Radiacion: Potencial de Lienard Wiechert

Potenciales Retardados

El potencial escalar y el potencial vectorial para campos estáticos se puede calcular con las ecuaciones:

$\Phi (r)=\int \limits _{v}{\frac {\rho (r')}{|r-r'|}}\,\mathrm {d} v'$...$\left(1\right)$

$\mathbf {A} (r)={\frac {1}{c}}\int \limits _{v}{\frac {J(r')}{|r-r'|}}\,\mathrm {d} v'$...$\left(2\right)$

En estas ecuaciones esta explícitamente indicado que el potencial será evaluado en la posición designada por el radio vector $\mathbf {r}$. La distancia entre el punto de integración $r'$ y el punto en que serán evaluados $\Phi$ y $\mathbf {A}$ es $|r-r'|$ y $dv'$ es el elemento de volumen en $\mathbf {r'}$

Consideremos el cálculo del potencial escalar en una posición R al tiempo t. No podemos calcular $\Phi (r,t)$ de (1) si las cargas están en movimiento arbitrario por que el campo eléctrico asociado con las cargas se propaga a una velocidad finita c. Para ello debemos saber la posición de las cargas, no a un tiempo t, si no a un tiempo anterior $t-|r-r'|/c$ el cual corresponde a los tiempos en el cual los campos eléctricos fueron emitidos de las cargas en las posiciones indicadas por r' para llegar a r al tiempo t. Los cálculos de los campos individuales deben realizarse a tiempos retardados:

tiempo retardado $=t-{\frac {|\mathbf {r-r'|} }{c}}$

Consideremos una carga puntual moviéndose a lo largo de la trayectoria descrita por el radio vector $\mathbf {r} _{e}(t')$ como se muestra: Para una carga puntual, la localización es una función delta en el tiempo,

Partícula cargada en movimiento circular

Supongamos que tenemos una partícula cargada en una órbita circular (radio $\rho$), entonces tenemos que la aceleración es perpendicular a la velocidad $\alpha =\rho \omega ^{2}$ ${\displaystyle }$ El campo eléctrico de aceleración esta dado por:

$\mathbf {E_{a}} ={\frac {e}{\epsilon c}}{\frac {\mathbf {n\times (b\times \alpha )} }{(1-\mathbf {\beta \cdot n} )^{3}R}}$

Usando coordenadas esféricas las componentes del vector R en cartesianas quedas como:

$x=r\cos \theta \cos \phi$

$y=r\sin \theta \cos \phi$

$z=r\sin \phi$