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PROBLEMA 1.4

The system shown at the rest in fig. 1.1(a) could be set into vibration by giving the mass a sudden momentum impulse to the left: by tapping it with a hammer, for example. If the magnitude of the impulse is $p_1$ and it is given at time$t=0$, find (a) the amplitude and (b) the phase constant of the ensuing motion.

Inicialmente tenemos que la posición en un tiempo $t=0$ es $x(0)=0$.

Para resolver este problema, utilizaremos la solución dada por el autor del libro $x(t)=A\cos (wt+\varphi)$ para la ecuación

$m \frac{d^2x}{dt^2}=-kx+p_1$

Para poder encontrar la fase($\varphi$), sustituiremos $t=0$ en la solución planteada.

$x(0)=A\cos(w(0)+\varphi)=0$ $A\cos(\varphi)=0$ $\cos(\varphi)=0$ $\varphi=\arccos(0)$ $\varphi=\pi/2$

Teniendo ahora como solución $x(t)=A\cos(wt+\frac{\pi}{2})$ podremos hallar la Amplitud.

Sabemos que la derivada de la posición respecto del tiempo es la velocidad, en este caso $v(t)=-Aw\sin(wt+\frac{\pi}{2})$, donde al aplicarle la condición inicial $t=0$ obtenemos

$v(0)=-Aw=v_o$

Definimos $p_1$ como

$p_1=mv_o$

Sustituyendo $v_o$ en la última ecuación

$p_1=Amw$ $A=\frac{p_1}{mw}$

==

Problema 2.7 capitulo 2 del libro de vibrations and waves in physics, Iain G. Main, third edition

La Figura 2.8 muestra una arreglo que podría usarse para configurar un circuito $LC$ en oscilación. El condensador se carga primero a una tensión $V_{1}$ por medio de la batería. En el momento $t = 0$, el interruptor se activa para conectar el condensador cargado a través de la bobina. Derive (a) la amplitud y (b) la constante de fase de la oscilación resultante.

Solución:

Para resolver el circuito de la Figura 2.8, usamos la segunda ley de Kirchhoff

$\sum _{k=1}^{n}V_{k}=V_{1}+V_{2}+V_{3}\dots +V_{n}=0$

Como solamente tenemos dos caídas de tensiones debidas al capacitador y la inductancia, obtenemos

$V_{C}+V_{L}=0$

Donde $V_{C} =\frac{\psi}{C}$ y $V_{L}= L\frac{di}{dt}$, como $i=\frac{d \psi}{dt}$ entonces nos queda que $V_{L}= L\frac{d^2 \psi}{dt^2}=L \ddot{\psi}$.

Sustituimos, y obtenemos

$L{\ddot {\psi }}+{\frac {\psi }{C}}=0\rightarrow {\ddot {\psi }}+{\frac {\psi }{LC}}=0$

Definamos la pulsación natural del sistema como $\omega^2_{0} = \frac{1}{LC}$. Obtenemos

${\ddot {\psi }}+\omega _{0}^{2}\psi =0$

Cuya ecuación característica es $r^2+\omega^2_{0}=0$, y la solución de la ecuación diferencial es de la forma $\psi(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}$.

Las raíces de la ecuación característica son: $r_{1}=\omega_{0}i$ y $r_{2}=-\omega_{0}i$

Y la solución general de la ecuación homogénea es

$\psi (t)=C_{1}e^{\omega _{0}it}+C_{2}e^{-\omega _{0}it}$

Sabemos de los números complejos que $e^{\omega_{0} i t}= \cos(t)+i \sin(t)$ y $e^{-\omega_{0} i t}= \cos(t)-i \sin(t)$, y las sustituimos en la solucion general.

$\psi (t)=C_{1}[\cos(t)+i\sin(t)]+C_{2}[\cos(t)-i\sin(t)]$

Reorganizamos términos

$\psi (t)=(C_{1}+C_{2})\cos(t)+i(C_{1}-C_{2})\sin(t)$

Definamos nuevas constantes como $A=C_{1}+C_{2}$ y $B=i(C_{1}-C_{2})$, y las reemplazamos en la solución.

$\psi (t)=A\cos(\omega _{0}t)+B\sin(\omega _{0}t)$

Hacemos que $A=D\cos(\phi)$ y $B=-D\sin(\phi)$

$\psi (t)=D\cos(\phi )\cos(\omega _{0}t)-D\sin(\phi )\sin(\omega _{0}t)$

Usamos la identidad trigonométrica: $\cos(\omega_{0} t+\phi)=\cos(\phi)\cos(\omega_{0} t) - \sin(\phi)\sin(\omega_{0} t)$

Y la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:

$\psi (t)=D\cos(\omega _{0}t+\phi )$

Por ultimo nos que da evaluar las condiciones iniciales para responder los incisos (a) y (b).

Las condiciones iniciales son $\psi(0)=CV_{1}$ y $\dot{\psi}(0)=0.$

$\psi (0)=D\cos(\phi )=CV_{1},$ ${\dot {\psi }}(0)=-D\sin(\phi )=0.$

La relacion $\dot{\psi}(0)=-D\sin(\phi)=0$ se satisface si, $\phi=0$ y por lo tanto $D=CV_{1}$

$\psi (t)=CV_{1}\cos(\omega _{0}t).$