Prueba

medios estratificados - ecuaci�n diferencial

Manuel Fern\'{a}ndez Guasti

\lyxaddress{Lab. de \'{O}ptica Cu\'{a}ntica, Dep. de F\'{\i}sica, Universidad A. Metropolitana - Unidad Iztapalapa, M\'{e}xico D.F., Ap. Post. 55-534, M\'{e}xico.}

\begin{abstract} {*} \end{abstract}

medio estratificado

Medios diel�ctricos con permitivdad $\varepsilon$ y permeabilidad $\mu$ dependientes de la posici�n. La dependencia espacial est� restringida a una direcci�n en el caso estratificado (digamos en el eje z ). Ondas monocrom�ticas linealmente polarizadas.

La ecuaciones de Maxwell son equivalentes ante la transformaci�n $\mathbf {E} \leftrightarrow \mathbf {H} ,\;\varepsilon \leftrightarrow -\mu$. De manera que solo ondas TE se necesitan analizar en detalle.

campo el�ctrico

El campo el�ctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio est�tico,

isotr�pico y lineal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=\nabla\left(\frac{\rho}{\varepsilon_{t}}\right)-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)+\mu\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t}-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.\label{eq: E wave eq mu eps var}

En ausencia de cargas y corrientes

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.\label{eq: E wave eq no rho J}

Mientras que si el medio est� estratificado en la direcci�n $z$,

entonces $\varepsilon \left(z\right),\mu \left(z\right)$.

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(E_{z}\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{E}\right).\label{eq: E wave eq strat}

Si el campo es TE y la propagaci�n en el plano y-z , entonces $E=E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+E_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+E_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {i} }}$.

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}E_{x}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\label{eq: Ex wave eq TE}

puesto que $\nabla \times E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}={\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {j} }}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {k} }}$ y entonces ${\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \times E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {j} }}=-{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {i} }}$.

Si escribimos expl�citamente el laplaciano y la dependencia monocrom�tica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}+\mu\varepsilon\omega^{2}E_{x}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z},\label{eq: Ex wave eq strat}

donde $\mu \varepsilon \omega ^{2}={\frac {n^{2}}{c^{2}}}\omega ^{2}=n^{2}k_{0}^{2}$. �sta ecuaci�n \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en primeras derivadas.

\subsection[soluciones]{Soluciones de la ecuaci�n diferencial}

Considere que se pueden separar las variables

Error al representar (función desconocida «\label»): E_{x}\left(y,z\right)=Y\left(y\right)U\left(z\right),\label{eq: Ex en Y U}

de manera que se obtiene

${\underset {f\left(z\right)}{\underbrace {{\frac {1}{U}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}+n^{2}k_{0}^{2}-{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {1}{U}}{\frac {\partial U}{\partial z}}} }}+{\underset {-f\left(y\right)}{\underbrace {{\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}} }}=0$

donde hay dos partes que dependen solamente de z y y respectivamente \cite[p. 56]{Born05}. Dado que �stas variables son independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la otra variable \footnote{�sta condici�n proviene de la separaci�n de variables independientes. }. Sea la funci�n constante $f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma ^{2}k_{0}^{2}$. La existencia de �sta cantidad invariante es la generalizaci�n de la relaci�n de Snell para medios inhomog�neos. Las ecuaciones son

entonces para la variable y

Error al representar (función desconocida «\label»): \frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-\sigma^{2}k_{0}^{2}\quad\Longrightarrow\quad Y\left(y\right)=Y_{0}\exp\left(i\sigma k_{0}y\right)\label{eq: ode Y}

y para la variable en z

Error al representar (función desconocida «\label»): \frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial U}{\partial z}+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)U=0.\label{eq: ode U}

El parametro variable sufre un corrimiento $\Omega ^{2}\rightarrow \Omega ^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}$ respecto al caso unidimensional \footnote{Como se ver� en la siguiente subsecci�n, $\sigma =0$ para incidencia normal. }. La ecuaci�n \eqref{eq: ode U} se resuelve por m�todos matriciales en el formalismo de Abeles.

En (nuestro) el formalismo de amplitud y fase, se puede resolver num�ricamente �sta ecuaci�n. Primeramente, eliminar la primera derivada mediante la transformaci�n $U=u{\sqrt {\mu }}$, como se muestra en el \ref{sec:ap=E9ndice-amplitud}.

La ecuaci�n para la la variable $u$ es entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.\label{eq: ode u}

El par�metro dependiente de la posici�n puede escribirse como

$\kappa _{u}^{2}=\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\ddot {\mu }}{\mu }}+{\frac {1}{4}}{\frac {{\dot {\mu }}^{2}}{\mu ^{2}}};$

La constante $\sigma$ se puede establecer de una regi�n donde el �ndice de refracci�n es constante. Si la fase puede escribirse como $\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {k} \cdot \mathbf {y} +\mathbf {k} \cdot \mathbf {z} =\left|\mathbf {k} \right|\left|\mathbf {y} \right|\sin \theta +\left|\mathbf {k} \right|\left|\mathbf {z} \right|\cos \theta$ donde $\left|\mathbf {k} \right|=k_{0}n\left(z\right)$, y el �ngulo se mide con respecto a la normal a la superficie estratificada. De

\eqref{eq: ode Y}

Error al representar (función desconocida «\label»): \sigma=n\left(z\right)\sin\theta=n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}.\label{eq: snell}

Este resultado es consistente con la propagaci�n en z en una

regi�n de �ndice constante pues

$\left|\mathbf {k} \right|\left|\mathbf {z} \right|\cos \theta =k_{0}nz\cos \theta ={\sqrt {n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}}}.$

Representaci�n de amplitud y fase

Si se considera un medio no magn�tico $\mu =\mu _{0}$, entonces la

ecuaci�n \eqref{eq: ode u} se simplifica a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right]u=0.\label{eq: ode u sin mu}

La representaci�n de amplitud y fase nos permite escribir la ecuaci�n para la amplitud (Ermakov) como

Considere una soluci�n de la forma $u=A\exp \left(i\phi \right)$ donde la amplitud $A$ y la fase $\phi$ son cantidades reales. La ecuaci�n

(\ref{eq: ode u sin mu}) deviene en

${\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}-A\left({\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)^{2}+2i{\frac {\partial A}{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+iA{\frac {\phi }{\partial z^{2}}}=-\left[n^{2}-\sigma ^{2}\right]k_{0}^{2}A$

Para un medio transparente sin abosrci�n la permitividad es real.

La parte real de la ecuaci�n anterior es

Error al representar (función desconocida «\label»): \frac{\partial^{2}A}{\partial z^{2}}-A\left(\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)^{2}=-\left[n^{2}-\sigma^{2}\right]k_{0}^{2}A\label{eq: re ode u}

mientras que la parte imaginaria es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2i\frac{\partial A}{\partial z}\frac{\partial\phi}{\partial z}+iA\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}=0.\label{eq: im ode u}

�sta �ltima ecuaci�n la escribimos como

${\frac {1}{A}}\left(2A{\frac {\partial A}{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+A^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)={\frac {1}{A}}{\frac {\partial \left(A^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}{\partial z}}=0$

de manera que si $A$ no es cero, existe el invariante

Error al representar (función desconocida «\label»): A^{2}\frac{\partial\phi}{\partial z}=Q\label{eq9}

Substituci�n de este resultado en (\ref{eq: re ode u})

Error al representar (función desconocida «\label»): \frac{\partial^{2}A}{\partial z^{2}}-\frac{Q^{2}}{A^{3}}=-\left[n^{2}-\sigma^{2}\right]k_{0}^{2}A\label{eq: ode amp}

Esta ecuaci�n es la ecuaci�n de Ermakov. Para obtener una ecuaci�n adimensional se escribe el invariante como $Q=k_{0}A_{0}^{2}$ . La

ecuaci�n adimensional para la amplitud es entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{k_{0}^{2}}\frac{\partial^{2}A_{d}}{\partial z^{2}}-\frac{1}{A_{d}^{3}}=-\left[n^{2}-\sigma^{2}\right]A_{d}\label{eq: ode amp adi}

donde $A_{d}=A/A_{0}$ es la amplitud adimensional \footnote{El resultado anterior se puede obtener de proponer una soluci�n de la forma $u=A\exp[i\int (Q/A^{2})dz]$, donde $Q$ es constante. La

segunda derivada de esta funci�n es

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{A^{3}}}\left(A^{3}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}-Q^{2}\right)\exp \left(i\int {\frac {Q}{A^{2}}}\partial z\right)=\left({\frac {1}{A}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}-{\frac {Q^{2}}{A^{4}}}\right)u$

que al sustituir en (\ref{eq: ode u sin mu}) se obtiene de nuevo la ecuaci�n de Ermakov. }.

En una comunicaci�n anterior abordamos el problema de incidencia normal

([#References|references]). La ecuaci�n diferencial a resolverse es

la misma que \ref{eq: ode amp adi} excepto que en incidencia normal, de la ecuaci�n de \ref{eq: snell} $\sigma =0$.

Soluciones de tangente hiperb�lica

Permita que la variaci�n del �ndice de refracci�n sea

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\left(z\right)=n_{i}+\frac{\left(n_{f}-n_{i}\right)}{2}\left(1+\mbox{tanh}\left[\frac{2}{D}\arctan\left(\frac{9}{10}\right)z\right]\right)\label{eq: ind ref tanh}

donde $n_{2}$ y $n_{1}$ son los �ndices de refracci�n en las regiones 1 y 2 lejos de la interfase donde el �ndice es constante y el par�metro $D$ corresponde al espesor donde el �ndice var�a dentro del 90\ de sus valores iniciales y finales.

La ecuaci�n diferencial a resolver es entonces

Error al representar (función desconocida «\label»): \left(2\pi\right)^{-2}\frac{\partial^{2}A_{d}}{\partial z^{2}}-\frac{1}{A_{d}^{3}}=-\left[n_{i}+\frac{\left(n_{f}-n_{i}\right)}{2}\left(1+\mbox{tanh}\left[\frac{2}{D}\arctan\left(\frac{9}{10}\right)z\right]\right)\right]^{2}A_{d}\label{eq: ode amp indreftanh}

La condici�n de frontera se establece en la condici�n final. El problema corresponde a establecer la amplitud transmitida y a partir de dicho resultado encontrar las amplitudes incidentes y reflejadas. No es adecuado establecer la condici�n inicial como la amplitud incidente, pues en esa regi�n existir� simult�neamente una onda reflejada cuyo valor es desconocido ([#References|references]).

Considere que la onda incidente viaja en la direcci�n positiva de la $z$ y el �ndice de refracci�n varia alrededor de $z=0$. Las condiciones

iniciales para la ecuaci�n diferencial son entonces

Error al representar (función desconocida «\label»): \left.\frac{\partial A_{d}}{\partial z}\right|_{z=z_{2}}=0,\quad A_{d}\left(z_{2}\right)=A_{t}=\left(n_{f}\right)^{-1/2},\quad z_{2}\gg0\label{eq: cond frontera}

donde $A_{t}$ es la amplitud adimensional transmitida lejos de la interfase.

campo magn�tico -revisar/completar

El campo magn�tico de las ecuaciones de Maxwell para un medio est�tico,

isotr�pico y lineal es

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\mathbf{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{H}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left[\mathbf{H}\cdot\nabla\ln\mu\right]-\nabla\ln\varepsilon\times\left(\nabla\times\mathbf{H}\right)-\varepsilon\nabla\times\mathbf{J}+\nabla\ln\varepsilon\times\mathbf{\mathbf{J}}\label{eq: H wave eq with sources}

En ausencia de cargas y corrientes

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\mathbf{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{H}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left[\mathbf{H}\cdot\nabla\ln\mu\right]-\nabla\ln\varepsilon\times\left(\nabla\times\mathbf{H}\right)\label{eq: H wave eq without J}

Mientras que si el medio est� estratificado en la direcci�n $z$,

entonces $\varepsilon \left(z\right),\mu \left(z\right)$.

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\mathbf{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{H}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(H_{z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{H}\right).\label{eq: H wave eq strat}

Si el campo es TE y la propagaci�n en el plano y-z , entonces

$\mathbf {H} =H_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+H_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+H_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\rightarrow \mathbf {H} =H_{y}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {j} }}+H_{z}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {k} }}$.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}H_{y}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}H_{y}}{\partial t^{2}}=-\frac{\partial H_{z}}{\partial y}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}-\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\left(\frac{\partial H_{z}}{\partial y}-\frac{\partial H_{y}}{\partial z}\right)\label{eq: Hy wave eq TE} Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}H_{z}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial t^{2}}=-\frac{\partial}{\partial z}\left(H_{z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)\label{eq: Hz wave eq TE}

puesto que $\nabla \times \left[H_{y}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {j} }}+H_{z}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {k} }}\right]=\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {i} }}$ y entonces $\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}=\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {j} }}$.

Si escribimos expl�citamente el laplaciano y la dependencia monocrom�tica

Error al representar (función desconocida «\label»): \frac{\partial^{2}H_{y}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}H_{y}}{\partial z^{2}}+\mu\varepsilon\omega^{2}H_{y}=-\frac{\partial H_{z}}{\partial y}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}-\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\left(\frac{\partial H_{z}}{\partial y}-\frac{\partial H_{y}}{\partial z}\right),\label{eq: Hy wave eq strat} Error al representar (función desconocida «\label»): \frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}H_{z}}{\partial z^{2}}+\mu\varepsilon\omega^{2}H_{z}=-\frac{\partial}{\partial z}\left(H_{z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right).\label{eq: Hz wave eq strat}

donde $\mu \varepsilon \omega ^{2}={\frac {n^{2}}{c^{2}}}\omega ^{2}=n^{2}k_{0}^{2}$.

Invariante

Sean dos soluciones linealmente independientes

Error al representar (función desconocida «\label»): U_{1}'=i\omega\mu V_{1}\label{eq: U der V 1} Error al representar (función desconocida «\label»): U_{2}'=i\omega\mu V_{2}\label{eq: U der V 2}

Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por $V_{1}$ menos \eqref{eq: U der V 1}por

$V_{2}$ se obtiene

Error al representar (función desconocida «\label»): V_{1}U_{2}'-V_{2}U_{1}'=0.\label{eq:V U ders}

De manera an�loga $V_{1}'=i\omega \left(\varepsilon -{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}\mu }}\right)U_{1}$

y $V_{2}'=i\omega \left(\varepsilon -{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}\mu }}\right)U_{2}$

Error al representar (función desconocida «\label»): U_{1}V_{2}'-U_{2}V_{1}'=0.\label{eq: U V ders}

De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de �stas

dos ecuaciones

Error al representar (función desconocida «\label»): U_{1}V_{2}'+V_{2}U_{1}'-U_{2}V_{1}'-V_{1}U_{2}'=\frac{d}{dz}\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)=0\label{eq: invar - UV}

Coeficientes de reflexi�n y transmisi�n

Sean $A$, $R$ y $T$ las amplitudes complejas del campo el�ctrico incidente, reflejado y transmitido.

Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos $\mathbf {E}$

y $\mathbf {H}$, asi como la relaci�n entre ellos para una onda plana

$\mathbf {H} ={\sqrt {\frac {\varepsilon }{\mu }}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E}$

Para una onda TM (transverso el�ctrico) plana

$U_{0}=A+R$

Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en $U\left(z=0\right)=U_{0}$ existe una onda incidente y una reflejada. N�tese que $U$ es el campo el�ctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuaci�n (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.

$U\left(z_{l}\right)=T$

El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de $U$ como $z_{1}$ que es la �ltima capa; nosotros preferimos escribir $z_{l}$ (la �ltima capa) donde ya solamente hay onda transmitida.

\bibliographystyle{alpha} \bibliography{/home/mfg/acad/ext/ref/libros-doc,/home/mfg/acad/dif/curri/ref-mias/mfg-arti}

\appendix

==\label{sec:ap=E9ndice-amplitud==ap�ndice amplitud}

La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante

la transformaci�n $U=u{\sqrt {\mu }}$, entonces la primera derivada es

${\frac {\partial U}{\partial z}}=\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u\mu ^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial \mu }{\partial z}}=\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)$

mientras que la segunda derivada es

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{2}}\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)+\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)$

que podemos reagrupar como

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=\mu ^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial u}{\partial z}}+\left({\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)u\right]$

La ecuaci�n diferencial \eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*} \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\ -\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}

que simplifica a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.\label{eq: ode u appendix}

\end{document}