Polos de una función

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Definición

Sea $A\subseteq \mathbb{C}$, $z_0$ $\epsilon$ $A$ y $f$ analítica en $A-$ {$z_0$}. Se dice que una $f$ tiene un polo de orden $m$ en $z_0$ cuando existen $m$ números complejos $b_1$, $b_2$,...,$b_m$, con $b_m\neq 0$, tales que la función


$f(z)-\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{b_k}{(z-z_0)^k}$


tiene una singularidad evitable en $z_0$. En este caso, a la función


$p(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{b_k}{(z-z_0)^k}$


se llama la parte principal de $f$ en $z_0$.


Observación

Si $f$ tiene un polo de orden $m$ en $z_0$ y $p(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{b_k}{(z-z_0)^k}$ es la parte principal de $f$ en $z_0$, como la función $h(z)=f(z)-p(z)$ tiene una singularidad evitable en $z_0$, se tiene que $h(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ en algún dominio que excluye a $z_0$ $D^*(z_0)$ y, por tanto, $f$ puede escribirse en la forma


$f(z)=p(z)+h(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{b_k}{(z-z_0)^k}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$


en $D^*(z_0)$.


Proposición


Sea $A\subseteq \mathbb{C}$ abierto, $z_0$ $\epsilon$ $A$ y $f$ analítica en $A-$ {$z_0$}. Entonces, son equivalentes:


a) $f$ tiene un polo de orden $m$ en $z_0$.


b) $lím_{z\longrightarrow z_0}(z-z_0)^mf(z)\neq 0$.


c) Existe una función $g$ analítica en $A$, con $g(z)=(z-z_0)^mf(z)$ en $A-$ {$z_0$} y $g(z_0)\neq 0$.


Demostración


a)$\Longrightarrow$ b).- Si $f$ tiene un polo de orden $m$ en $z_0$, sea $p(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{b_k}{(z-z_0)^k}$, con $b_m\neq 0$, su parte principal. Entonces, en algún dominio que excluye a $z_0$ $D^*(z_0)$ se tiene que:


$f(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{b_k}{(z-z_0)^k}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}b_k(z-z_0)^{-k}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$


por lo anterior, se tiene que en $D^*(z_0)$ es


$(z-z_0)^mf(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}b_k(z-z_0)^{m-k}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n+m}$


             $=b_m+b_{m-1}(z-z_0)+...+b_1(z-z_0)^{m-1}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n+m}$


En consecuencia, $lím_{z\longrightarrow z_0}(z-z_0)^mf(z)=b_m\neq 0$.


b)$\Longrightarrow$ c).- Si $lím_{z\longrightarrow z_0}(z-z_0)^mf(z)=b_m\neq 0$, la función $(z-z_0)^mf(z)$ tiene una singularidad evitable en $z_0$ y, por tanto, existe una función $g$ que es analítica tal que $g(z)=(z-z_0)^mf(z)$ en $A-$ {$z_0$}, con $g(z_0)=lím_{z\longrightarrow z_0}g(z)=lím_{z\longrightarrow z_0}(z-z_0)^mf(z)\neq 0$.


c)$\Longrightarrow$ a).- Dado que $g$ es analítica en $z_0$, admite un desarrollo en serie de potencias $g(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ en un dominio que contiene a $z_0$ $D(z_0)$, con $a_0=g(z)\neq 0$. En consecuencia, como $g(z)=(z-z_0)^mf(z)$ para los $z\neq z_0$, se tiene que


$f(z)=\dfrac{g(z)}{(z-z_0)^m}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n-m}$

    $=\dfrac{a_0}{(z-z_0)^m}+\dfrac{a_1}{(z-z_0)^{m-1}}+...+\dfrac{a_{m-1}}{z-z_0}+a_m+a_{m+1}(z-z_0)+...+a_n(z-z_0)^{n-m}+...$


con $a_0\neq 0$, luego $f$ tiene un polo de orden $m$ en $z_0$.


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 23:45 3 jul 2015 (CDT)