Prueba

Ésta es una página de prueba, pueden jugar aqui y modificar para ver que les sale ...

¿Cómo se relacionan las Ciencias Básicas del siglo XXI del sistema escolarizado con la vida cotidiana de sus hijos?

Ensayo escrito por: Eduardo González Ramírez

Mail: lalo_glez007@yahoo.com

En más de una ocasión muchos de ustedes como padres de familia ven como sus hijos se preguntan para qué sirve estudiar en las instituciones educativas temáticas vinculadas con las ciencias básicas como lo son las Matemáticas, la Física o la Química por dar algunos ejemplos. Algunos se responden de forma natural e inmediata y dicen: ¡Ah, pues muy sencillo! porque si las estudio aprobaré mis exámenes escolares y aún mejor, en el futuro, con esas buenas calificaciones lograré obtener las mejores oportunidades de trabajo o podré continuar con mis estudios en una Universidad de gran prestigio y entonces tendré un gran poder adquisitivo (en el mejor de los casos) y podré gozar de todas las comodidades habidas y por haber. Puede ser que algunas de estas repuestas sean suficientes para que se animen a seguir con ahínco a las eruditas ( y a veces no tanto) instrucciones de los docentes al frente del aula pero, muy seguramente, el entusiasmo durará poco tiempo pues se toparán con la pared de las desilusiones inherentes al cambio de grado o semestre o trimestre (o tetramestre que algunos llaman cuatrimestre) al darse cuenta de que lo que habían aprendido y más o menos comprendido de tal o cual materia se ha… ¡esfumado! y peor aún, cuando necesitaban de esos conocimientos para asimilar los nuevos, porque les enseñaron a pensar y recordar linealmente, es decir les dijeron algo así como: las computadoras surgieron gracias a muchos descubrimientos científicos de las ciencias básicas, fue necesario que a alguien se le ocurriera pensar primero en un sistema de numeración adecuado como por ejemplo el binario formado por ceros y unos (inventado por Leibnitz), después fue necesaria la invención de los bulbos que hacían que una computadora que hiciese largos pero aburridos cálculos matemáticos (sin cursores, ni ratones, ni ventanas tipo Windows) ocupara un espacio de varios cientos de metros cuadrados y generara tanto calor como el mejor sauna, también posteriormente fue necesario que a alguien se le ocurriera inventar el transistor, unir muchos de esos transistores, miniaturizar todo con tecnologías foto-litográficas y después encapsularlo para formar un microprocesador y finalmente conformar con otras muchas partes complejas una rápida, flamante y chic Computadora Personal (o servidor si así se quiere ver) de cuatro procesadores a 5 GigaHertz cada uno, con 1 Terabyte de disco duro, quemador de DVD Blue Ray, todo conectado inalámbricamente con pantalla de Plasma de 80 pulgadas incluida.Pero ustedes como padres pueden formularle a sus hij@s las siguientes preguntas: ¿Quiénes hicieron esos descubrimientos científicos básicos (para después ser inventos) tenían sensaciones?, ¿Cómo eran sus vidas?, ¿Qué les gustaba hacer a esas personas además de pasársela enclaustradas en laboratorios rodeados de libros, recipientes y máquinas exóticas de todas formas, colores y sabores? Las respuestas en la mayoría de los casos serán nulas o parciales, porque resulta que si sus hij@s fueron lo suficientemente atrevidos como para hacer esas cuestiones “incómodas” en el aula, a lo más obtenían una seca respuesta por parte de sus profesores (a veces formulada en una nueva pregunta) como: ¿Porqué esa pregunta? ¡Es irrelevante para lo que estamos tratando de memorizar! Además, esos son chismes (respuesta típica de aquel que no sabe la respuesta pero no quiere decir simplemente: No sé, ¡pero investiguemos! (y eso en el mejor de los casos)). Tristemente nos damos cuenta de que si no se aprendieron todos los detalles de esa materia se les olvida el resto, porque todo se relacionaba como en una cadena de recuerdos en donde es fundamental tener los eslabones completos de la línea de producción de pensamientos.¿Y qué pasaría si les dijeran que por ejemplo Leibniz (inventor del sistema binario y de nacionalidad alemana) era muy orgulloso y se la pasó toda su vida peleando con el más de una vez endiosado Newton (inglés) por la primacía de la invención del cálculo infinitesimal? o ¿Acaso no sería más interesante saber que el archimillonario Bill Gates abandonó sus estudios universitarios para perfeccionar un sistema operativo que compró a un módico precio para después distribuirlo como Windows, que se vende actualmente en todos los rincones del planeta y que además tuvo agrias peleas con el inventor de la Mac, Steve Jobs, porque al parecer le plagió la idea del ratón o mouse, las ventanas y la versatilidad que mostraba el sistema operativo de la Mac?; ¿No sería todo esto más divertido si hicieran lo siguiente?:

0) Generar curiosidad con respecto a un tema científico o tecnológico (esto es en buena parte el papel del docente.

1) Investigar por nuestra cuenta acerca del tema.

2) Confrontar datos históricos.

3) Generar controversia con nuestros coetáneos intelectuales.

4) Crear nuestras propias hipótesis o ideas propias acerca de los motivos y sus conexiones5) Generar más controversia.

6) Hacer muchos experimentos por nuestra cuenta sin necesariamente seguir el famoso y aburrido “Método Científico” si no más bien investigar cómo cuando somos curiosos y simplemente buscamos pies y cabeza a las cosas a NUESTRA MANERA.

7) ¡Finalmente aprender significativamente y con mas sentido que sólo memorizar y reaccionar como Helix aspersa! (el Helix aspersa es un caracol cuyo sistema nervioso permite que tenga actos reflejos muy primitivos, pero que le permiten sobrevivir si se le condiciona a “recordar” ciertos estímulos).

Pues bien así es como se construye la Ciencia, si, esa gloriosa invención humana llamada ciencia que nos ha permitido llevar ideas, experimentos y descubrimientos básicos a desarrollos tecnológicos que permiten que el autor de este artículo lo haga cómodamente desde su casa para esta revista.Pero entonces ¿Qué es la ciencia?,(tanto padres como hijos nos preguntamos) ¿No es lo que me enseñaron en la escuela acerca de seguir paso a paso de forma ordenada y limpia los procedimientos de aquel manual de prácticas de Biología? La respuesta es NO (en el sentido estricto), eso no es hacer ciencia. Veamos: la palabra ciencia viene del griego epísteme, disciplina del conocimiento absolutamente cierto y demostrable en su acepción original. Esta definición ya ha caducado, de acuerdo con el teorema de la incompletitud de Gödel en Matemáticas, nada es absolutamente cierto y demostrable, y se reduce a todo aquello cuya garantía acerca de su validez es propia y cuenta con tres características fundamentales:

a) Es demostrable

b) Es descriptible

c) Es corregible

Es decir que todo aquello que se considere una Ciencia, es un sistema de elementos que inicialmente se encuentran dispersos pero que cuando son contextualizados y ordenados en un marco teórico y experimental adecuado (lo que no pasa con las matemáticas ya que son puramente una Ciencia formal, es decir, que no necesita de experimentos para verificar sus enunciados de verdad) conforman un orden y este orden finalmente se puede reducir a leyes que se pueden expresar o no en formas enunciativas. Pues bien, esa posible definición grandilocuente de la ciencia es un proceso análogo al que todos nosotros tenemos que pasar a lo largo de nuestra más temprana infancia, como cuando por ejemplo debemos encontrar la forma de encender un juguete nuevo o cuando observamos con gran curiosidad cómo reacciona una lombriz cuando le vertimos sal encima. Resulta que estos procesos de aprendizaje preescolares son los que constituyen a final de cuentas, la construcción del conocimiento científico, que los más grandes investigadores utilizan inconcientemente en sus búsquedas de respuestas a preguntas que parecen complejas pero, en realidad guardan intrínsecamente la curiosidad que expresa el niño más pequeño.¿Entonces esto quiere decir que la mayoría de las instituciones educativas disecan artificialmente nuestro deseo por conocer y lo convierten en un artificio que a final de cuentas nos lleva a detestar algunas de las materias de ciencias básicas? En muchos de los casos sí, así es, pero en muchos otros simplemente canalizan algunas inquietudes y la plantita de la curiosidad sigue viva gracias a que algunos la guardamos con recelo y cuidado para que nunca se marchite y muera.Lo que nos diferencia como seres humanos de otras especies es precisamente la capacidad de preguntarnos y procurar respondernos a las preguntas que nos formulamos, inventando (en el proceso) artefactos que nos permitan tener mayores comodidades aunque esto algunas veces dañe a la naturaleza de modo irreversible.Entonces podríamos concluir que la ciencia del siglo XXI está con nosotros gracias a los descubrimientos e invenciones tecnológicas de siglos que nos antecedieron y que definitivamente vale la pena comprender mucho más de las ciencias básicas como la Física, la Química y la Biología como una forma de disfrute y goce intelectual dejando a un lado el marasmo memorístico que tan en boga está en algunos sistemas educativos escolarizados y que afectan a la curiosidad innata en la búsqueda de lo inesperado, por tanto, es apremiante la necesidad de darle un enfoque distinto al proceso de enseñanza-aprendizaje para crear así, una metodología pedagógica que sea novedosa y llamativa para el estudio de las ciencias básicas, inyectando de esta forma a sus hi@s la curiosidad y la necesidad de comprender y resolver situaciones nuevas eyectando como consecuencia a los inertes y arcaicos procesos memorísticos. Es legítimamente humano pensar que, quienes hicieron algunos de los más grandes descubrimientos fueron personas de carne y hueso que se atrevieron a seguir en la búsqueda, con persistencia y pasión, para finalmente encontrarse de frente con situaciones completamente inesperadas y que han permitido que nos asombremos con la revelación de los más grandes secretos que guarda la naturaleza en su regazo en este inacabable proceso llamado “la búsqueda de la verdad científica”, que finalmente nos permite (a lo menos) evolucionar y procurar estar en equilibrio con todos los entes (tanto vivos como muertos) de nuestro maravilloso Universo.

Medios estratificados - Ecuación diferencial

Manuel Fernández Guasti

Medio estratificado

Medios dieléctricos con permitivdad $\varepsilon$ y permeabilidad $\mu$ dependientes de la posicién. La dependencia espacial esté restringida a una direccién en el caso estratificado (digamos en el eje z ). Ondas monocrométicas linealmente polarizadas.

La ecuaciones de Maxwell son equivalentes ante la transformacién $\mathbf {E} \leftrightarrow \mathbf {H} ,\;\varepsilon \leftrightarrow -\mu$. De manera que solo ondas TE se necesitan analizar en detalle.

Campo Eléctrico

El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,

isotrópico y lineal es

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=\nabla \left({\frac {\rho }{\varepsilon _{t}}}\right)-\nabla \left(\mathbf {E} \cdot \nabla \ln \varepsilon \right)+\mu {\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}-\nabla \ln \mu \times \nabla \times \mathbf {E} .$

En ausencia de cargas y corrientes

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-\nabla \left(\mathbf {E} \cdot \nabla \ln \varepsilon \right)-\nabla \ln \mu \times \nabla \times \mathbf {E} .$

Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién $z$,

entonces $\varepsilon \left(z\right),\mu \left(z\right)$.

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=-\nabla \left(E_{z}{\frac {\partial \ln \varepsilon }{\partial z}}\right)-{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\left({\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \times \mathbf {E} \right).$

Si el campo es TE y la propagación en el plano y-z , entonces $E=E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+E_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+E_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {i} }}$.

$\nabla ^{2}E_{x}-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}$

puesto que $\nabla \times E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}={\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {j} }}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {k} }}$ y entonces ${\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \times E_{x}{\hat {\mathbf {i} }}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {j} }}=-{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {i} }}$.

Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética

${\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}+\mu \varepsilon \omega ^{2}E_{x}={\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}},$

donde $\mu \varepsilon \omega ^{2}={\frac {n^{2}}{c^{2}}}\omega ^{2}=n^{2}k_{0}^{2}$. ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en primeras derivadas.

\subsection[soluciones]{Soluciones de la ecuacién diferencial}

Considere que se pueden separar las variables

$E_{x}\left(y,z\right)=Y\left(y\right)U\left(z\right),$

de manera que se obtiene

${\underset {f\left(z\right)}{\underbrace {{\frac {1}{U}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}+n^{2}k_{0}^{2}-{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {1}{U}}{\frac {\partial U}{\partial z}}} }}+{\underset {-f\left(y\right)}{\underbrace {{\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}} }}=0$

donde hay dos partes que dependen solamente de z y y respectivamente \cite[p. 56]{Born05}. Dado que éstas variables son independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la otra variable \footnote{ésta condición proviene de la separacién de variables independientes. }. Sea la funcién constante $f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma ^{2}k_{0}^{2}$. La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son

entonces para la variable y

${\frac {1}{Y}}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial y^{2}}}=-\sigma ^{2}k_{0}^{2}\quad \Longrightarrow \quad Y\left(y\right)=Y_{0}\exp \left(i\sigma k_{0}y\right)$

y para la variable en z

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}-{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial U}{\partial z}}+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}\right)U=0.$

El parametro variable sufre un corrimiento $\Omega ^{2}\rightarrow \Omega ^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}$ respecto al caso unidimensional \footnote{Como se veré en la siguiente subseccién, $\sigma =0$ para incidencia normal. }. La ecuacién \eqref{eq: ode U} se resuelve por métodos matriciales en el formalismo de Abeles.

En (nuestro) el formalismo de amplitud y fase, se puede resolver numéricamente ésta ecuacién. Primeramente, eliminar la primera derivada mediante la transformacién $U=u{\sqrt {\mu }}$, como se muestra en el \ref{sec:ap=E9ndice-amplitud}.

La ecuacién para la la variable $u$ es entonces

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)^{2}\right)\right]u=0.$

El parámetro dependiente de la posicién puede escribirse como

$\kappa _{u}^{2}=\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\ddot {\mu }}{\mu }}+{\frac {1}{4}}{\frac {{\dot {\mu }}^{2}}{\mu ^{2}}};$

La constante $\sigma$ se puede establecer de una regién donde el éndice de refraccién es constante. Si la fase puede escribirse como $\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {k} \cdot \mathbf {y} +\mathbf {k} \cdot \mathbf {z} =\left|\mathbf {k} \right|\left|\mathbf {y} \right|\sin \theta +\left|\mathbf {k} \right|\left|\mathbf {z} \right|\cos \theta$ donde $\left|\mathbf {k} \right|=k_{0}n\left(z\right)$, y el éngulo se mide con respecto a la normal a la superficie estratificada. De

\eqref{eq: ode Y}

$\sigma =n\left(z\right)\sin \theta =n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}.$

Este resultado es consistente con la propagacién en z en una

regién de éndice constante pues

$\left|\mathbf {k} \right|\left|\mathbf {z} \right|\cos \theta =k_{0}nz\cos \theta ={\sqrt {n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}}}.$

Representacién de amplitud y fase

Si se considera un medio no magnético $\mu =\mu _{0}$, entonces la

ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}\right]u=0.$

La representacién de amplitud y fase nos permite escribir la ecuacién para la amplitud (Ermakov) como

Considere una solucién de la forma $u=A\exp \left(i\phi \right)$ donde la amplitud $A$ y la fase $\phi$ son cantidades reales. La ecuacién

(\ref{eq: ode u sin mu}) deviene en

${\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}-A\left({\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)^{2}+2i{\frac {\partial A}{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+iA{\frac {\phi }{\partial z^{2}}}=-\left[n^{2}-\sigma ^{2}\right]k_{0}^{2}A$

Para un medio transparente sin abosrcién la permitividad es real.

La parte real de la ecuacién anterior es

${\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}-A\left({\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)^{2}=-\left[n^{2}-\sigma ^{2}\right]k_{0}^{2}A$

mientras que la parte imaginaria es

$2i{\frac {\partial A}{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+iA{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0.$

ésta éltima ecuacién la escribimos como

${\frac {1}{A}}\left(2A{\frac {\partial A}{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+A^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)={\frac {1}{A}}{\frac {\partial \left(A^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}{\partial z}}=0$

de manera que si $A$ no es cero, existe el invariante

$A^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}=Q$

Substitucién de este resultado en (\ref{eq: re ode u})

${\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}-{\frac {Q^{2}}{A^{3}}}=-\left[n^{2}-\sigma ^{2}\right]k_{0}^{2}A$

Esta ecuacién es la ecuacién de Ermakov. Para obtener una ecuacién adimensional se escribe el invariante como $Q=k_{0}A_{0}^{2}$ . La

ecuacién adimensional para la amplitud es entonces

${\frac {1}{k_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{d}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{A_{d}^{3}}}=-\left[n^{2}-\sigma ^{2}\right]A_{d}$

donde $A_{d}=A/A_{0}$ es la amplitud adimensional \footnote{El resultado anterior se puede obtener de proponer una solucién de la forma $u=A\exp[i\int (Q/A^{2})dz]$, donde $Q$ es constante. La

segunda derivada de esta funcién es

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{A^{3}}}\left(A^{3}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}-Q^{2}\right)\exp \left(i\int {\frac {Q}{A^{2}}}\partial z\right)=\left({\frac {1}{A}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}-{\frac {Q^{2}}{A^{4}}}\right)u$

que al sustituir en (\ref{eq: ode u sin mu}) se obtiene de nuevo la ecuacién de Ermakov. }.

En una comunicacién anterior abordamos el problema de incidencia normal

([#References|references]). La ecuacién diferencial a resolverse es

la misma que \ref{eq: ode amp adi} excepto que en incidencia normal, de la ecuacién de \ref{eq: snell} $\sigma =0$.

Soluciones de tangente hiperbélica

Permita que la variacién del éndice de refraccién sea

$n\left(z\right)=n_{i}+{\frac {\left(n_{f}-n_{i}\right)}{2}}\left(1+{\mbox{tanh}}\left[{\frac {2}{D}}\arctan \left({\frac {9}{10}}\right)z\right]\right)$

donde $n_{2}$ y $n_{1}$ son los éndices de refraccién en las regiones 1 y 2 lejos de la interfase donde el éndice es constante y el parémetro $D$ corresponde al espesor donde el éndice varéa dentro del 90\ de sus valores iniciales y finales.

La ecuacién diferencial a resolver es entonces

$\left(2\pi \right)^{-2}{\frac {\partial ^{2}A_{d}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{A_{d}^{3}}}=-\left[n_{i}+{\frac {\left(n_{f}-n_{i}\right)}{2}}\left(1+{\mbox{tanh}}\left[{\frac {2}{D}}\arctan \left({\frac {9}{10}}\right)z\right]\right)\right]^{2}A_{d}$

La condicién de frontera se establece en la condicién final. El problema corresponde a establecer la amplitud transmitida y a partir de dicho resultado encontrar las amplitudes incidentes y reflejadas. No es adecuado establecer la condicién inicial como la amplitud incidente, pues en esa regién existiré simulténeamente una onda reflejada cuyo valor es desconocido ([#References|references]).

Considere que la onda incidente viaja en la direccién positiva de la $z$ y el éndice de refraccién varia alrededor de $z=0$. Las condiciones

iniciales para la ecuacién diferencial son entonces

$\left.{\frac {\partial A_{d}}{\partial z}}\right|_{z=z_{2}}=0,\quad A_{d}\left(z_{2}\right)=A_{t}=\left(n_{f}\right)^{-1/2},\quad z_{2}\gg 0$

donde $A_{t}$ es la amplitud adimensional transmitida lejos de la interfase.

campo magnético -revisar/completar

El campo magnético de las ecuaciones de Maxwell para un medio estético,

isotrépico y lineal es

$\nabla ^{2}\mathbf {H} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}=-\nabla \left[\mathbf {H} \cdot \nabla \ln \mu \right]-\nabla \ln \varepsilon \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)-\varepsilon \nabla \times \mathbf {J} +\nabla \ln \varepsilon \times \mathbf {\mathbf {J} }$

En ausencia de cargas y corrientes

$\nabla ^{2}\mathbf {H} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}=-\nabla \left[\mathbf {H} \cdot \nabla \ln \mu \right]-\nabla \ln \varepsilon \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)$

Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién $z$,

entonces $\varepsilon \left(z\right),\mu \left(z\right)$.

$\nabla ^{2}\mathbf {H} -\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}=-\nabla \left(H_{z}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)-{\frac {\partial \ln \varepsilon }{\partial z}}\left({\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \times \mathbf {H} \right).$

Si el campo es TE y la propagacién en el plano y-z , entonces

$\mathbf {H} =H_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+H_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+H_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\rightarrow \mathbf {H} =H_{y}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {j} }}+H_{z}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {k} }}$.

$\nabla ^{2}H_{y}-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}H_{y}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}-{\frac {\partial \ln \varepsilon }{\partial z}}\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right)$ $\nabla ^{2}H_{z}-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial }{\partial z}}\left(H_{z}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)$

puesto que $\nabla \times \left[H_{y}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {j} }}+H_{z}\left(y,z\right){\hat {\mathbf {k} }}\right]=\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {i} }}$ y entonces $\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {i} }}=\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {j} }}$.

Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética

${\frac {\partial ^{2}H_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}H_{y}}{\partial z^{2}}}+\mu \varepsilon \omega ^{2}H_{y}=-{\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}-{\frac {\partial \ln \varepsilon }{\partial z}}\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial z^{2}}}+\mu \varepsilon \omega ^{2}H_{z}=-{\frac {\partial }{\partial z}}\left(H_{z}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right).$

donde $\mu \varepsilon \omega ^{2}={\frac {n^{2}}{c^{2}}}\omega ^{2}=n^{2}k_{0}^{2}$.

Invariante

Sean dos soluciones linealmente independientes

$U_{1}'=i\omega \mu V_{1}$ $U_{2}'=i\omega \mu V_{2}$

Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por $V_{1}$ menos \eqref{eq: U der V 1}por

$V_{2}$ se obtiene

$V_{1}U_{2}'-V_{2}U_{1}'=0.$

De manera anéloga $V_{1}'=i\omega \left(\varepsilon -{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}\mu }}\right)U_{1}$

y $V_{2}'=i\omega \left(\varepsilon -{\frac {\alpha ^{2}}{c^{2}\mu }}\right)U_{2}$

$U_{1}V_{2}'-U_{2}V_{1}'=0.$

De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas

dos ecuaciones

$U_{1}V_{2}'+V_{2}U_{1}'-U_{2}V_{1}'-V_{1}U_{2}'={\frac {d}{dz}}\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)=0$

Coeficientes de reflexién y transmisién

Sean $A$, $R$ y $T$ las amplitudes complejas del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido.

Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos $\mathbf {E}$

y $\mathbf {H}$, asi como la relacién entre ellos para una onda plana

$\mathbf {H} ={\sqrt {\frac {\varepsilon }{\mu }}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E}$

Para una onda TM (transverso eléctrico) plana

$U_{0}=A+R$

Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en $U\left(z=0\right)=U_{0}$ existe una onda incidente y una reflejada. Nétese que $U$ es el campo eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuacién (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.

$U\left(z_{l}\right)=T$

El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de $U$ como $z_{1}$ que es la éltima capa; nosotros preferimos escribir $z_{l}$ (la éltima capa) donde ya solamente hay onda transmitida.

\bibliographystyle{alpha} \bibliography{/home/mfg/acad/ext/ref/libros-doc,/home/mfg/acad/dif/curri/ref-mias/mfg-arti}

\appendix

==

La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante

la transformacién $U=u{\sqrt {\mu }}$, entonces la primera derivada es

${\frac {\partial U}{\partial z}}=\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u\mu ^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial \mu }{\partial z}}=\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)$

mientras que la segunda derivada es

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{2}}\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)+\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)$

que podemos reagrupar como

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=\mu ^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial u}{\partial z}}+\left({\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)u\right]$

La ecuacién diferencial \eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*} \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\ -\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}

que simplifica a

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma ^{2}k_{0}^{2}+\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)^{2}\right)\right]u=0.$

\end{document}