Problema del átomo de hidrógeno

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Planteamiento del problema

Considere un átomo de hidrógeno con un electrón de carga -e y masa me y un protón con carga +e y masa mp. Dadas las propiedades del sistema, en particular, que mp>>me, tomaremos al protón cómo una partícula cargada con un comportamiento cómo se describiría clásicamente. Así, obtenemos un problema clásico de mecánica de dos cuerpos. Ahora definimos el centro de masa de nuestro sistema,

donde re y rp se refieren a la posición del electrón y el protón respectivamente. Para un sistema aislado, sin fuerzas externas actuando sobre él, el centro de masa se mueve a velocidad constante por lo tanto si expresamos la posición de ambas partículas en función de la posición centro de masa R y sus posiciones relativas,

es claro que hemos reducido el problema a una variable, la posición relativa r, por lo que podemos resolver el sistema clásicamente introduciendo la variable de masa reducida

Aunque la complejidad del problema se ha reducido es necesario hacer algunas aclaraciones. Aplicando métodos de solución clásicos encontraríamos una respuesta más bien trivial en la medida que el electrón y el protón se atraen hasta colisionar. Por otro lado, si le otorgamos al electrón suficiente momento para establecer una órbita alrededor del núcleo, ésta no duraría mucho tiempo ya que las partículas cargadas aceleradas emiten radiación por lo que un protón en órbita circular bajo los efecto de la aceleración centrípeta, rápidamente se precipitaría al núcleo por la pérdida de energía cinética y el resultante decaimiento de su órbita.

Así, hemos planteado uno de los problemas fundacionales de lo que hoy se conoce cómo mecánica cuántica: si la teoría clásica nos dice que el átomo de hidrógeno no debería ser estable, ¿por qué lo es?

Solución cuántica

A partir de aquí es necesario introducir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,

sin embargo el potencial de Coulomb no depende explícitamente del tiempo así que podemos proponer una solución de la forma

La parte temporal de la solución es una función periódica exponencial y compleja mientras que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se asocia a la parte espacial y es por lo tanto la ecuación que nos interesa resolver, enunciada cómo: