Optica: Vector de Poynting

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Vector de Poynting

Deduccion del Vector de Poynting

[1]


El vector de Poynting es un vector cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética y cuya dirección y sentido son los de propagación de la onda electromagnética. Representado en funcion del campo electrico y magnetico

y en forma compleja

Para deducir esta ecuación utlizaremos el principio de conservación de energia que se define por una ecuacion de conservacion

donde j es el flujo que sale de una superfice de volumen y la parte derecha de la ecuacion es el cambio en la densidad dentro del volumen.

La ecuación de conservacion de energia se encuentra limitada por restricciones impuestas por la teoria de la relatividad ya que al denfinir eventos simultaneos estos unicamente pueden ser medidos al ser cercanos entre ellos, por lo que nos reduce esta conservación de la energia a "localidades".


Por otra parte tenemos una un vector el cual representa un flujo de energia atraves de una superficie aun que en el lugar no exista una densidad de energia.

De esta forma podemos extrapolar el principio de conservación de la energia a el electromagnetismo donde definimos u como la densidad de energia y S el vector de flujo de la energia .

Pero esta ecuación por si sola no representa por completo a la conservación "local" de la energia, ya que el campo que sale del volumen no se conserva debido a que debemos de tomar en cuenta la transformación de materia en energia y viceversa, debido a esto debemos de incluir un termino extra para incluir el trabajo dentro del volumen.

en este punto se realizan dos suposiciones , una es que el medio macroscopico es lineal para las propiedades magneticas y electicas, por lo que no hay dispersión ni perdidas, y la segunda es que la suma de los campos representa la densidad total de energia electromagnetica , aun para campos que varian en el tiempo.

Ahora utlizaremos las ecuaciones de Maxwell

podemos obtener las igualdades para los terminos de esta ecuación al despejar de la ecuacion y con el producto donde


donde la parte izquierda de la expresión podemos expresarla en la siguente forma

El termino de la izquierda hay que tener cuidado al trabajarlo debido a que la divergencia actua sobre los dos campos y no es posible realizar unicamente el algebra para reacomodar los vectores.

definiremos la divergencia entonces de forma que se aplique sobre ambos campos

donde el gradiente se divide en cada uno de los campos sobre el que se aplica, esto es de la misma forma que se utlizaria una derivada de un producto y podemos entonces aplicar el algebra vectorial a estos productos.

por lo que obtendremos un termino

y asi la expresion

puede reescribirse en la notacion normal

ahora tendremos nuestra ecuacion de energia

ahora utilizaremos otra ves a las ecuaciones de maxwell para sustituir el rotacional de E


tendremos los demas terminos.

de donde al comparar con la ecuacion de conservación podemos obtener la expresión para el Vector de Poynting.

Promediando Funciones Armonicas


[2] Al aplicar las consideraciones del vector de poynting a una onda plana linealmente polarizada la cual viaja en una dirección k

Es evidente que oscila entre maximos y minimos, y debido a que es el cuadradado de la funcion esto ocila dos veces mas rapido que los campos separados, por lo tanto su valor instantanéo es muy poco practico de medir.

Por lo que se recomiendoa que emplear un promedios, es decir medir la energia radiante absorbida durante un intervalo finito de tiempo, puesto que un medidor no puede hacer una medición instantanea.

A este tipo de calculo tambien se le conoce como irradiancia la cual es la energia medida por unidad de area por unidad de tiempo.

Teorema de Poynting en una material linealmente dispersivo con perdidas

[3] Partiendo de la conservación de la energia y al desarrollar el mismo procedimiento que se utlizo para obtener el vector de Poynting podemos llegar a la expresión

ahora como estamos en medios los cuales si presentan dispersion y perdidas ( y) debemos de hacer una descomposision de fourier de los campos tal que

Ahora supondremos la linealidad de los campos y su isotropia , por lo que implica que donde es un numero complejo que es suceptible a la frecuencia, analogamente el campo magnetico.

Esto tambien implica que los terminos que tiene derivadas respecto del tiempo, no son la derivada unicamente, por lo que es necesario reescribirlos en terminos de ls integrales de fourier con dependencias implicitas del tiempo.


dividiendo esta integral en partes y suponiendo que el campo electico esta dominado por componentes de frecuencias en rangos relativamente cercanos a los intervalos de frecuencias caracteristicos en los cuales cambia apreciablemnte obtendremos.

analogamente se puede calcular una expresion para que si consideramos a y a como independientes de la frecuencia y reales, recueraremos los terminos del vector de poynting original .

Calcularemos ahora el valor para la ecuacion de continuidad con las ecuaciones dependientes del tiempo anteriores obtendremos el teorema de Poynting para medios dispersivos con perdidas

donde

De esta ecuacion el primer termino de la derecha representa las perdidas ohmicas si las hay, el temino que le sigue la disipacion del medio, en una situacion real habra perdidas por calentamiento del medio lo cual lleva a el decaimiento de la energia en los campos .

Referencias




  1. Feynman Lectures on Physics Volumen 3 [cap.27 p.1-11]-
  2. E Hetch. Optica. Addison Weseley, 3ra edition, 2000.
  3. Classical Electrodynamics Third Edition by John David Jackson (Hardcover - Aug 10, 1998)[cap.6.8 p.262-264]

--Rgloria 01:46 2 sep 2008 (CDT)