Pendulo

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Introducción

Derivación de la ecuación del péndulo

Ecuación del movimiento en coordenadas polares

Tomamos un péndulo longitud , lo fijamos por el extremo superior y colocamos una partícula de masa en su extremo libre inferior. Situamos el origen del sistema de coordenadas en la posición de la partícula en equilibrio. Al desplazar la masa de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos, se produce un equilibrio de fuerzas. Para derivar las ecuaciones pertenecientes a un péndulo gravitacional se deben hacer las siguientes hipótesis:

Diagrama de las fuerzas que actúan en un péndulo simple.
  • Hilo inextensible y sin peso
  • Movimiento sin rozamiento del aire

La flecha azul representa la fuerza debido a la gravedad actuando sobre la masa. Las flechas en color violeta representan los componentes paralelo y perpendicular al movimiento instantáneo de la masa.

Ya que la masa está obligada a moverse en un trayecto circular (representado en color verde), el componente paralelo de esta fuerza es el responsable del movimiento de la masa y viene dado según la ecuación:



La fuerza perpendicular, que mantiene la masa en estado de equilibrio con la tensión del hilo es:



La aceleración lineal que sigue la línea marcada en color rojo está relacionada con el cambio en el ángulo por la fórmula para encontrar la longitud de arco:



De donde se deduce que la velocidad y la aceleración vienen dadas por:

Esta aceleración no toma en cuenta que el ángulo está disminuyendo. La ecuación de movimiento teniendo en cuenta que la aceleración tiene que llevar un signo negativo viene dada por:


Aplicamos la segunda ley de newton en forma diferencial.

Rescribimos la ecuación la ecuación como función de ángulo

reescribiendo esta ecuacion sólo por notación tenemos que

de donde

que es la ecuación conocida del péndulo simple.

Solución aproximada(para ángulos pequeños)

Con deseos de encontrar una solución aproximada de la ecuación de movimiento, asumamos que es pequeña. En este caso


así que tenemos

ó


Algunas consideraciones extras

Recordemos que la solución a esta ecuacion diferencial es

Error al representar (función desconocida «\omegat»): {\displaystyle \theta=\theta_{0}(\omegat+\varphi_{0})}


donde , es la amplitud de la oscilación y es el ángulo de desfasamiento. El movimiento es armónico simple, y el periodo de oscilación está dado por

Ecuación del movimiento en coordenadas cartesianas

Ahora tomamos la simetría del triángulo que forma la longitud del péndulo con el eje horizontal y el eje vertical

donde

tenemos que la segunda derivada del ángulo con respecto al tiempo es

sustituimos en nuestra ecuación diferencial

y así

que es exactamente igual a (2) solo con una transformación de coordenadas.

Límite para ángulos pequeños

Para ángulos pequeños, es decir pequeños desplazamientos con respecto a la longitud del péndulo podemos hacer una serie de aproximaciones muy finas, pero si se suponen que los desplazamiento son lo suficientemente pequeños para justificar el porque se desprecian los términos de la forma

Entonces la ecuación se reduce a


y nos queda la ecuación homogénea diferencial de segundo orden del péndulo como función de las coordenadas cartesianas, donde la coordenada es función del tiempo.


Función Potencial de un péndulo

En el caso estacionario el parámetro es independiente del tiempo podemos determinar la energía en términos de amplitud A y frecuencia también independiente del tiempo. Por el teorema de trabajo energía establece la existencia de una función

la cual es llamada energía potencial entonces podemos determinar esta energía por

donde de la segunda ley de Newton

y sustituyendo en

finalmente

Consideraciones de la energía

Como la energía del sistema esta dada por la suma de la energía cinética más la energía potencial, entonces tenemos que

Cuando alcanza su amplitud máxima (A) la velocidad de la masa es cero entonces



En el caso estudiado por galileo la constricción se introduce en el eje del péndulo sin realizar ningún trabajo sobre el sistema ; por lo tanto la energía se conserva

Para los dos estados estacionarios se obtiene la razón de sus amplitudes.


Péndulo de longitud variable

Algunas de la aportaciones mas importantes del principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independientemente de su amplitud, para amplitudes pequeñas(no obstante, cuando la amplitud es grande el periodo del péndulo si depende de ella). Galileo propone un experimento que utiliza un péndulo cercano de una pared, mientras este oscila , se introduce un clavo en la pared que se interpone en el camino que recorre la cuerda cuando pasa por la vertical.La longitud del péndulo cambia entonces de forma abrupta .Galileo, apoyándose en la nociones del momento e ímpetu que había concebido, explica que la altura máxima que alcanza el péndulo es idéntica en todos los casos. En aquella época no existía el concepto de energía que fue permeado años después, primero con la energía cinética, posteriormente con la energía potencial y finalmente distintas formas de energía cuyo valor total siempre se conserva.


En el lenguaje contemporáneo, el problema descrito por galileo se formula en términos de un oscilador armónico con un parámetro dependiente del tiempo(la longitud variable) y los invariantes asociados al sistema. A partir del ultimo tercio del siglo XX se revitalizo el interés por el oscilador armónico dependiente del tiempo, este debido a que se encontró un invariante exacto que es valido para variaciones lentas o rápidas. Para el péndulo de longitud variable se describirá al sistema bajo tres condiciones:

• En el limite abrupto que es el invariante en un limite abrupto que abordo Galileo.

• En el limite adiabático que es el caso en el cual la variación de la longitud es muy lenta.

• En el caso más general del invariante exacto que debe ser válido para ambos casos particulares.

Longitud que varía con el tiempo

Si ahora consideramos a donde L es la longitud del péndulo como función del tiempo la ecuación diferencial toma la forma

Donde representa la posición horizontal del centro de masa del péndulo , es un parámetro dependiente el tiempo , es la longitud variable y es la contante gravitacional en la superficie terrestre.