Radiacion: Esparcimiento

Esparcimiento

Cuando una onda electromagnética incide en un átomo o molécula interactúa con la nube electrónica ligada, impartiendo energía al átomo.

Figura 1. Esparcimiento de la luz en el cielo

El efecto puede ser imaginado como si el átomo fuese puesto a vibración. Los electrones en movimiento a su vez radían en distintas direcciones, ya que una onda acelerada puede emitir ondas electromagnéticas. Este proceso de rerradiación es conocido como esparcimiento.

La luz del sol que fluye en la atmósfera desde una dirección es esparcida en todas las direcciones por las moléculas de aire. Sin una atmósfera, el cielo diurno aparecería tan negro como el espacio vacío. Un observador entonces solamente vería la luz que brillara directamente hacía él. Con una atmósfera, el extremo rojo del espectro no se desvía mientras que el extremo azul o de alta frecuencia se esparce substancialmente. Esta luz de alta frecuencia llega al observador desde muchas direcciones haciendo que le cielo entero aparezca brillante y azul (figura 1).

El humo que sube del extremo de un cigarro encendido está formado por partículas que son más pequeñas que la longitud de onda de la luz y por lo tanto aparece azul cuando se ve contra un fondo oscuro. Por el contrario, el humo exhalado contiene gotitas de agua relativamente grandes y aparece blanco.

Las partículas que son aproximadamente del tamaño de una longitud de onda (recordemos que los átomos tienen un tamaño de aproximadamente una fracción de nanómetro) esparcen la luz de una forma muy distintiva. Una distribución importante de tales partículas de igual tamaño puede dar lugar a una gama entera de colores transmitidos.

Una manifestación hermosa de esparcimiento por electrones libres es la corona solar. La corona es una tenue atmósfera exterior del Sol. Incluso cerca del sol la corona contiene aproximadamente $10^{9}$ átomos de hidrógeno por centímetro cúbico. La corona no es por sí misma luminosa y por lo tanto no puede ser vista por su luz emitida. Es visible, sin embargo, por virtud de el factor que sus electrones esparcen la luz emitida por la fotósfera solar.

La figura 2 muestra la luz coronal durante un eclipse total cuando la luz directa del sol es eliminada en gran medida de la vista del observador.

Figura 2.Corona solar

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Esparcimiento por electrones libres

Para calcular la cantidad de luz esparcida, comenzaremos por considerar un solo electrón de carga $q$ y masa $m$. Este es estacionario,(por estacionarion entendemos que en ausencia de onda incidente no hay movimiemto) excepto en la medida en que vibra bajo la influencia de una onda plana monocromática cuyo campo eléctrico esta dado por:

$E_{x}=E_{0}\cos \left(\omega t-kz\right)\qquad (1)$

Asumimos que la carga está en el origen $z=0$ y experimenta una aceleración (Figura 3)

$a_{x}={\frac {q}{m}}E_{0}\cos \left(\omega t\right)\qquad (2)$

Figura 3. Un electrón de carga $q$ iluminada por una onda plana linealmente polarizada

Es importante notar que sólo estamos considerando la fuerza eléctrica.

La amplitlud $E_{0}$ de la onda incidente es tomada tal que sea lo suficientemente pequeña ya que la carga nunca tenga velocidades relativistas.

La potencia total radiada en todas direcciones por una partícula cargada acelerada no relativista es obtenida por la integración del flujo de Poynting sobre el área de una esfera cuyo origen coincide con la posición instantánea de $q$ y está dada por la fórmula de Larmor.

La potencia total radiada por una partícula cargada acelerada no relativista es obtenida por la integración del flujo de Poynting sobre el área de una esfera cuyo origen coincide con la posición instantánea de q,

$P(t)=\int _{0}^{\pi }|\mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)|2\pi r^{2}\sin \theta d\theta \qquad (3)$

Sustituimos el flujo de Poynting en la ecuación anterior y obtenemos

$|\mathbf {S} \left(r,t\right)|={\frac {q^{2}a^{2}\sin ^{2}\theta }{16\pi ^{2}\epsilon _{0}r^{2}c^{3}}}\qquad (4)$

$P(t)={\frac {q^{2}a^{2}}{8\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\int \sin ^{3}\theta d\theta$

La integral sobre $\sin ^{3}\theta$ es igual a ${\frac {4}{3}}$ tal que

$P(t)={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\quad W\qquad (5)$

Note que es independiente del radio de la esfera

Sustituyendo la aceleración de la ecuación (2) en (5), obtenemos la fórmula para la potencia esparcida por un electrón.

${P}(t)={\frac {q^{4}}{6\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}E_{0}^{2}\cos ^{2}\left[\omega \left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\qquad (6)$

Frecuentemente se desea conocer el promedio temporal de la potencia esparcida promediado sobre un periodo de oscilación. Este promedio está dado por:

$<{P}(t)>={\frac {q^{4}}{6\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}E_{0}^{2}<\cos ^{2}\left[\omega \left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]>$

ya que el factor $<\cos ^{2}\left(\ldots \right)>={\frac {1}{2}}$

Tenemos que

$<P(t)>={\frac {q^{4}E_{0}^{2}}{12\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}\quad W\qquad (7)$

Para encontrar la fracción de la luz total recibida que es esparcida es conveniente escribir el valor promedio de esparcimiento en función del flujo de la radiación de luz incidente, para lograr esto colocamos a la amplitud cuadrada $E_{0}^{2}$ en términos del flujo de Poynting $S$ el cual está relacionado con $E$ a través de la ecuación

$<S>={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}cE_{0}^{2}\quad {\frac {W}{m^{2}}}\qquad (8)$

Sustituyendo $E_{0}^{2}$ de la ecuación (8) en la ecuación (13) obtenemos el siguiente resultado

$<P(t)_{esparcido}>={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}}}\right)^{2}<S>_{incidente}\qquad (9)$

Ya que la potencia total esparcida está en $W$, y la onda incidente esta caracterizada por la densidad de flujo que está en $(W/m^{2})$, la relación entre $<P>$ y $<S>$ involucra una cantidad que tiene dimensiones de area. Ésta es conocida como sección transversal de esparcimiento Thomson y está denotada por $\sigma$:

$\sigma ={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}}}\right)^{2}\quad m^{2}\qquad (10)$

Para un electrón $\sigma =6.65X10^{-29}\quad m^{2}$

El conocimiento de la sección transversal $\sigma$ da un desarrollo de cómo un rayo de luz es degradado en energía en su camino a través del material. Tomemos una porción de materia como se muestra en la figura la potencia incidente es $<S>A$ la cual es reducida por una cantidad $Ad<S>$ al pasar a través de una capa $dz$. La reducción $Ad<S>$ es debida al esparcimiento combinado de todos los esparcidores contenidos en la rebanada o trozo de materia.

Figura 4. El flujo $S$ de radiación es disminuido por una cantidad $d<S>$ al pasar a través de un material esparcidor de ancho $dz$

Esparcimiento por átomos

Esparcimiento de Rayleigh

Lord Rayleigh fué el primero en calcular la dependencia de densidad de flujo esparcido sobre la frecuencia. El esparcimiento de luz por objetos que son pequeños en comparación a la longitud de onda es conocido como esparcimiento Rayleigh. Las moléculas de medios densos y transparentes, ya sean gases líquidos o sólidos, esparcen predominantemente el luz azul.

Figura 5.Rayleigh

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Para partículas que tienen aproximadamente el tamaño de la longitud de onda de la luz incidente esparcen la luz en forma muy distinta. Una distribución grande de tales partículas da origen a un rango total de colores transmitidos. En 1883 la isla volcánica Krakatoa localizada en Sunda Strait en Indonesia tuvo una gran erupción que lanzó columnas de cenizas a alturas de 80 Km., hacia la atmósfera de la Tierra. En 1885 cerca de dos años después de la poderosa erupción de Krakatoa, Fueron vistas por primera vez las nubes ‘noctilucentes’ (Figura 6).

En 1908 Gustav Mie público una solución rigurosa de el problema de esparcimiento pra partículas esféricas homogéneas de algún tamaño. Aunque la solución es complicada tiene un gran valor práctico, particularmente aplicada a suspensiones coloidales y metálicas, partículas interestelares, nubes, niebla y la corona solar.

Figura 6. nubes ‘noctilucentes’

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¿Por qué el cielo es azul?

Cuando la luz pasa a través de un gas con átomos neutros, los eléctrones son puestos en vibración y nuevamente se da lugar al esparcimiento. Sin embargo la aceleración experimentada por un electrón ligado es diferente a la de un electrón libre y como resultado los detalles de esparcimiento cambian enormemente. Considere la ecuación de movimiento de un electrón ligado, para simplificar el problema omitamos el término de amortiguamiento $\beta$. Bajo estas condiciones la ecuación de movimiento del electrón es

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {q}{m}}E_{0}\cos \omega t\qquad (11)$

, con $\omega$ la frecuencia de la onda y $\omega _{0}$ la frecuencia resonante.

Resolviendo la ecuación ordinaría de segundo orden tenemos el siguiente desplazamiento

$x={\frac {\frac {q}{m}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}E_{0}\cos \left(\omega t\right)\qquad (12)$

despejando la segunda derivada en x, la cual nos da la aceleración

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega _{0}^{2}x+{\frac {q}{m}}E_{0}\cos \omega t\qquad (13)$

Sustituyendo (12) en (13)

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {{\frac {q}{m}}\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}E_{0}\cos \left(\omega t\right)\qquad (14)$

Como lo hicimos en la sección previa, insertamos la aceleración de la ecuación (14) en la ecuación (5) y eliminamos $E_{0}^{2}$ en términos del promedio del flujo de Poynting $<S>$ haciendo uso de la ecuación (8) y obtenemos el promedio de la potencia esparcida

$<P>_{esparcido}={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}}}\right)^{2}\left[{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right]^{2}<S>_{incidente}\qquad (15)$

La ecuación anterior está dada para un electrón ligado equivalente a la ecuación 9 para un electrón libre. Efectivamente cuando $\omega _{0}$ es idénticamente igual a cero, las dos ecuaciones son la misma como era de esperarse.

Obsérvese que cuando la luz es esparcida por átomos, la sección transversal $\sigma$ es función de la frecuencia $\omega$ de la luz y que para un electrón libre $\sigma$ es independiente de $\omega$. Recordemos que para gases en la atmósfera las frecuencias resonantes $\omega _{0}$ de los electrones ligados caen en el ultravioleta y sus frecuencias son más altas que la de la luz visible. Así $\omega _{0}$ $\gg \omega$ y uno puede aproximar la ecuación (21) por

$<P>_{esparcido}\approx {\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\omega ^{4}}{\omega _{0}^{4}}}\right)<S>_{incidente}\qquad (21)$

Lo cual nos muestra que la potencia esparcida es proporcional a la cuarta potencia le la frecuencia de la luz. Es decir, la luz azul es esparcida mucho más que la luz roja. Tomemos como ejemplo los dos límites de la luz visible: luz azul obscuro de $3900{\overset {\circ }{A}}$ y rojo en $7600{\overset {\circ }{A}}$´, el primero se esparce más que el segundo a razón $\left({\frac {7600}{3900}}\right)^{4}$ o 14.4 veces. Esto significa la luz blanca del sol incide sobre la atmósfera, el azul del espectro es esparcido a una extensión mas lejos que el rojo. Esto explica porque el cielo es azul. En contradicción, el esparcimiento de electrones libres es independiente de la frecuencia, esto explica porque la luz solar esparcida de la corona solar es blanca.

Polarización por esparcimiento

Imaginemos que tenemos una onda plana linealmente polarizada incidente sobre una molécula de aire, como se muestra en la figura 8. La orientación del campo eléctrico de la radiación esparcida (es decir, $E_{S}$) sigue la distribución dipolar de tal manera que $E_{s}$, el vector de Poynting $S$ y el dipolo oscilador son todos coplanares.

Figura 8. Esparcimiento de luz polarizada por una molécula

Las vibraciones inducidas en el átomo son paralelas al campo $E$ de la onda de luz incidente siendo así perpendiculares a la dirección de propagación. Obsérvese una vez más que el dipolo no radia en la dirección de su eje.

Aunque la luz directa de el sol está polarizada al azar, la luz esparcida por la atmósfera de la tierra está polarizada, puede verificarse fácilmente verificado al observar una sección del cielo azul a través de una pieza de polarizador manteniendo cerrado uno de los ojos.

Figura 9.Como el ángulo de esparcimiento $\theta _{sc}$ incrementa desde cero, la luz llega a polarizarce más y más cuando Error al representar (error de sintaxis): \theta_{sc}=90° . Esto es cierto tanto como la densidad de esparcidores es suficientemente pequeña tal que la radiación escapa del medio sin sufrir más esparcimiento

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La explicación para esta característica de polarización por esparcidores elementales viene del factor bien conocido: que una carga acelerada radia principalmente en dirección perpendicular al vector de aceleración $\mathbf {a}$ sin emisión tomando lugar a lo largo de $\mathbf {a}$ Así un observador de la figura 8 barre con su cabeza a lo largo del arco de un circulo, el ve lo siguiente: a un ángulo cero de esparcimiento $\left(\theta _{sc}=0^{\circ }\right)$ la radiación tanto de la componente horizontal y vertical del vector de aceleración contribuye igualmente a la radiación que no está polarizada en este ángulo de observación. Como $\theta _{sc}$ incrementa desde cero, la emisión asociada con la componente vertical de $\mathbf {a}$ permanece sin cambio alguno, pero la intensidad de emisión asociada con la componente horizontal de a decrece como el $\cos ^{2}\theta _{sc}$ . En última instancia cuando $\theta _{sc}=90^{\circ }$ no hay radiación asociada con la componente horizontal de $\mathbf {a}$; el observador ve entonces 100% luz polarizada verticalmente.

Consideremos nuevamente la ecuación de movimiento de un electrón libre

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=qE_{0}\cos \omega t\qquad (22)$

sujeto a una fuerza externa de oscilación $F_{ext}=qE_{0}\cos \omega t\qquad (23)$.

De esta tenemos que la aceleración es

$a={\frac {qE_{0}}{m}}\cos \omega t\qquad (24)$

Integrando la ecuación anterior encontramos la velocidad que adquiere el electrón

$v={\frac {qE_{0}}{m\omega }}\sin \omega t\qquad (25)$

De la aceleración adquirida el electrón radiara con una potencia promedio dada por la ecuación

$<P(t)>={\frac {q^{2}E_{0}^{2}}{12\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}\qquad (26)$

La conservación de la energía requiere que el trabajo hecho por el campo aplicado sea igual a la energía radiada. Veamos si esto es cierto

Sustituyendo $F_{ext}$ y $v$ de las ecuaciones (23) y (25) para promediar en el tiempo, en un periodo $T={\frac {2\pi }{\omega }}$ obtenemos

$<Fv>={\frac {qE_{0}}{m\omega T}}\int _{0}^{T}\cos \omega t\sin \omega tdt=0\qquad (27)$

Vemos que el trabajo promedio hecho por un campo eléctrico es cero, si esto fuera así, nos preguntamos ¿De donde viene la energía radiada?, además de que resulta ser inconsistente con la ecuación (26). La situación anterior nos sugiere que la ecuación de movimiento contiene alguna fuerza adicional que realice trabajo sobre el electrón, y que con ella el promedio temporal no resulte ser cero.

Por lo anterior añadimos el siguiente término a la velocidad

$v={\frac {qE_{0}}{m\omega }}\sin \omega t+A\cos \omega t\qquad (28)$

Determinaremos el coeficiente desconocido A. Con el nuevo término, el trabajo hecho por segundo debido a una fuerza externa $qE_{0}\cos \omega t$ esta dado por:

$<Fv>={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(qE_{0}\cos \omega t)({\frac {qE_{0}}{m\omega }}\sin \omega t+A\cos \omega t)dt\qquad (29)$

$<Fv>={\frac {1}{2}}qE_{0}A$

Igualando esta potencia radiada con la de la ecuación (30), obtenemos el valor de A

$A={\frac {q^{3}E_{0}}{6\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}\qquad (31)$

Así el nuevo valor de la velocidad del electrón corregida es

$v={\frac {qE_{0}}{m\omega }}\sin \omega t+{\frac {q^{3}E_{0}}{6\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}\cos \omega t\qquad (32)$

Diferenciando con respecto al tiempo podemos escribir una ecuación de la forma $F=ma$

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {q}{m}}E_{0}\cos \omega t-{\frac {q^{3}\omega E_{0}}{6\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}\sin \omega t$

La nueva fuerza,$F_{r}ad$, puede ser vista como una fuerza de reacción de radiación considerada por la emisión de ondas electromagnéticas.

$F_{rad}={\frac {q^{3}\omega E_{0}}{6\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{3}}}\sin \omega t$