Radiacion: Dispersion en dielectricos

Nos encargaremos a estudiar la respuesta de materiales dieléctricos o aislantes a los campos electromagnéticos.

El efecto neto de introducir un dieléctrico isótropo y homogéneo en una región del espacio libre es cambiar $\epsilon _{0}$ por $\epsilon$ y $\mu _{0}$ por $\mu$ en las ecuaciones de Maxwell. La velocidad de fase en el medio pasa a ser

$v=1/{\sqrt {\epsilon \mu }}$

El cociente entre la velocidad de la onda electromagnética en el vacío y en la materia se denomina índice de refracción absoluto $n$:

$n={\frac {c}{v}}={\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$

En términos de permitividad y permeabilidad relativas del medio, $n$ pasa a ser:

$n={\sqrt {K_{E}K_{M}}}$

Existen sustancias magnéticas que resultan ser transparentes en las regiones infrarroja y de microondas de espectro. Sin embargo, nosotros estamos principalmente interesados en los materiales que son transparentes en el visible y todos estos son esencialmente no-magnéticos. $K_{M}$ generalmente no se desvía de 1 en más que unas pocas partes de $10^{4}$. Poniendo $K_{M}=1$ en la fórmula para $n$ resulta una expresión denominada relación de Maxwell, es decir

$n={\sqrt {K_{E}}}$

donde $K_{E}$ se supone que es la constante dieléctrica estática. Como se indica en la tabla esta relación parece funcionar bien sólo para algunos gases simples. La dificultad surge porque $K_{E}$ y, por lo tanto, $n$ dependen realmente de la frecuencia. La dependencia de $n$ con la longitud de onda de la luz es un efecto conocido con el nombre de dispersión. Surge a nivel microscópico, y por lo tanto en las ecuaciones de Maxwell casi no se da cuenta de ello. Hace más de 300 años, Isaac Newton utilizó unos prismas para dispersar la luz blanca en sus colores constituyentes, y el fenómeno era ya entonces, sino bien entendido, si bien conocido.

Dispersión

La teoría de Maxwell considera la materia como continua, representando sus respuestas eléctricas y magnéticas a los campos aplicados $\mathbf {E}$ y $\mathbf {B}$ en términos de constantes $\epsilon$ y $\mu$. Por consiguiente, $K_{E}$ y $K_{M}$ son también constantes mientras que $n$ es, por lo tanto, de forma no realista, independiente de la frecuencia. Para poder analizar teóricamente la dispersión, es necesario incorporar la naturaleza atómica de la materia y aprovechar algún aspecto de la misma que depende de la frecuencia.

Cuando un díeléctrico está sujeto a un campo eléctrico aplicado, la distribución de la carga interna se distorsiona. Esto se debe a la generación de momentos dipolares eléctricos que, a su vez, contribuyen al campo interno total. De manera más sencilla, el campo externo separa las cargas negativas de las positivas del medio y luego ellas aportan un componente adicional del campo. El momento dipolar resultante por unidad de volumen se denomina polarización eléctrica $\mathbf {P}$. Para la mayoría de los materiales $\mathbf {P}$ y $\mathbf {E}$ son proporcionales y pueden relacionarse satisfactoriamente con

$\mathbf {P=\mathrm {\chi _{\mathit {e}}} E} ,$

si,

$\epsilon =\epsilon _{0}(1+\chi _{e}),$

por lo tanto

$\mathbf {P} =(\epsilon -\epsilon _{0})\mathbf {E} .$

Un medio material se presenta como una agrupación, en el vacío, de un número muy elevado de átomos polarizables, cada uno de los cuales es pequeño (con respecto a longitud de onda de la luz) y está cerca de sus vecinos. Cuando una onda luminosa incide en dicho medio, cada átomo puede considerarse como una oscilador forzado clásico que está siendo excitado por un campo eléctrico variable en el tiempo $E(t)$ de la onda, que aquí se supone esta aplicado en la dirección $x$. La figura es una representación mecánica de tal oscilador el medio isótropo donde la capa de carga negativa esta atada a un núcleo positivo estacionario por muelles idénticos. A un en la luz brillante del sol, la amplitud de las oscilaciones no será mayor de unos $10^{17}m$. La fuerza $F_{E}$ ejercida sobre un electrón de carga $q_{e}$ y por el campo Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {E(t)}}} de una onda armónica de frecuencia $\omega$, tiene la forma

$F_{E}=q_{e}E(t)=q_{e}E_{0}\cos \omega t$

Por consiguiente, la segunda ley de Newton proporciona la ecuación de movimiento; es decir, la suma de las fuerzas es igual a la masa por la aceleración

$q_{e}E_{0}\cos \omega t-m_{e}\omega _{0}^{2}x=m_{e}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

El primer término de la izquierda es la fuerza impulsora y el segundo es la fuerza restablecedora opuesta, donde; $\omega _{0}$ es la frecuancia de resonancia o natural a la que el electrón oscilará alrededor de su punto de equilibio, después de haber sido perturbado momentaneamente por la fuerza, que viene dada por $\omega _{0}={\sqrt {k/m_{e}}}$ donde $m_{e}$ es su masa. Para satisfacer la ecuación [eq:2ley newton], $x$ tendrá que ser una función cuya segunda derivada temporal no sea muy distinta a$x$. Además, podemos anticipar que el electrón oscilará a la misma frecuencia de que $E(t)$ por lo tanto la solución es

$x(t)=x_{0}\cos \omega t$