Diferencia entre revisiones de «Prueba»

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(Página blanqueada)
Etiqueta: Vaciado
Línea 1: Línea 1:
= Ésta es una página de prueba =
Vibraciones y ondas
'''If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.''' hola
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:53 8 mayo 2015 (CDT)
<math>\alpha\beta\iint</math>


$  F = \sqrt{s \over m}$
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:51 14 may 2020 (CDT)
$
\nabla^{2}\mathbf{V}=\frac{1}{c}\frac{\partial^{2}\mathbf{V}}{\partial t^{2}}.
$
=titulo primer nivel=
aqui va un texto
Deducción de la ecuacion de movimiento del OAS (Método energía)
Para un sistema masa resorte podemos aplicar que:
$E_{K}+E_{P}=cte$
$\frac{d}{dt}(E_{K}+E_{P})=0$
Entonces sabemos:
$\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=cte$
$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=cte)$
$\frac{2}{2}mv\frac{dv}{dt}+\frac{2}{2}kx\frac{dx}{dt}=0$
$mv\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx\frac{dx}{dt}=0$
Sabemos que $\frac{dt}{dx}$no siempre es cero por lo tanto sugerimos:
dividir todo entre m entonce:
$v\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx\frac{dx}{dt}=0$
sabemos que $\frac{dx}{dt}=v$ entonces:
$\frac{dx}{dt}(\frac{d^{2}t}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x)=0$
Por otro lado sabemos que $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$entonces :
$\frac{d^{2}x}{dt}+\omega^{2}x=0$
La solución de la ecuacion deferencial de segundo orden es:
$x(t)=Acos(\omega t+\phi)$
y podemos deducir la velocidad y la aceleración de la siguiente manera:
$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=-\omega Asen(\omega t+\phi)$
$a_{x}(t)=\frac{dv}{dt}=-\omega^{2}Acos(\omega t+\phi)$
==subtitulo de segundo nivel==
\[
f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz
\]
(c) $
T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s
$
d) $
H= {{\phi} \sqrt{\lambda} \over g}  +2
$
--[[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 18:48 8 mayo 2015 (CDT)
= Medios estratificados - Ecuación diferencial =
<gallery>
Archivo:Ola2.jpg|Ola en el proceso de 'reventar'
</gallery>
== Holografía ==
[[Usuario:Sesebasi|Sesebasi]] ([[Usuario discusión:Sesebasi|discusión]]) 15:13 30 nov 2018 (CST)
[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 16:48 10 jul 2015 (CDT)
==Campo Eléctrico==
El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,
isotrópico y lineal es <center><math>
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=\nabla\left(\frac{\rho}{\varepsilon_{t}}\right)-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)+\mu\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t}-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.</math></center>
En ausencia de cargas y corrientes<center><math>
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.</math></center>
Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién <math>z</math>,
entonces <math>\varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right)</math>. <center><math>
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(E_{z}\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{E}\right).</math></center>
Si el campo es TE y la propagación en el plano ''y-z'' , entonces
<math>E=E_{x}\hat{\mathbf{i}}+E_{y}\hat{\mathbf{j}}+E_{z}\hat{\mathbf{k}}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{i}}</math>.
<center><math>
\nabla^{2}E_{x}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z}</math></center>
puesto que <math>\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\hat{\mathbf{k}}</math>
y entonces <math>\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}\times\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{i}}</math>.
Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética<center><math>
\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}+\mu\varepsilon\omega^{2}E_{x}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z},</math></center>
donde <math>\mu\varepsilon\omega^{2}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\omega^{2}=n^{2}k_{0}^{2}</math>.
ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida
del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en
primeras derivadas.
Considere que se pueden separar las variables<center><math>
E_{x}\left(y,z\right)=Y\left(y\right)U\left(z\right),</math></center>
de manera que se obtiene<center><math>
\underset{f\left(z\right)}{\underbrace{\frac{1}{U}\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}+n^{2}k_{0}^{2}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{1}{U}\frac{\partial U}{\partial z}}}+\underset{-f\left(y\right)}{\underbrace{\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}}}=0</math></center>
donde hay dos partes que dependen solamente de ''z''  y ''y''
respectivamente. Dado que éstas variables son
independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la
otra variable
constante <math>f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma^{2}k_{0}^{2}</math>.
La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de
la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son
entonces para la variable ''y'' <center><math>
\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-\sigma^{2}k_{0}^{2}\quad\Longrightarrow\quad Y\left(y\right)=Y_{0}\exp\left(i\sigma k_{0}y\right)</math></center>
y para la variable en ''z''  <center><math>
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial U}{\partial z}+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)U=0.</math></center>
El parametro variable sufre un corrimiento <math>\Omega^{2}\rightarrow\Omega^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}</math>
respecto al caso unidimensional
<math>\sigma=0</math> para incidencia
normal.
==Representacién de amplitud y fase==
<math>\int\limits_C n_1\vec s_1 \cdot d\vec r +</math>
Si se considera un medio no magnético <math>\mu=\mu_{0}</math>, entonces la
ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a<center><math>
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right]u=0.</math></center>
La ecuación del movimiento armónico simple es:
<math>x=A\sin(\omega t+\varphi)</math>
si derivamos x respecto de t, obtenemos la velocidad y si derivamos v respecto a t, ó si sacamos la doble derivada de x respecto de t obtenemos la aceleración del sistema
<math>v=A\omega\cos(\omega t+\varphi)
a=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi)</math>
cuando calculamos la posición, velocidad o aceleración máxima estamos diciendo que seno o coseno(según sea el caso) están llegando a su máximo, es decir
<math>\sin(\omega t+\varphi)=1</math>
<math>\cos(\omega t+\varphi)=1</math>
si esto sucede, entonces tenemos una posición máxima, velocidad máxima y aceleración máxima como sigue
<math>x_{max}=A</math>
<math>v_{max}=A\omega</math>
<math>\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}</math>
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Letti GZ]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 22:10 4 may 2013 (CDT)
==Invariante==
Sean dos soluciones linealmente independientes<center><math>
U_{1}'=i\omega\mu V_{1}</math></center>
<center><math>
U_{2}'=i\omega\mu V_{2}</math></center>
Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por <math>V_{1}</math> menos \eqref{eq: U der V 1}por
<math>V_{2}</math> se obtiene<center><math>
V_{1}U_{2}'-V_{2}U_{1}'=0.</math></center>
De manera anéloga <math>V_{1}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{1}</math>
y <math>V_{2}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{2}</math><center><math>
U_{1}V_{2}'-U_{2}V_{1}'=0.</math></center>
De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas
dos ecuaciones<center><math>
U_{1}V_{2}'+V_{2}U_{1}'-U_{2}V_{1}'-V_{1}U_{2}'=\frac{d}{dz}\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)=0</math></center>
==Coeficientes de reflexión y transmisión==
Sean <math>A</math>, <math>R</math> y <math>T</math> las amplitudes complejas del campo eléctrico
incidente, reflejado y transmitido.
Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos <math>\mathbf{E}</math>
y <math>\mathbf{H}</math>, asi como la relación entre ellos para una onda plana<center><math>
\mathbf{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}</math></center>
Para una onda TM (transverso eléctrico) plana <center><math>
U_{0}=A+R</math></center>
Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en <math>U\left(z=0\right)=U_{0}</math>
existe una onda incidente y una reflejada. Nótese que <math>U</math> es el campo
eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuación
(5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere
a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales
a los campos.
<center><math>
U\left(z_{l}\right)=T</math></center>
El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe
el argumento de <math>U</math> como <math>z_{1}</math> que es la última capa; nosotros
preferimos escribir <math>z_{l}</math> (la última capa) donde ya solamente hay
onda transmitida.
<math>\alpha</math>
La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante
la transformación <math>U=u\sqrt{\mu}</math>, entonces la primera derivada es<center><math>
\frac{\partial U}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\mu^{-\frac{1}{2}}\frac{\partial\mu}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)</math></center>
mientras que la segunda derivada es<center><math>
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\frac{1}{2}\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)</math></center>
que podemos reagrupar como<center><math>
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\mu^{\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\right]</math></center>
La ecuacién diferencial\eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*}
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\
-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}
que simplifica a<center><math>
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.</math></center>
--[[Usuario:Kanon1106|Kanon1106]] 20:56 20 ene 2009 (CST)
== Maxwell ==
Comencemos con las ecuaciones de Maxwell para un medio arbitrario
(unidades del SI)
<center><math>
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho</math></center>
<center><math>
\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math></center>
<center><math>
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}</math></center>
<center><math>
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math></center>
donde <math>\mathbf{D}</math> es el desplazamiento eléctrico, <math>\mathbf{B}</math>
el desplazamiento magnético, <math>\mathbf{H}</math> el campo magnético y <math>\mathbf{E}</math>
el campo eléctrico. En la ausencia de cargas libres <math>\rho=0</math> pero
permitiendo la existencia de corrientes, las ecuaciones anteriores
devienen
<center><math>
\nabla\cdot\mathbf{D}=0</math></center>
<center><math>
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}</math></center>
donde las ecuaciones \ref{eq:div B} y \ref{eq:rot E} permanecen
inalteradas.
==relaciones constitutivas==
Establecen la relación entre los campos y los desplazamientos. La
permitividad y permeabilidad son:
* independientes del campo para medios lineales o campos con amplitud pequeña
* escalares para medios isotrópicos
* independientes del espacio para medios homogéneos
* independientes del tiempo para medios no dispersivos
* cantidades puramente reales para medios sin abosorción
Consideremos un medio isotrópico:
<math>
\mathbf{D}=\varepsilon_{t}\left(\mathbf{r},t,\mathbf{E}\right)\mathbf{E}.</math>
De la ecuación (div D =0}), se obtiene:
<math>
\nabla\cdot\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)=\varepsilon_{t}\nabla\cdot\mathbf{E}+\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=0\quad\Rightarrow\mbox{ }\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{\varepsilon_{t}}\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}.</math>
Un resultado análogo es cierto para la permeabilidad puesto que <math>\mathbf{B}=\mu_{t}\mathbf{H}</math>
y el rotacional de ésta expresión puede reescribirse como:
<math>
\nabla\times\mathbf{B}=\nabla\times\left(\mu_{t}\mathbf{H}\right)=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\nabla\times\mathbf{H}=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.</math>
Las ecuaciones de Maxwell pueden entonces combinarse para obtener:
<math>
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\frac{\partial\left(\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}\right)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\mu_{t}\frac{\partial\varepsilon_{t}\mathbf{E}}{\partial t}\right)}{\partial t}.</math>
==características del medio==
Si el medio es magnéticamente homogéneo, independiente del tiempo
y el campo, el gradiente de la permeabilidad y su derivada temporal
son cero creo que que que que
<center><math>
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\frac{\partial^{2}\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)}{\partial t^{2}},</math></center>
para un medio no magnético la permeabilidad es aquella del vacío <math>\mu_{t}=\mu_{0}</math>.
Si la permitividad es independiente del tiempo, se obtiene
<math>
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.</math>
Para un medio homogéneo
<math>
\nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},</math>
se obtiene la ecuación de onda.
Funcion bicontinua: se dice que una funcion es bicontinua si tanto ella como su inversa son continuas
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 03:25 29 oct 2010 (UTC)
We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities.
[[Usuario:Gsfwiki|Gsfwiki]] ([[Usuario discusión:Gsfwiki|discusión]]) 11:12 25 sep 2018 (CDT)
[[Archivo:Holog.gif|thumb|upright|La información completa de la imagen queda registrada por cualquier parte del holograma.]]
[[Usuario:Sesebasi|Sesebasi]] ([[Usuario discusión:Sesebasi|discusión]]) 22:17 2 dic 2018 (CST)
= introduction =
Normed division algebras require that the norm of the product is equal to the product of the norms. Lagrange’s identity exhibits this equality. Due to Hurwitz theorem, it admits this interpretation only for algebras isomorphic to the real numbers <math>\left(\mathbb{R}\right)</math>, complex numbers <math>\left(\mathbb{R}^{2}\right)</math>, quaternions <math>\left(\mathbb{R}^{4}\right)</math> and octonions <math>\left(\mathbb{R}^{8}\right)</math>. If divisors of zero are allowed, many other algebraic structures in <math>\mathbb{R}^{n}</math> are possible. Two such possibilities for hyperbolic numbers has been introduced by Fjelstad and Gal  and more recently by Catoni et al. . Another approach has been presented in the context of a deformed Lorentz metric. This latter proposal is based on a transformation stemming from the product operation and magnitude definition in hyperbolic scator algebra . The product identity used as a starting point here, is a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert = \left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> equality for scator algebras.
Lagrange’s identity can be proved in a variety of ways . Most derivations use the identity as a starting point and prove in one way or another that the equality is true. In the present approach, Lagrange’s identity is actually derived without assuming it ''a priori''. The pseudo-norm of the product identity used in the derivation has the strength to imply an infinite number of identities. An example when sixth order terms are retained is shown here. The ease of the derivation has induced us to present it for complex numbers.
= Lagrange’s identity for complex numbers =
Let <math>a_{i},b_{i}\in\mathbb{C}</math> be complex numbers and the overbar represents complex conjugate.
The product identity <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}-b_{i}\bar{b}_{i}+a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right)</math> reduces to the complex Lagrange’s identity when fourth order terms, in a series expansion, are considered.
Expand the product on the LHS of the product identity in terms of series<ref>Recall that products of the form <math>\left(1+x_{i}\right)</math> can be expanded in terms of sums as <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+\mathcal{O}^{3+}(x),</math> where <math>\mathcal{O}^{3+}(x)</math> means terms with order three or higher in <math>x</math>.
</ref> up to fourth order
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>+a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub><br />
+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+O<sup>5+</sup>.[eq:series LHS complex O5]
The two factors on the RHS are also written in terms of series
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+O<sup>5+</sup>)<br />
(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+O<sup>5+</sup>).
The product of this expression up to fourth order is
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)<br />
+(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>)+O<sup>5+</sup>.[eq:series RHS complex O5]
Substitution of eq:series LHS complex O5 and eq:series RHS complex O5 in the product identity give <math>\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).</math> The product of two conjugates series can be expressed as series involving the product of conjugate terms<ref>The conjugate series product is <math>\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\bar{x}_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bar{x}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(x_{i}\bar{x}_{j}+\bar{x}_{i}x_{j}\right)</math>.
</ref>, thus
(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>)-<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|a<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+|a<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>a<sub>j</sub>b<sub>j</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)<br />
=(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>).
The terms of the last two series on the LHS are grouped as <math>a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}-a_{i}b_{i}\bar{a}_{j}\bar{b}_{j}-\bar{a}_{i}\bar{b}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\bar{a}_{i}b_{j}-\bar{a}_{j}b_{i}\right),</math> in order to obtain the complex Lagrange’s identity <math>\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\overline{a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).</math> In terms of the modulii, <math>\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum_{i<j}^{n}\left|a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right|^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).</math>
= other identities =
The non trivial identities for real numbers obtained to sixth order series expansion of the product identity <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}-b_{i}^{2}+a_{i}^{2}b_{i}^{2}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}^{2}\right)</math> are <math>\sum_{i<j}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}\left(b_{i}^{2}+b_{j}^{2}\right)\right]+\sum_{i<j<k}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}b_{k}^{2}+a_{i}^{2}b_{j}^{2}a_{k}^{2}+b_{i}^{2}a_{j}^{2}a_{k}^{2}\right]=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i<j}^{n}a_{i}^{2}a_{j}^{2}\right)</math> and its counterpart, obtained by interchanging the'' ''variables'' ''<math>a</math> and <math>b</math> .''''
Expand the product identity in series up to sixth order. The LHS is
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)=1+<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)<br />
+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>j</sub><sup>2</sup>-b<sub>j</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)<br />
+<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>j</sub><sup>2</sup>-b<sub>j</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>k</sub><sup>2</sup>-b<sub>k</sub><sup>2</sup>+a<sub>k</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>)+O<sup>7+</sup>.
Consider only the sixth order terms
O<sup>6</sup>(LHS)=-<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>[a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>(b<sub>i</sub><sup>2</sup>+b<sub>j</sub><sup>2</sup>)+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>)]-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup><br />
-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>)-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>)
The RHS of the product identity is similarly expanded in series up to sixth order
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub><sup>2</sup>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub><sup>2</sup>)=(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+O<sup>7+</sup>)<br />
(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+O<sup>7+</sup>),
and only sixth order terms retained
O<sup>6</sup>(RHS)=-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>-(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>)(<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)-(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>).
These two results are equated for equal powers of <math>a^{n}b^{m}</math>. The terms <math>a^{6}</math> and <math>b^{6}</math> give trivial identities whereas the terms involving <math>a^{4}b^{2}</math> and <math>a^{2}b^{4}</math> give the non trivial sixth order identities
===Prueba 1===
'''Ecuaciones de Maxwell'''
<center>
<math>
\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{D}=\rho\;\;\;\;\;
</math>
<math>
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}
</math>
</center>
<center>
<math>
\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{B}=0\;\;\;\;\;
</math> 
<math>
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{J\,\,}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}
</math>
</center>
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:26 8 mayo 2015 (CDT)
===Prueba de arhivos(.svg)===
[[Imagen:SVG logo.svg|center|thumb|200x200px|Figura de SVG]]
'''Nota''': el formato de archivo permitivo es (.svg) otra extension de archivos vectoriales es (.svgz) pero no lo soporta la pagina
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 18:51 26 nov 2015 (CST)
----
=Criterios de segunda derivada=
Suponga que $f(x,y)$ tiene segundas derivadas parciales continuas
en una vecindad de $(x_{0},y_{0})$ y que $\nabla f(x_{0},y_{0})=0$.
Sea $D=D(x_{0},y_{0})=f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{yy}(x_{0},y_{0})-f_{xy}^{2}(x_{0},y_{0})$
(el cual es el determinante/Hessiano):
a) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})<0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$
es un valor máximo local.
b) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})>0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$
es un valor mínimo local.
c) Si $D<0$, entonces $f(x_{0},y_{0})$ no es un valor extremo, $(x_{0},y_{0})$
es un punto silla.
d) Si $D=0$, el criterio no es concluyente
=Funciones vectoriales=
Una función vectorial de una variable real, es una funciónde la forma
$\gamma:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que
para cada $t\in D$, $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$
Dado que $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$ , para cada $t$
perteneciente a $D$, este tiene n-coordenadas, las cuales suelen
ser, funciones de la variable $t$. Así. podemos escribir
\[
\gamma\left(t\right)=\left(\gamma_{1}\left(t\right),\gamma_{2}\left(t\right),\gamma_{3}\left(t\right),\ldots,\gamma_{n}\left(t\right)\right)
\]
donde $\gamma_{i}\left(t\right):D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},i=1,2,3,\ldots,n$
son funciones de la variable $t$, llamadas funciones coordenadas
de $\gamma$(o funciones componentes de $\gamma$)
El dominio de $\gamma$ con funciones componentes $\gamma_{i}$ es:
\[
Dom\left(\gamma\right)=\cap_{i=1}^{n}Dom\left(\gamma_{i}\right)
\]
Particularmente, para $n=3$, una función $f:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$,
puede ser escrita como $f\left(t\right)=f_{1}\left(t\right)\hat{i}+f_{2}\left(t\right)\hat{j}+f_{3}\left(t\right)\hat{k}$
para cada $t$ perteneciente a $D$; donde $f_{1},f_{2},f_{3}$ son
las funciones componentes de $f$. Su dominio es:
\[
Dom\left(f\right)=Dom\left(f_{1}\right)\cap Dom\left(f_{2}\right)\cap Dom\left(f_{3}\right)
\]
=Teorema de Fubini=
Sea f una función tal que $f:I\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$
con $I:=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b;c\leq y\leq d\}.$ Entonces:
\[
\underset{I}{\iint}f(x,y)dxdy=\mathop{\int}_{a}^{b} dx\mathop{\int}_{c}^{d}f(x,y)dy=\mathop{\int}_{c}^{d}dy\mathop{\int}_{a}^{b}f(x,y)dx
\]
[[Archivo:Guido Fubini.jpg|miniaturadeimagen|centro|Matemático Guido Fubini]]
=Campo magnético=
Típicamente representamos el campo magnético de dos maneras diferentes:
# Describimos matemáticamente el campo magnético como un campo vectorial. Podemos representar directamente este campo como un conjunto de vectores dibujados en una cuadrícula. Cada vector apunta en la dirección en la que lo haría una brújula y su magnitud depende de la fuerza magnética. Arreglar muchas brújulas en un patrón de cuadrícula y colocar este patrón en un campo magnético ilustra esta técnica. La única diferencia en este caso es que una brújula no muestra la intensidad del campo.
# Una forma alternativa para representar la información contenida en un campo vectorial es por medio de las lineas de campo. En esta representación, omitimos la cuadrícula y conectamos los vectores con líneas suaves. Podemos dibujar tantas líneas como queramos.
= conclusions =
Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality.

Revisión del 11:45 21 may 2020