Radiacion: Esparcimiento

Esparcimiento

Cuando una onda electromagnética incide en un átomo o molécula interactúa con la nube electrónica ligada, impartiendo energía al átomo. .

figura 1. Esparcimiento de la luz en el cielo

El efecto puede ser imaginado como si el átomo fuese puesto a vibración. Los electrones en movimiento a su vez radián en distintas direcciones, ya que una onda acelerada puede emitir ondas electromagnéticas. Este proceso de re radiación es conocido como esparcimiento.

La luz del sol que fluye en la atmósfera desde una dirección es esparcida en todas las direcciones por las moléculas de aire. Sin una atmósfera, el cielo diurno aparecería tan negro como el espacio vacío. Un observador entonces solamente vería la luz que brillara directamente hacía el. Con una atmósfera, el extremo rojo del espectro no se desvía mientras que el extremo azul o de alta frecuencia se esparce substancialmente. Esta luz de alta frecuencia llega al observador desde muchas direcciones haciendo que le cielo entero aparezca brillante y azul (figura 1).

El humo que sube del extremo de un cigarro encendido está formado por partículas que son más pequeñas que la longitud de onda de la luz y por lo tanto aparece azul cuando se ve contra un fondo oscuro. Por el contrario, el humo exhalado contiene gotitas de agua relativamente grandes y aparece blanco.

Las partículas que son aproximadamente del tamaño de una longitud de onda (recordemos que los átomos tienen un tamaño de aproximadamente una fracción de nanómetro) esparcen la luz de una forma muy distintiva. Una distribución importante de tales partículas de igual tamaño puede dar lugar a una gama entera de colores transmitidos.

Una manifestación hermosa de esparcimiento por electrones libres es la corona solar. La corona es una tenue atmosfera exterior del Sol. Incluso cerca del sol la corona contiene aproximadamente $10^{9}$ átomos de hidrógeno por centímetro cúbico. La corona no es por sí misma luminosa y por lo tanto no puede ser vista por su luz emitida. Es visible, sin embargo, por virtud de el factor que sus electrones esparcen la luz emitida por la fotosfera solar.

La figura 1 muestra la luz coronal durante un eclipse total cuando la luz directa del sol es eliminada en gran medida de la vista del observador.

Figura 2.Corona solar

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Radiación por una carga acelerada

Para el caso de una carga acelerada se cumplen las siguientes ecuaciones >.

Archivo:Dipolo eléctrico oscilante.jpg

Figura 3. Orientaciones del campo eléctrico para un dipolo eléctrico oscilante

$\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\frac {q\mathbf {a} _{\perp }\left(t^{\prime }\right)}{4\pi \epsilon _{0}rc^{2}}}\;volt\,m^{-1}\qquad (1)$

$\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ,t\right)={\frac {{\hat {r}}\times \mathbf {E} \left(\mathbf {r} ,t\right)}{c}}\;webers\,m^{-2}\qquad (2)$

$\mathbf {S} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{\mu _{0}}}\;watt\,m^{-2}\qquad (3)$

Suponemos $\theta$ es el ángulo entre la dirección instantanea del vector de aceleración $\mathbf {a}$ y la dirección de propagación de la onda $\mathbf {r}$. Entonces

$E\left(r,t\right)=-{\frac {qa\left(t^{\prime }\right)\sin \theta }{4\pi \epsilon _{0}rc^{2}}}\qquad (4)$

Mostrando que para un radio $r$ fijo el campo eléctrico varía como $\sin \theta$. Así $E$ y $B$ tienen valores máximos en 90 grados a la dirección de aceleración y valor cero a lo largo de la dirección de aceleración.

Al insertar la ecuación

$|\mathbf {S} \left(r,t\right)|={\frac {q^{2}a^{2}\left(t^{\prime }\right)\sin ^{2}\theta }{16\pi ^{2}\epsilon _{0}r^{2}c^{3}}}\qquad (5)$

La potencia total radiada por una partícula cargada acelerada no relativista es obtenida por la integración del flujo de Poynting sobre el área de una esfera cuyo origen coincide con la posición instantánea de q,

$P(t)=\int _{0}^{\pi }|\mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)|2\pi r^{2}\sin \theta d\theta \qquad (6)$

$P(t)={\frac {q^{2}a^{2}}{8\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\int \sin ^{3}\theta d\theta \qquad (7)$

La integral sobre $\sin ^{3}\theta$ es igual a ${\frac {4}{3}}$ tal que

$P(t)={\frac {q^{2}a^{2}\left(t^{\prime }\right)}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\;watt\qquad (8)$

Esparcimiento por electrones libres

Para calcular la cantidad de luz esparcida, comenzaremos por considerar un solo electrón de carga q y masa m. Este es estacionario, excepto en la medida en que vibra bajo la influencia de un onda plana monocromática cuyo campo eléctrico esta dado por: >.

figura 1. Un electrón de carga q iluminada por una onda plana linealmente polarizada

$E_{x}=E_{0}\cos \left(\omega t-kz\right)\qquad (9)$

Asumimos que la carga esta en el origen z=0 y experimenta una aceleración

$a_{x}={\frac {q}{m}}E_{0}\cos \left(\omega t\right)\qquad (10)$

La amplitlud $E_{0}$ de la onda incidente es tomada tal que sea lo suficientemente pequeña tal que la carga nunca tenga velocidades relativistas, debido a que la carga

La potencia total radiada por una partícula cargada acelerada no relativista es obtenida por la integración del flujo de Poynting sobre el área de una esfera cuyo origen coincide con la posición instantánea de q

${P}(t)={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\qquad (11)$

Note que es independiente del radio de la esfera

${P}(t)={\frac {q^{4}}{6\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}E_{0}^{2}\cos ^{2}\left[\omega \left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\qquad (12)$

La segunda forma de la ecuación viene de la sustitución de la aceleración. Esta es la fórmula para potencia esparcida por un electrón

Frecuentemente se desea conocer el promedio temporal de la potencia esparcida. Promediado sobre un periodo de oscilación. Este está dado por:

$<P(t)>={\frac {q^{2}E_{0}^{2}}{12\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}\qquad (13)$

Resultado que esta dado por el factor $<\cos ^{2}\left(\ldots \right)>={\frac {1}{2}}$

Es conveniente escribir al valor promedio de esparcimiento en función del flujo de la radiación de luz incidente. La cantidad mencionada anteriormente es el flujo de S de Poynting el cual está relacionado con E a través de la ecuación

$<S>={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}cE_{0}^{2}\qquad (14)$

Sustituyendo este valor de $E_{0}^{2}$ en la ecuación da el siguiente resultado

$<P(t)_{esparcido}>={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}}}\right)<S>_{incidente}\qquad (15)$

La relación entre $<P>$ y $<s>$ involucra una cantidad que tiene dimensiones de area. Esta es la conocida sección transversal denotada por $\sigma ={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}}}\right)\;m^{2}\qquad (16)$

Esparcimiento de Rayleigh

Lord Rayleigh fue el primero en calcular la dependencia de densidad de flujo esparcido sobre la frecuencia. El esparcimiento de luz por objetos que son pequeños en comparación a la longitud de onda es conocido como esparcimiento Rayleigh. Las moléculas de medios densos y transparentes, ya sean gases líquidos o sólidos, esparcen predominantemente el luz azul.

Figura 5.Rayleigh

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Para partículas que tienen aproximadamente el tamaño de la longitud de onda de la luz incidente esparcen la luz en forma muy distinta. Una distribución grande de tales partículas da origen a un rango total de colores transmitidos. En 1883 la isla volcánica Krakatoa localizada en Sunda Strait en Indonesia tuvo una gran erupción que lanzó columnas de cenizas a alturas de 80 Km., hacia la atmósfera de la Tierra. En 1885 cerca de dos años después de la poderosa erupción de Krakatoa, Fueron vistas por primera vez las nubes ‘noctilucentes’.

En 1908 Gustav Mie público una solución rigurosa de el problema de esparcimiento pra partículas esfericas homogeneas de algún tamaño. Aunque la solución es complicada tiene un gran valor práctico, particularmente aplicada a suspensiones coloidales y metálicas, partículas interestelares, nubes, niebla y la corona solar.

Figura 6. nubes ‘noctilucentes’

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Considere la ecuación de movimiento de un electrón ligado, para simplificar el problema omitamos el término de amortiguamiento $\beta$. Bajo estas condiciones la ecuación de movimiento del electrón es

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {q}{m}}E_{0}\cos \omega t\qquad (17)$

la cual da un desplazamiento

$x={\frac {\frac {q}{m}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}E_{0}\cos \left(\omega t\right)\qquad (18)$

y una aceleración

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {{\frac {q}{m}}\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}E_{0}\cos \left(\omega t\right)\qquad (19)$

Como lo hicimos en la sección previa, insertamos la aceleración en la ecuación 17, eliminamos $E_{0}^{2}$ en términos de promedio del flujo de Poynting $<S>$ y obtenemos

$<P>_{esparcido}={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}}}\right)^{2}\left[{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right]<S>_{incidente}\qquad (20)$

La ecuación está dada para un electrón ligado equivalente a la ecuación para un electrón libre. Efectivamente cuando $\omega _{0}$ es idénticamente igual a cero, las dos ecuaciones son la misma como era de esperarse.

Obsérvece que cuando la luz es esparcida por átomos la sección transversal $\sigma$ es función de la frecuencia $\omega$ de la luz y que para un lectón libre $\sigma$ es independiente de $\omega$. Recordemos que para gases en la atmósfera las frecuencias resonantes $\omega _{0}$ de los electrones ligados caen en el ultravioleta y sus frecuencias son más altas que la de la luz visible. Así $\omega _{0}$ $\gg \omega$ y uno puede aproximar la ecuación 20 por

$<P>_{esparcido}\approx {\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\omega ^{4}}{\omega _{0}^{4}}}\right)<S>_{incidente}\qquad (21)$

Lo cual nos muestra que la potencia esparcida es proporcional a la cuarta potencia le la frecuencia de la luz. Es decir, la luz azul es esparcida mucho más que la luz roja. Tomemos como ejemplo los dos límites de la luz visible: luz azul obscuro de $3900{\overset {\circ }{A}}$ y rojo en $7600{\overset {\circ }{A}}$´, el primero se esparce más que el segundo a razón $\left({\frac {7600}{3900}}\right)^{4}$ o 14.4 veces. Esto significa la luz blanca del sol incide sobre la atmósfera, el azul del espectro ess esparcido a una extensión mas lejos que el rojo. Esto explica porque el cielo es azul. En contradicción, el esparcimiento de electrones libres es independiente de la frecuencia, esto explica porque la luz solar esparcida de la corona solar es blanca.

Polarización por esparcimiento

Imaginemos que tenemos una onda plana linealmente polarizada incidente sobre una molécula de aire, como se muestra en la figura 4. La orientación del campo eléctrico de la radiación esparcida (es decir, $E_{S}$) sigue la distribución dipolar de tal manera que $E_{s}$, el vector de Poynting $S$ y el dipolo oscilador son todos coplanares (figura 5).

Figura 6. Esparcimiento de luz polarizada por una molécula

Las vibraciones inducidas en el átomo son paralelas al campo $E$ de la onda de luz incidente siendo así perpendiculares a la dirección de propagación. Obsérvese una vez más que el dipolo no radia en la dirección de su eje. Ahora, si la onda incidente no está polarizada, se puede representar por dos estados P, incoherentes ortogonales, en cuyo caso la luz esparcida es equivalente a una superposición {on de las condiciones que se muestran en las figuras --- a y b. Evidentemente, la luz esparcida en la dirección hacia adelante está completamente sin polarizar; lejos de ese eje está parcialmente polarizada, lejos de ese eje está parcialmente polarizada, polarizándose cada vez más conforme aumenta el ángulo. Cuando la dirección de observación es normal al haz primario, la luz está polarizada linealmente por completo. Podemos verificar fácilmente estas conclusiones con una pieza de polaroide. Localícese el sol y examínese una región del cielo a aproximadamente $90^{\circ }$ con los rayos solares. Esa porción del cielo está claramente polarizada de forma parcial y normal a los rayos (ver figura 8.7). No está polarizada del todo debido principalmente a anisotropías moleculares, la presencia de grandes partículas en el aíre y los efectos despolarizantes del esparcimiento múltiple. La última condición se puede ilustrar colocando un trozo de papel encerado entre polaroides cruzados (figura 8.38). Debido a que la luz sufre una gran cantidad de esparcimiento y reflexiones múltiples en el papel encerado, un oscilador dado puede ver la superposición de muchos campos E básicamente sin relación. La emisión resultante está casi completamente despolarizada

Aunque la luz directa de el sol esta polarizada al azar, la luz esparcida por la atmosfera de la tierra esta polarizada, puede verificarse fácilmente verificado al observar una sección del cielo azul a través de una pieza de polarizador manteniendo cerrado uno de los ojos.

La explicación para esta característica de polarización por esparcidores elementales viene del factor bien conocido: que una carga acelerada radia principalmente en dirección perpendicular al vector de aceleración $\mathbf {a}$ sin emisión tomando lugar a lo largo de $\mathbf {a} .$ Así un observador de la figura ,,,, barre con su cabeza a lo largo del arco de un circulo, el ve lo siguiente: a un ángulo cero de esparcimiento $\left(\theta _{sc}=0^{\circ }\right)$ la radiación tanto de la componente horizontal y vertical del vector de aceleración contribuye igualmente a la radiación que no está polarizada en este ángulo de observación. Como $\theta _{sc}$ incrementa desde cero, la emisión asociada con la componente vertical de \mathbf{a} permanece sin cambio alguno, pero la intensidad de emisión asociada con la componente horizontal de a decrece como el $\cos ^{2}\theta _{sc}$ . En última instancia cuando $\theta _{sc}=90^{\circ }$ no hay radiación asociada con la componente horizontal de $\mathbf {a}$; el observador ve entonces 100% luz polarizada verticalmente.