Principio de Hamilton

Introducción

La experiencia ha demostrado que cuando sea posible despreciar los efectos relativistas, el movimiento de una partícula dentro de un sistema de referencia inercial queda correctamente descrito mediante la fórmula de Newton $F={\dot {p}}$. Cuando suceda que la particula no haya de ejecutar un movimiento complicado y se utilicen coordenadas rectangulares para describirlo, generlmente las ecuaciones de movimiento serán relativamente sencillas; ahora bien, si no se verifica ninguna de estas condiciones, las ecuaciones pueden hacerse bastante complicadas y dificiles de manejar.

No obstante, al resolver un problema aplicando las leyes de Newton es necesario conocer la totalidad de las fuerzas, ya que la cantidad $F$, que aparece en la fórmula fundamental, es la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo.

Con el fin soslayar alguna de las dificultades de índole práctica que aparecen al aplicar las fórmulas de Newton a ciertos problemas, pueden desarrollarse otros procedimientos. Entonces, no es necesario formular una nueva teoria de la mecánica -la teoría de Newton es suficientemente correcta- para efectuar una simplificación, sino que basta con idear otro método que nos permita abordar problemas complicados de forma general. El principio de Hamilton contiene un método de ese carácter y las ecuaciones de movimiento que resultan de la aplicación del mismo se llaman ecuaciones de Lagrange

Si las ecauciones de Lagrange han de constituir una descripción adecuada de la dinámica de las paticulas , deberán ser eqivalentes a las ecuaciones que resulten de las fórmulas de Newton.

Potenciales dependientes de la velocidad

Las ecuaciones de Lagrange se pueden poner de la forma

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {dL}{d{\dot {q}}}}\right)-{\frac {dL}{d{q_{j}}}}\qquad (1)$

Aun cuando no exista función potencial $V$, en el sentido usual, con tal que las fuerzas generalizadas se obtengan de una función $U({q_{j}},{\dot {q}})$ mediante la prescripción

${Q_{j}}=-{\frac {dU}{d{q_{j}}}}+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {dU}{d{\dot {q}}}}\right)\qquad (2)$

En tal caso, la lagrangiana sigue estando dada por

$L=T-U\qquad (3)$

$U$ puede llamarse potencial generalizado o potencial dependiente de la velocidad.

Teoremas de conservación y propiedades de simetría

Hasta ahora nos hemos ocupado principalmente de obtener las ecuaciones del movimiento y poco hemos hablado de cómo resolverlas en un problema particular una vez obtenidas. En general se trata de una cuestión matemática. Un sistema de $n$ grados de libertad tendrá $n$ ecuaciones diferenciales que son de segundo orden en el tiempo. A veces, las ecuaciones de movimiento se integrarán mediante funciones conocidas, pero no siempre es así. No obstante, aun cuando no se puedan obtener soluciones completas, suele ser posible sacar mucha información referente a la naturaleza física del movimiento del sistema.

En muchos problemas, se pueden obtener de maera inmediata integrales primeras de las ecuaciones de movimiento; es decir, relaciones del tipo

$f(q_{1},q_{2},....,{\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},...,t)=constante\qquad (3)$

que son ecuaciones diferenciales de primer orden.

Consideremos, por ejemplo, un sistema de puntos materiales sometidos a fuerzas que derivan de potenciales que sólo dpnden de la posición. Entonces

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\equiv {\frac {\partial T}{\partial {\dot {x_{i}}}}}-{\frac {\partial V}{\partial {\dot {x_{i}}}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {x_{i}}}}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {x_{i}}}}}\sum {m_{i}}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})=m_{i}{\dot {x_{i}}}=P_{i}x$

que es la componente $x$ de la cantidad de movimiento asociada a la particula i-ésima. Este resultado nos sugiere una ampliación evidente del concepto de cantidad del movimiento. La cantidad de movimiento generalizada asociada a la cordenada $q_{j}$ se define en la forma

$p_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{j}}}}}$

A $p_{j}$ se le llama también cantidad de movimiento canónica o cantidad de movimiento conjugada. Notemos que si $q_{j}$ no es una coordenada cartesiana, $p_{j}$ no tiene qu tener necesariamente las dimensiones de una cantidad de movimiento. Es más, si hay un potencial que dependa de la velocidad, incluso en el caso de que $q_{j}$ una coordenada cartesiana la cantidad de movimiento generalizada asociada a ella no será igual a la cantidad de movimiento mecánica usual. Así pues, en el caso de un grupo de particulas en el campo electromagnético la lagrangiana es

$L=\sum {\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {r_{i}^{2}}}-\sum q_{i}\phi (x_{i})+\sum {\frac {q_{i}}{c}}A(x_{i})\cdot {\dot {r_{i}}}$

(aquí, $q_{i}$ representa la carga) y la cantidad de movimiento generalizada conjugada a $x_{i}$ es

$p_{ix}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}=m_{i}{\dot {x_{i}}}+{\frac {q_{i}A_{x}}{c}}$

Es decir, la cantidad de movimiento mecánica más un término adicional. Cuando la lagrangiana de un sistema no contenga una coordenada dada $q_{j}$(aun cuando pueda contener la velocidad correspondiente ${\dot {q_{j}}}$), diremos que la coordenada es cíclica o ignorable. Esta definición no es universal, pero es la acostumbrada y vamos a utilizarla. La ecuación de lagrange del movimiento

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0$

Se reduce, para una coordenada cíclica, a

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}=0$

O sea

${\frac {dp_{j}}{dt}}=0$

Lo que significa

$p_{j}=constante$

Luego, podemos enunciar como teorema de conservación general que la cantidad de movimiento generalizada conjugada a una coordenada cíclica se conserva.

Ecuaciones de movimiento de Hamilton

Los métodos de Hamilton no son particularmente superiores a las técnicas de lagrange en la solución directa de problemas mecánicos. La utilidad del punto de vista de Hamilton consiste, más bien, en proporcionar un marco para extensiones teóricas en muchos campos de la Física. En la mecánica clásica constituye la base para desarrollos ulteriores, tales como la teoría de Hamilton-Jacobi, y los métodos de perturbaciones. A continuación vamos a suponer que los sistemas mecánicos son holonomos y los fuerzas monógenas, es decir, que derivan o de un potencial que solo depende de la posición, o de potenciales generalizados dependientes de la velocidad.

Transformaciones de Legendre y ecuaciones de movimiento de Hamilton

En la formulación de lagrange no relativista, un sistema con n grados de libertad posee n ecuaciones de movimiento de la forma

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$

${\frac {\partial ^{d}U2\Psi }{\partial \mathbf {x} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {y} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {z} ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {v} ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {t} ^{2}}}\qquad (2)$

$\left({\frac {dU}{d{\dot {q}}}}\right)$

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {dL}{d{\dot {q}}}}\right)-{\frac {dL}{d{q_{j}}}}\qquad (1)$