tomamos


Ahora, haciendo uso de la divergencia en esta última ecuación, tenemos


Pero


Entonces nos queda


O sea:

, pero de la ecuación (8) obtenemos


Sustituyendo este resultado en la ecuación (10), nos queda:


Así que el vector potencial se puede escribir como:


en donde es el momento dipolar eléctrico.

Dipolo

Un dipolo corto es un dipolo que esta formado por dos conductores de longitud total muy pequeña comparada a la longitud de onda . Los dos conductores están alimentados en el centro del dipolo. Esta vez se toma como hipótesis que la corriente es máxima en el centro del dipolo (en donde está alimentada) y que decae linealmente hacia cero a las extremidades del dipolo.

Hay que notar que la corriente circula en la misma dirección en los dos brazos del dipolo: hacia la derecha en los dos o hacia la izquierda en los dos.

El dipolo corto se diferencia del de Hertz por la distribución no uniforme de la corriente a lo largo de su longitud. No obstante, la teoría del dipolo de Hertz permite descubrir las propiedades del dipolo simétrico.

En particular, en el dipolo simétrico varía la distancia entre las secciones simétricas del conductor y sus parámetros lineales a medida que nos vamos alejando de las terminales del generador.

Dipolo infinitesimal

Un cable lineal infinitesimal se sitúa simétricamente en el origen del sistema de coordenadas y se orienta a lo largo del eje . El cable, además de ser muy pequeño , es muy delgado. La corriente se asume como constante y esta dada por

donde

Distribución de corriente en una antena

El movimiento de las cargas crea una corriente de onda que viaja, con magnitud , a lo largo de cada uno de los cables. Cuando la corriente llega el final de cada uno de los cables, experimenta una reflexión (de igual magnitud).

Si el diámetro de cada cable es muy pequeño, el patrón de onda estacionaria de la corriente a lo largo de los brazos del dipolo es sinusoidal con un valor nulo al final. La corriente de un dipolo es muy pequeña y puede ser aproximada por una distribución triangular desde donde es muy pequeño. Esto se puede ver en la Figura 2.


Dipolo corto

El arreglo geométrico más conveniente para el análisis de un dipolo es generalmente hacerlo simétricamente sobre el origen con su longitud dirigida a lo largo del eje , tal como se muestra en la Figura (2). Esto no es necesario, pero por lo general es la forma más simple. Por lo tanto la distribución de corriente esta dada por


donde es constante

La primera derivada del momento dipolar de un sistema de cargas

Sistema de cargas

Haciendo ahora los vectores fijos y haciendo cambiar las cargas con respecto al tiempo. Un ejemplo sencillo de esta situación se muestra en la fig (2) donde podemos considerar la variación temporal de las cargas como equivalentes al flujo de corrientes entre y . Así,

Fig 2

Según la ecuación de continuidad (11), la densidad lineal de carga es constante a lo largo de cada brazo de la antena, y tiene el valor:


el signo superior corresponde a los valores positivos de y el inferior a los negativos. El momento dipolar es paralelo al eje y tiene el valor:


La distribución angular de potencia radiada es

mientras que la potencia radiada total es

Vemos que para una corriente de excitación, la potencia radiada aumenta con el cuadrado de la frecuencia.

Antena Lineal

Consideremos una antena como se muestra en la Fig (2). Esta antena consta de dos cables, cada uno con longitud con una pequeña separación entre ellos con el fin de aplicar una señal sinusoidal.

La densidad de corriente puede escribirse:

Archivo:ANTENA LINEAL.jpg
Fig (2) Antena Lineal

donde la señal de entrada es:

y la densidad de corriente puede escribirse:


para . Las funciones delta nos garantizan que la corriente fluye solamente a lo largo del eje , es el valor máximo de la corriente si . El valor de la corriente en el centro es, por tanto,

Para calcular las propiedades del campo de radiación producido por esa antena, iniciaremos con la expresión general para el vector potencial:


El vector de inducción magnética esta dado por la expresión:


Expandiendo el rotacional y despreciando el término grad(1/r) ya que no contribuye a la radiación, obtenemos

donde


Ahora haciendo uso de la ecuación (b), escribimos


Por lo tanto,


sustituyendo este resultado en la ecuación (26) obtenemos


haciendo la sustitución de por es permitible en una aproximación de , donde r es una constante. Así



Este resultado solo depende de la suposición de que en el punto el el que se mide esta lejos de la fuente.

Regresando a la ecuación (24) y escribiendo explícitamente la dependencia del tiempo, obtenemos


.


Ahora por la ley de los cosenos.

Donde asumimos , expandiendo esta expresión obtenemos


Archivo:LEY DE LOS COSENOS.jpg
Fig (3) LEY DE LOS COSENOS

El denominador de la ecuación (33) se puede aproximar simplemente por

Ahora la ecuación (24) se reduce a

Ahora la cantidad en el denominador de la ecuación (32) se puede aproximar simplemente por r.

por lo que

puesto que tiene una sola componente, en la dirección , . Por lo tanto, para la ecuación , obtenemos

Ahora tiene una dependencia sinusoidal respecto al tiempo, de modo que el promedio al cuadrado de es

El tiempo promedio en que el vector de Poyting contribuye a la radiación es

y el promedio de energía radiada por unidad de ángulo sólido es

a distribución angular depende del valor de . En el límite de las longitudes de onda larga (kd«1), se reduce al caso del dipolo. Para los valores particulares , , que corresponden a una (dos) semilongitudes de onda, de oscilación de la corriente a lo largo de la antena, las distribuciones angulares son


Apéndice

Operadores DIferenciales Vectoriales




Teoremas de integrales

Integral por partes


Teorema de la divergencia (Teorema de Gauss)


Teorema de Stokes


Demostración detallada para el vector potencial


Ahora, sacando factor común de la raíz


Hasta aquí no hay aproximación alguna. Observamos que en el último factor tenemos 1 más algo mucho más pequeño que la unidad (pues ). La fórmula general del binomio de Newton nos dice que si


Aplicando esto al resultado anterior


pero de hecho, el segundo de los dos sumandos del paréntesis también es de orden , por lo que podemos despreciarlo y reducir el desarrollo a


El segundo paso es sustituir esto en la expresión del potencial vector. Nos queda


La primera de estas dos integrales es el desplazamiento neto al recorrer una curva cerrada, por lo que se anula identicamente,