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11 de Abril de 2007
Introducción.


La Optica Cuántica estudia los fenómenos ópticos que pueden ser explicados tratando a la luz como un chorro o torrente de fotones en lugar de tratarla como una onda electromagnética. En principio esta área es tan vieja como la teoría cuántica, pero en la práctica, es relativamente nueva y ha venido a emerger durante el último cuarto del siglo XX.


 
En el desarrollo progresivo de la teoría de la luz, tres principales formas de abordarla pueden ser claramente identificadas: la clásica, la semiclásica y las teorías cuánticas.
 
 
 
Introducción a los Láseres I      1(2007) 1-11
 
 
 
Reporte de Proyecto en Formato de Artículo
 
== Algunas consideraciones teóricas sobre la determinación semiclásica de los niveles de población electrónico/atómicos para un láser de 4 niveles y determinación de la estabilidad de una cavidad láser resonante con argumentos de óptica matricial. ==
 
 
Manuel de la Cruz López, Eduardo González Ramírez
Estudiantes de la Licenciatura. en Física, Universidad Autónoma Metropolitana,Unidad Iztapalapa, Ap.Postal 55-534, México 09340,D.F.,México
 
 
 
 
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== Sumario ==
 
En este trabajo se revisarán los aspectos teóricos  más relevantes sobre el planteamiento semiclásico de las ecuaciones de razón para un láser 4 niveles para ser abordado con el programa Mathematica de forma analítica. Se estudia también el caso de las ecuaciones de razón para un láser de 2 niveles y se resuelve parcialmente de forma analítica y para casos particulares de forma numérica con el software antes  mencionado.
También se determina la estabilidad de una cavidad láser resonante sin medio activo (en vacío) con una configuración concéntrica de espejos totalmente reflejantes con la ayuda de Matemática y de un programa diseñado en Borland C++.
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== 1.Introducción ==
 
Las ecuaciones de balance o razón dentro de la teoría del láser, son aquellas que describen las transiciones electrónicas en los distintos niveles de energía de un átomo (láser) o una molécula (máser) a causa de la interacción del material activo con la radiación electromagnética. Estas ecuaciones diferenciales tienen como variable independiente el tiempo y dependiendo del numero de niveles energéticos aumentara el numero de ecuaciones simultaneas. Para que un láser sea efectivo se de debe cumplir la condición de inversión de población. Esto es, sean Es y Ei los dos niveles en los cuales ocurre la transición láser, Ns y Ni sus poblaciones respectivamente; la condición de inversión de población será aquella en donde Ns>Ni. Se demostró que para un sistema de dos niveles, no es posible conseguir tal condición. Como mínimo se necesita un sistema de 4 niveles, en cuyo caso existirán 9 ecuaciones diferenciales acopladas.
 
Existen muchos otros parámetros que se pueden establecer con el fin que del láser sea estable: parámetros térmicos, ópticos y de naturaleza estructural. Dentro de los parámetros ópticos, la cavidad en donde esta contenido el medio activo y el sistema de espejos es resonante, es decir, los fotones emanados de la excitación del medio activo oscilan dentro de el sistema de espejos para conseguir amplificación. Esto sugiere que existe una expresión para los modos de oscilación de los fotones dentro de la cavidad. Para que la oscilación dentro de la cavidad sea estable se necesita configurar el sistema de espejos de modo tal que los fotones emanados por emisión estimulada y/o espontánea queden confinados dentro del sistema el mayor tiempo posible. En términos de óptica, sea una configuración de espejos de determinada geometría, el haz de fotones debe estar contenida dentro de la región paraxial. Para ello se construye un sistema de matrices que representan el camino óptico del haz cuando esta oscilando dentro de la cavidad.
 
Así pues, el proyecto consiste en determinar las ecuaciones de razón, sus soluciones y la simulación de la población en los niveles en donde ocurre la transición láser para 4 niveles, así como determinar el ángulo máximo sobre encima del cual, el láser pierde estabilidad al oscilar la radiación en la cavidad.
 
2. Ecuaciones de razón para un láser de cuatro niveles
 
                   
                  Figura 1.
 
 
 
De la Figura 1  se observa que, existen 4 niveles de energía, con sus correspondientes poblaciones de electrones  .  Buscamos plantear las ecuaciones para este sistema, tomando en cuenta los coeficientes de Einstein, los cuales indican la probabilidad de que un electrón absorba la energía del fotón (absorción), emita un fotón al bajar a un estado de mas baja energía por emisión espontánea o emita dos fotones al bajar a un estado mas bajo de energía, es decir, emisión estimulada. También se tiene el número de fotones en cada transición, denotados por la variable  , que indica el número de fotones asociados en la transición de  a  . Para manejar adecuadamente la notación tendremos
 
  Coeficiente de Einstein de Absorción
  Coeficiente de Einstein de Emisión Estimulada
  Coeficiente de Einstein de Emisión Espontánea
 
En donde los subíndices de i a j indican la transición del electrón de un estado i a un estado energético j, con  .
Antes de comenzar plantear las ecuaciones, se debe tomar en cuenta las siguientes suposiciones:
 
- la degeneración de los niveles son iguales: 
- la población en el nivel  es constante
- las transiciones de los niveles  al  y del  al  son transiciones del orden de nanosegundos (50 ns) y se consideran sus ritmos de cambio iguales a cero.
- El ritmo de cambio de los fotones para la transición  a  es constante.
 
Con esto, se tienen las siguientes ecuaciones:
                              …(1)
    …(2)
  …(3)
    …(4)
Donde la primera ecuación indica la primera suposición y la última ecuación indica la suposición del tiempo de vida media de escala de nanosegundos. Los signos de los argumentos indican que hay perdida de elementos (signo menos) o ganancia de ellos (signo mas) dados por el coeficiente de Einstein correspondiente.
 
Para el número de fotones, las ecuaciones son
 
…(5)
…(6)
        …(7)
…(8)
…(9)
 
La tercera ecuación diferencial debe ser estrictamente mayor que cero, pues de no serlo así, no podría haber emisión láser (transición láser) en esos niveles.
Se agrega también un coeficiente  , este coeficiente es necesario, ya que no todos los fotones emitidos en esa transición se sumaran a la amplificación debido a que escapan de la cavidad resonante. Nuestra suposición toma el siguiente valor de tal cantidad
 
…(10)
 
Los valores de los coeficientes de Einstein, se pueden deducir con algunas relaciones matemáticas y entre ellas la mas sencilla es la de la transición láser que esta relacionada con el tiempo de transición media entre los niveles de emisión  . Esta relación es
 
…(11)
También se tiene que para los coeficientes  están relacionados con los coeficientes  por la expresión
 
…(12)
 
 
Las nueve ecuaciones diferenciales planteadas están acopladas y sus soluciones fueron buscadas con el software Mathematica, encontrándose que el sistema no es soluble simbólicamente por lo que se intentará hacerlo de forma numérica con posterioridad.
Sin embrago resolveremos analíticamente con Matemática el sistema de dos niveles que es de 3 ecuaciones diferenciales acopladas.
Las ecuaciones de razón para este sistema son las siguientes:
 
…(13)
 
…(14)
 
…(15)
 
Las cuales se pueden resolver simbólicamente en Matemática y con valores para A y B muy pequeños dados en términos de los tiempos de transición  de ordenes muy pequeños como se ha mencionado más arriba.
Veamos ahora cómo se puede plantear en Matemática el problema:
 
a)Primero planteamos un sistema con coeficientes de Einstein pequeños (A=B=0.0002) y con condiciones iniciales para el nivel N1 de 1000 atomos, N2 con cero átomos y el numero de fotones iniciales de 1000 (para más fotones la computadora es incapaz de resolverlo por falta de recursos).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que son las formas de las gráficas para N1,N2 y n esperadas, es decir el número de electrones en estado excitado en el nivel N1 conforme pasa el tiempo debe aumentar como se muestra en la grafica para N1 vs t y cuando N2 varia con respecto al tiempo se ve una disminución de electrones en ese estado debido a la emisión espontánea y por otro lado el número de fotones n conforme pasa el tiempo va disminuyendo debido a que en realidad el sistema lo único que hace es absorber luz ya que no hay inversión de población neta que permita emisión láser.
 
 
b)Ahora planteamos un sistema con coeficientes de Einstein aún más pequeños (A=B=0.00009)(un orden de magnitud menor que el caso anterior) y con condiciones iniciales para el nivel N1 de 1000 atomos,N2 con cero átomos y el numero de fotones iniciales de 10,000 (un orden de magnitud mayor que el caso anterior).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que son las formas de las gráficas para N1,N2 y n contra el tiempo esperadas por las razones antes argüidas.
 
 
== 2. Determinación de la estabilidad de una cavidad láser resonante con argumentos de óptica matricial ==
2.1 Aproximación paraxial de un resonador
 
Consideremos el caso de un rayo confinado entre dos espejos esféricos  de radios de curvatura  y  separados por una distancia d como se muestra en la Figura 2.
 
Figura 2.
 
El problema de un rayo confinado en un resonador como el de la figura es óptimamente equivalente al problema de la propagación de un rayo a través de un sistema infinito de lentes alternadas de distancia focal  y  separadas por una distancia d como se muestra en la Figura 3. Este sistema es llamado sistema biperiódico de lentes.
 
 
 
 
Figura 3.
 
Diremos que un resonador óptico (o un sistema biperiódico de lentes) es estable cuando es capaz de mantener indefinidamente al rayo confinado en la cercanía del eje óptico. Mientras que un resonador será inestable cuando un rayo confinado en el se aleje cada vez mas del eje óptico, hasta que eventualmente salga del resonador. Ejemplo evidente de un resonador inestable es aquel que está formado por dos espejos convexos opuestos.
 
Similarmente, un ejemplo de un sistema biperiódico infinito de lentes inestable será uno formado por lentes divergentes.
 
Tomando como origen un extremo del resonador (figura1); tenemos que la matriz de transformación total para un rayo confinado en un viaje de ida y vuelta dentro de este es
 
…(16)
 
En este caso consideraremos una cavidad resonante concéntrica sin medio activo, es decir, el rayo se propaga en el vacío. Haremos  ,  .
Los espejos cóncavos tendrán un diámetro  para el cual el Angulo máximo que puede tener el rayo dentro de la cavidad resonante para no escaparse deberá ser de  . En este caso los dos espejos se consideran 100% reflejantes.
 
El problema será determinar la estabilidad de la cavidad y para ello se analizarán la cota máxima de ciclos por encima del cual, el sistema se vuelve inestable, es decir, ya no hay confinamiento del haz en la cavidad resonante. Para ello utilizaremos el software Mathematica y el software Borland C++ . Primero se realizará el producto de las matrices mostradas en la expresión (16) y a partir de ese resultado se realizará la recurrencia de  así como de    tomando el valor absoluto de la expresión obtenida para este sistema en particular para  , debido a que se trata de un sistema simétrico, tanto en sentido vertical como horizontal, lo que implica que solo se considerarán los rebotes del haz de luz sólo por arriba del eje óptico y de ahí se obtendrá el número de iteraciones para ángulos muy pequeños hasta que la cavidad se vuelva inestable, es decir, hasta que el haz ya no esté contenido dentro de la cavidad resonante. A continuación se muestra lo calculado en Matemática para la matriz:
 
 
 
 
 
 
Ahora se muestra el código fuente del programa realizado en Borland C++ para la recurrencia para el haz en la cavidad para Y2 y  , es decir para distancia al eje óptico inicial=0.001m, incremento en el ángulo 0.001 rad se tienen 850 ciclos hasta que la cavidad se vuelve en inestable, lo cual es bastante razonable. Si  aumentamos a 0.0001 rad el incremento, salen 84 mil ciclos.
 
 
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#define Yfin 1.7
float Yini,Angulo_inicial,Delta_Angulo,h;
int n,res;
 
main ()
 
{
  printf("Aplicacion para determinar el numero de ciclos de un haz.\n en una cavidad resonante.\n");
do
{
 
 
printf("Introduce el valor de la distancia inicial al eje optico.\n");
scanf("%f",&Yini);
printf("Introduce ahora el valor del angulo inicial.\n");
scanf("%f",&Angulo_inicial);
printf("Introduce el incremento en ese angulo.\n");
scanf("%f",&Delta_Angulo);
 
 
n=0;
 
for(h=3*Yini+2*Angulo_inicial;h<=Yfin;)
  {
  h=3*Yini+2*Angulo_inicial;
  n=n+1;
  Angulo_inicial=Angulo_inicial+Delta_Angulo;
  }
 
printf("El Sistema pierde estabilidad al realizarse  %d ciclos",n+1);
printf("¿Desea otro calculo? 1=si o cualquier otro para salir.\n");
scanf("%d",&res);
  }while ( res==1) ;
getche ();
 
}
 
== 3.Conclusiones: ==
 
Se abordó el problema de las ecuaciones de razón para un láser de 4 niveles sin poder resolverlo analíticamente con el programa Mathematica. Se resolvió de forma analítica y numérica para dos casos particulares el problema de las ecuaciones de razón para 2 niveles, obteniéndose los resultados esperados del comportamiento del sistema para intervalos del tiempo grandes, es decir se obtuvieron curvas exponenciales crecientes y decrecientes para las poblaciones electrónicas en los niveles N2 y N1 respectivamente así como un número de fotones decreciente con respecto al tiempo debido a que en este sistema no hay inversión de población, por lo que el medio se comporta como un sistema absorbedor de fotones y no hay emisión láser. Esto se repitió para coeficientes de Einstein distintos (cada vez más pequeños) y se obtuvieron los mismos resultados cualitativos del comportamiento del sistema.
Por otro lado se logró determinar la estabilidad de una cavidad láser resonante sin medio activo (vacío) por medio de un programa de recurrencia programado en Borland C++, encontrándose que para ángulos pequeños el número de iteraciones tiende a ser muy grande ya que para incrementos de 0.0001 rad son necesarios 84 mil ciclos  para que la cavidad concéntrica se tornase inestable.  
 
== 4.Referencias ==
 
[1] Aboites Vicente,Láseres: una introducción,Centro de Investigaciones en Óptica, pags. 47-57.
 
<math>a</math>
 
[[Categoría:laseres]]

Revisión del 21:23 24 nov 2008

Introducción.

La Optica Cuántica estudia los fenómenos ópticos que pueden ser explicados tratando a la luz como un chorro o torrente de fotones en lugar de tratarla como una onda electromagnética. En principio esta área es tan vieja como la teoría cuántica, pero en la práctica, es relativamente nueva y ha venido a emerger durante el último cuarto del siglo XX.

En el desarrollo progresivo de la teoría de la luz, tres principales formas de abordarla pueden ser claramente identificadas: la clásica, la semiclásica y las teorías cuánticas.