Radiacion: Dispersion en dielectricos

Introducción

La interacción de ondas con la materia concierne la interacción de radiación electromagnética con electrones, átomos y moléculas. Para estudiar esta interacción reemplazaremos la materia por un conjunto de osciladores clásicos, electrones en particular, algunas veces sostenidas por fuerzas de resortes a los núcleos, y oscilando en respuesta a una fuerza electromagnética que actúa sobre ellos.

Ondas electromagnéticas en dieléctricos

Nos encargaremos a estudiar la respuesta de materiales dieléctricos o aislantes a los campos electromagnéticos.

El efecto neto de introducir un dieléctrico isótropo y homogéneo en una región del espacio libre es cambiar $\epsilon _{0}$ por $\epsilon$ y $\mu _{0}$ por $\mu$ en las ecuaciones de Maxwell. La velocidad de fase en el medio pasa a ser

$v=1/{\sqrt {\epsilon \mu }}$

El cociente entre la velocidad de la onda electromagnética en el vacío y en la materia se denomina índice de refracción absoluto $n$:

$n={\frac {c}{v}}={\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$

En términos de permitividad y permeabilidad relativas del medio, n pasa a ser:

$n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}$

donde $\mu =\mu _{r}\mu _{0}$ y $\epsilon =\epsilon _{r}\epsilon _{0}$.

Existen sustancias magnéticas que resultan ser transparentes en las regiones infrarroja y de microondas de espectro. Sin embargo, nosotros estamos principalmente interesados en los materiales que son transparentes en el visible y todos estos son esencialmente no-magnéticos. $\mu _{r}$ generalmente no se desvía de 1 en más que unas pocas partes de $10^{4}$. Poniendo $\mu _{r}=1$ en la fórmula para n resulta una expresión denominada relación de Maxwell, es decir

$n={\sqrt {\epsilon _{r}}}$

donde $\epsilon _{r}$ se supone que es la constante dieléctrica estática. Como se indica en la tabla esta relación parece funcionar bien sólo para algunos gases simples. La dificultad surge porque $\epsilon _{r}$ y, por lo tanto, n dependen realmente de la frecuencia. La dependencia de n con la longitud de onda de la luz es un efecto conocido con el nombre dedispersión. Surge a nivel microscópico, y por lo tanto en las ecuaciones de Maxwell casi no se da cuenta de ello. Hace más de 300 años, Isaac Newton utilizó unos prismas para dispersar la luz blanca en sus colores constituyentes, y el fenómeno era ya entonces, sino bien entendido, si bien conocido.

Dispersión

La dispersión corresponde al fenomeno en el cual el indice de refracción de un medio es dependiente de la frecuencia. Todos los medios materiales son dispersivos; únicamente el vacio es no dispersivo.

Dispersión en gases

La teoría de Maxwell considera la materia como continua, representando sus respuestas eléctricas y magnéticas a los campos aplicados $\mathbf {E}$ y $\mathbf {B}$ en términos de constantes $\epsilon$ y $\mu$. Por consiguiente, $K_{E}$ y $K_{M}$ son también constantes mientras que $n$ es, por lo tanto, de forma no realista, independiente de la frecuencia. Para poder analizar teóricamente la dispersión, es necesario incorporar la naturaleza atómica de la materia y aprovechar algún aspecto de la misma que depende de la frecuencia.

Cuando un díeléctrico está sujeto a un campo eléctrico aplicado, la distribución de la carga interna se distorsiona. Esto se debe a la generación de momentos dipolares eléctricos que, a su vez, contribuyen al campo interno total. De manera más sencilla, el campo externo separa las cargas negativas de las positivas del medio y luego ellas aportan un componente adicional del campo. El momento dipolar resultante por unidad de volumen se denomina polarización eléctrica $\mathbf {P}$. Para la mayoría de los materiales $\mathbf {P}$ y $\mathbf {E}$ son proporcionales y pueden relacionarse satisfactoriamente con

$\mathbf {P=\mathrm {\chi _{\mathit {e}}} E} ,$

si,

$\epsilon =\epsilon _{0}(1+\chi _{e}),$

por lo tanto

$\mathbf {P} =(\epsilon -\epsilon _{0})\mathbf {E} .$

Un medio material se presenta como una agrupación, en el vacío, de un número muy elevado de átomos polarizables, cada uno de los cuales es pequeño (con respecto a longitud de onda de la luz) y está cerca de sus vecinos. Cuando una onda luminosa incide en dicho medio, cada átomo puede considerarse como una oscilador forzado clásico que está siendo excitado por un campo eléctrico variable en el tiempo $E(t)$ de la onda, que aquí se supone esta aplicado en la dirección $x$. La figura es una representación mecánica de tal oscilador el medio isótropo donde la capa de carga negativa esta atada a un núcleo positivo estacionario por muelles idénticos. A un en la luz brillante del sol, la amplitud de las oscilaciones no será mayor de unos $10^{17}m$. La fuerza $F_{E}$ ejercida sobre un electrón de carga $q_{e}$ por el campo Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {E(t)}}} de una onda armónica de frecuencia $\omega$, tiene la forma

$F_{E}=q_{e}E(t)=q_{e}E_{0}\cos \omega t$

Por consiguiente, la segunda ley de Newton proporciona la ecuación de movimiento; es decir, la suma de las fuerzas es igual a la masa por la aceleración

$q_{e}E_{0}\cos \omega t-m_{e}\omega _{0}^{2}x=m_{e}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

El primer término de la izquierda es la fuerza impulsora y el segundo es la fuerza restablecedora opuesta, donde; $\omega _{0}$ es la frecuancia de resonancia o natural a la que el electrón oscilará alrededor de su punto de equilibio, después de haber sido perturbado momentaneamente por la fuerza, que viene dada por $\omega _{0}={\sqrt {k/m_{e}}}$ donde $m_{e}$ es su masa. Para satisfacer la ecuación #, $x$ tendrá que ser una función cuya segunda derivada temporal no sea muy distinta a$x$. Además, podemos anticipar que el electrón oscilará a la misma frecuencia de que $E(t)$ por lo tanto la solución es

$x(t)=x_{0}\cos \omega t$

y la remplazamos en la ecuación# para calcular la amplitud $x_{0}$.

Calculamos

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x_{0}\cos \omega t$

sustituyendo

$q_{e}E_{0}\cos \omega t-m_{e}\omega _{0}^{2}\omega x_{0}\cos \omega t=-m_{e}\omega ^{2}x_{0}\cos \omega t$

despejamos $x_{0}$ y queda

$x_{0}={\frac {q_{e}/m_{e}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}E_{0}$

De esta manera encontramos que

$x(t)={\frac {q_{e}/m_{e}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}E_{0}\cos \omega to,$

$x(t)={\frac {q_{e}/m_{e}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}E(t)$

Éste es el desplazamiento relativo entre la nube negativa y el núcleo positivo. Tradicionalmente, se deja positiva y se habla del desplazamiento del oscilador. Sin una fuerza impulsora (ninguna onda incidente), el oscilador vibrará a su frecuencia de resonancia $\omega _{0}$. En presencia de un campo cuya frecuencia sea menor que $\omega _{0}$, $E(t)$ y $x(t)$ tendrán el mismo signo, lo que significa que el oscilador puede seguir a la fuerza aplicada (es decir, está en fase con la misma). Sin embargo cuando $\omega >\omega _{0}$ el desplazamiento $x(t)$ es en la dirección opuesta al de la fuerza instantánea $q_{e}E(t)$ y, por consiguiente estará desfasado con respecto a la misma en $180^{\circ }$. Recordemos que estamos hablando de dipolos oscilantes donde $\omega _{0}>\omega$ , el movimiento relativo de la carga positiva es una vibración en la dirección del campo. Por encima de la resonancia la carga positiva esta de desfasada con respecto al campo en $180^{\circ }$ y se dice que el dipolo esta tardado en $\pi$ rad.

El momento dipolar equivale a la carga $q_{e}$ multiplicada por su desplazamiento y si existe un número de electrones $N$ por unidad de volumen, la polarización eléctrica o densidad de los momentos dipolares es

$P=q_{e}xN$

Por lo tanto

$P={\frac {q_{e}^{2}NE/m_{e}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}$

Y de la ecuación #

$\epsilon =\epsilon _{0}+{\frac {P(t)}{E(t)}}=\epsilon _{0}+{\frac {q_{e}^{2}N/m_{e}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}$

y de la ecuación # utilizamos el hecho de que $n^{2}=K_{E}=\epsilon /\epsilon _{0}$, podemos llegar a una expresión para $n$ como función de $\omega$, que se conoce como Ecuación de dispersión

$n^{2}(\omega )=1+{\frac {Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}\left({\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}\right)$

Generalización

Por lo general, cualquier sustancia se someterá a varias transiciones desde $n>1$ hasta $n<1$ al ir creciendo la frecuencia de iluminación. Eso significa que en lugar de una única frecuencia $\omega _{0}$ en la que el sistema resuena existen aparentemente varias de tales frecuencias. Podríamos generalizar la cuestión suponiendo que existen $N$ moléculas por unidad de volumen, cada una con unos osciladores $f_{j}$ que tienen unas frecuencias naturales $\omega _{0j}$ donde $j=1,2,3...$ En este caso:

$n^{2}(\omega )=1+{\frac {Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}\sum _{j}\left({\frac {f_{j}}{(\omega _{0j}^{2}-\omega ^{2})}}\right)$

Se trata básicamente, del mismo resultado que aquel procedente del estudio mecánico-cuántico, con la excepción de que es preciso volver a interpretar algunos de los términos. Por consiguiente, las cantidades $\omega _{0j}$ serían las frecuencias características a las que un átomo puede absorber o emitir energía radiante. Los términos $f_{j}$ que satisfacen el requisito de que $\sum _{j}f_{j}=1$, son factores de peso denominados fuerzas de oscilador. Reflejan el énfasis que debería ponerse en cada uno de los modos. Puesto que miden la probabilidad de una transición atómica, los términos $f_{j}$ se denominan también probabilidades de transición.

Obsérvese que cuando $\omega$ equivale a una cualquiera de las frecuencias características, $n$ es discontinua, contrariamente a la observación real. Esto es sencillamente el resultado de haber despreciado terminado amortiguación de la amplitud de onda que debería haber aparecido en el denominador de la suma. Por cierto, es amortiguación de la amplitud se debe, en parte, a la energía perdida cuando los osciladores forzados vuelven a radiar. En los sólidos, líquidos y gases a alta presión ($\thickapprox 10^{3}atm$), las distancias interatómicas son, aproximadamente, 10 veces menores que las de un gas a temperatura y presión estándares. Los átomos y las moléculas que se hallan en esta proximidad relativa están sujetos a fuertes interacciones y a una fuerza resultante de ficción. El efecto es una disminución de la amplitud de los osciladores y una disipación de su energía dentro de la substancia en forma de calor.

Si hubieramos incluido una fuerza de disminución de la amplitud proporcional a la velocidad (de la forma $m_{e}\gamma dx/dt$) en la ecuación de movimiento la ecuación de dispersión # habría sido:

$n^{2}(\omega )=1+{\frac {Nq_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}\sum _{j}{\frac {f_{j}}{(\omega _{0j}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma _{j}\omega )}}$

Dispersión en materiales densos

Si bien esta expresión es correcta para medios enrarecidos como los gases, habrá de superarse otra dificultad si se desea aplicar la ecuación a sustancias densas. Cada átomo interacciona con el campo eléctrico local en el que está sumergido. Sin embargo, contrariamente a los átomos aislados analizados arriba, los de un material denso estarán también sujetos al campo inducido establecido por sus vecinos. Por consiguiente, además del campo aplicado $E(t)$, un átomo ve otro campo, en concreto $P(t)/3\epsilon _{0}$. Sin entrar en detalles aquí se puede mostrar que

${\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {Nq_{e}^{2}}{3\epsilon _{0}m_{e}}}\sum _{j}{\frac {f_{j}}{\omega _{0j}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma _{j}\omega }}$

Hasta ahora hemos analizado, casi exclusivamente, osciladores electrónicos; sin embargo el mismo resultado se hubiera podido aplicar también a iones enlazados con posiciones atómicas fijas.

Las implicaciones de un índice complejo de refracción no se analizaran aqui , asi que limitamos la discusión a las situaciones en las que la absorción es despreciable (es decir, $\omega _{0j}^{2}-\omega ^{2}>>i\gamma _{j}\omega$) y $n$ es real, por lo tanto

${\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {Nq_{e}^{2}}{3\epsilon _{0}m_{e}}}\sum _{j}{\frac {f_{j}}{\omega _{0j}^{2}-\omega ^{2}}}$

Las frecuencias características de los materiales incoloros y transparentes se hallan fuera de la región visible del espectro (Por esta razón, son de hecho, incoloros y transparentes ). En concreto, las frecuencias naturales de los vidrios están por encima de la región visible, en el ultravioleta, donde se vuelven opacos. En los casos en que $\omega _{0j}^{2}>>\omega ^{2}$, puede despreciarse $\omega ^{2}$ en la ecuación #, dando un índice de refracción esencialmente constante en esa región de frecuencias. Por ejemplo, las frecuencias características de los vidrios se encuentran en una longitud de onda de unos 100 nm. La mitad del rango visible es aproximadamente cinco veces más grande que ese valor, y ahí, $\omega _{0j}^{2}>>\omega ^{2}$. Obsérvese que mientras $\omega$ va aumentando hacia $\omega _{0j}$, ($\omega _{0j}^{2}-\omega ^{2}$) disminuye y $n$ incrementa gradualmente con la frecuencia, como se pone de manifiesto la figura. Esto se denomina dispersión normal. En la región ultravioleta, al acercarse $\omega$ a una frecuencia natural los osciladores empezarán a resonar. Sus amplitudes aumentarán considerablemente, y esto estará acompañado de amortiguación y de una fuerte absorción de energía de la onda incidente. Cuando $\omega _{0j}=\omega$ en la ecuación # , el término de amortiguación se hará dominante. Las regiones que se hayan alrededor de las diferentes $\omega _{0j}$ en la figura se denominan bandas de absorción. Ahí $dn/d\omega$ es negativo, y se dice que el proceso es de dipersión anómala (es decir, anormal). Cuando la luz blanca pasa a través de un prisma de vidrio, la componente azul tiene un índice más elevado que la roja, por lo tanto se desvía por un ángulo más grande. Por el contrario, cuando se utiliza un prisma de celda para líquidos que contenga una disolución de colorante con una banda de absorción en el rango visible, el espectro se altera considerablemente. Todas las sustancias poseen unas bandas de absorción en algún sitio dentro del espectro de frecuencias electromagnéticas, así que terminó dispersión anómala que se remonta a finales del siglo XIX, es con toda seguridad una denominación errónea.

Notemos que a través del proceso anterior hemos obtenido algo muy intersante. Porque no solo tenemos un número para el indice de refracción que puede calcularse a través de las cantidades atómicas básicas, sino que también hemos aprendido como varía el indice de refracción con la frecuencia $\omega$ de la luz. Esto es algo que nunca entenderiamos de la simple afirmación que “la luz se propaga más lentamente en un material transparente”.