Principio de Hamilton

Potenciales dependientes de la velocidad

Las ecuaciones de Lagrange se pueden poner de la forma

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {dL}{d{\dot {q}}}}\right)-{\frac {dL}{d{q_{j}}}}\qquad (1)$

Aun cuando no exista función potencial $V$, en el sentido usual, con tal que las fuerzas generalizadas se obtengan de una función $U({q_{j}},{\dot {q}})$ mediante la prescripción

${Q_{j}}=-{\frac {dU}{d{q_{j}}}}+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dU}{d{\dot {q}}}}\right)\qquad (2)$

En tal caso, la lagrangiana sigue estando dada por

$L=T-U\qquad (3)$

$U$ puede llamarse potencial generalizado o potencial dependiente de la velocidad.

Teoremas de conservación y propiedades de simetría

Hasta ahora nos hemos ocupado principalmente de obtener las ecuaciones del movimiento y poco hemos hablado de cómo resolverlas en un problema particular una vez obtenidas. En general se trata de una cuestión matemática. Un sistema de $n$ grados de libertad tendrá $n$ ecuaciones diferenciales que son de segundo orden en el tiempo. A veces, las ecuaciones de movimiento se integrarán mediante funciones conocidas, pero no siempre es así. No obstante, aun cuando no se puedan obtener soluciones completas, suele ser posible sacar mucha información referente a la naturaleza física del movimiento del sistema.

En muchos problemas, se pueden obtener de maera inmediata integrales primeras de las ecuaciones de movimiento; es decir, relaciones del tipo

$f(q_{1},q_{2},....,{\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},...,t)=constante\qquad (3)$

que son ecuaciones diferenciales de primer orden.

Consideremos, por ejemplo, un sistema de puntos materiales sometidos a fuerzas que derivan de potenciales que sólo dpnden de la posición. Entonces

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\equiv {\frac {\partial T}{\partial {\dot {x_{i}}}}}-{\frac {\partial V}{\partial {\dot {x_{i}}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {x_{i}}}}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {x_{i}}}}}\sum {m_{i}}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})=m_{i}{\dot {x_{i}}}=P_{i}x$

que es la componente $x$ de la cantidad de movimiento asociada a la particula i-ésima. Este resultado nos sugiere una ampliación evidente del concepto de cantidad del movimiento. La cantidad de movimiento generalizada asociada a la cordenada $q_{j}$ se define en la forma

$p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{j}}}}}$

A $p_{j}$ se le llama también cantidad de movimiento canónica o cantidad de movimiento conjugada. Notemos que si $q_{j}$ no es una coordenada cartesiana, $p_{j}$ no tiene qu tener necesariamente las dimensiones de una cantidad de movimiento. Es más, si hay un potencial que dependa de la velocidad, incluso en el caso de que $q_{j}$ una coordenada cartesiana la cantidad de movimiento generalizada asociada a ella no será igual a la cantidad de movimiento mecánica usual. Así pues, en el caso de un grupo de particulas en el campo electromagnético la lagrangiana es

$L=\sum {\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {r_{i}^{2}}}-\sum q_{i}\psi (x_{i})+\sum {\frac {q_{i}}{c}}A(x_{i}){\dot {r_{i}}}$

${\frac {\partial ^{d}U2\Psi }{\partial \mathbf {x} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {y} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {z} ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {v} ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {t} ^{2}}}\qquad (2)$

$f(x)=C_{0}+C_{1}\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}x+\varepsilon _{1}\right)+C_{2}\cos \left({\frac {2\pi }{\frac {\lambda }{2}}}x+\varepsilon _{2}\right)+...\qquad (1)$</center

$\left({\frac {dU}{d{\dot {q}}}}\right)$

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {dL}{d{\dot {q}}}}\right)-{\frac {dL}{d{q_{j}}}}\qquad (1)$