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| == Principio de Huygens-Fesnel == | | == Principio de Huygens-Fesnel == |
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| El Principio de Huygens indica que cada punto en un frente de onda puede ser considerado como centro de una perturbación secundaria que da lugar a ondas esféricas, y el frente de onda en cualquier instante puede ser considerado como la envolvente de esas ondas. Fresnel pudo darse cuenta de la difracción complementando la Construcción de Huygens con el postulado de que las ondas secundarias interfieren mutuamente. | | El principio de Huygens fue establecido por el cientifico holandes Christiaan Huygens en 1678, es un metodo geometrico para encontrar a partir de la forma conocida de un frente de onda en algun instante dado, la forma de frente de onda un tiempo despues.El principio establece: |
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| == Desarrollo matemático ==
| | ''"cada punto de un frente de onda puede ser considerado como fuente secundaria de ondas que se expanden en todas direcciones con rapidez igual a la rapidez de propagacion de la onda."'' |
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| [[Imagen:zona_fresnel.jpg|left|thumb|450px|<center>Figura 1. Posición instantánea de una onda monocromática con radio <math>r_o</math>. Construcción de las zonas de Fresnel</center>]]
| | Asi, el nuevo frente de onda en un tiempo posterior se encuentra construyendo una superficie tangente a las ondas secundarias o como se le conoce la ''envolvente'' de las ondas secundarias. Este principio expresa en esencia la idea de que cuando cada punto en un medio es perturbado por la onda, los efectos de dicha perturbación se mueven radialmente alejándose del punto en cuestión conforme pasa el tiempo. |
| | El principio de Huygens se muestra en la Fig. 1.1. El frente de onda original AA` se aleja de una fuente, como se indica con los pequeños puntos (fuerzas). Se quiere encontrar la forma del frente despues del tiempo t. Sea v la rapidez de propagacion de la onda; entonces en el tiempo t esta recorre una distancia vt; construimos varios circulos (ondas secundarias esfericas) de radio ''r=vt'', centrados en los puntos a lo largo de AA`. La envolvente de estas ondas secundarias, que es el nuevo frente de onda, es la curva BB`; estamos suponiendo que v es la misma en todos los puntos y en todas las direcciones. |
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| Consideremos <math>S</math> la posición instantánea de una onda esférica monocromática con radio <math>r_{o}</math> y centro en <math>P_o</math>. <math>P</math> es el punto donde queremos ver la perturbación. El punto <math>Q</math> está en la superficie de la espera teniendo un angulo <math>\theta</math> respecto a la linea entre <math>P_o</math> y <math>P</math>. Ahí existe una perturbación dada por <math>Q = A \frac{{e^{ikr_o}}}{{r_o}}</math>. Donde <math>A</math> es la amplitud por unidad de tiempo.
| | [[Archivo:principio de Huygens.jpg]] |
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| Según el Principio de Huygens-Fresnel consideramos cada elemento del frente de onda como centro de una perturbación secundaria la cual se propaga en la forma de ondas esféricas. Tomemos un elemento de perturbación <math>dU</math> debida al elemento S en Q:
| | La figura 35.16 ilustra dos ejemplos sencillos de la construcción de Huygens. Primero considere una onda plana que se mueve por el espacio libre, como en la figura 35.16a. En t=0 el frente de onda esta indicado por el plano marcado AA`; en esta construcción cada uno de los puntos de este frente de onda se considera como una fuente puntual. Con estos puntos como fuentes para el tren de ondas, trazamos círculos de radio c Δt cada uno, donde c es la velocidad de la luz en el vacío y Δt es el periodo de propagación desde un frente de onda al siguiente. La superficie trazada tangente a estos trenes de ondas es el plano BB`, que es paralelo a AA`. De un modo semejante, la figura 35.16b muestra la construcción para una onda esférica saliente. |
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| <center><math>dU(P) = K(\chi)\frac{{Ae^{ikr_o}}}{{r_o}}\frac{{e^{iks}}}{{s}}dS</math> (1) </center>
| | [[Archivo:onda_plana.jpg]] [[Archivo:onda_esferica.jpg]] |
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| Donde <math>s = QP</math> y <math>K(\chi)</math> es el factor de inclinación que describe la variación con dirección de la amplitud de las ondas secundarias y <math>\chi</math> es el ángulo entre la normal en el punto <math>Q</math> y la línea <math>s</math>.
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| <math>K(\chi)</math> es máximo cuando <math>\chi = 0</math> y empieza a decrecer cuando <math>\chi</math> va aumentando. <math>K(\chi)</math> es cero cuando <math>\chi = \frac{{\pi}}{{2}}</math>.
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| Integrando la ecuación (1) obtenemos la pertubación total en <math>P</math>:
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| <center><math>U(P) = \frac{{Ae^{ikr_o}}}{{r_o}}\iint\limits_S \frac{{e^{iks}}}{{s}}K(\chi) \, dS</math> (2) </center>
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| Para evaluar esa ecuación es necesario construir las zonas de Fresnel.
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| == Construcción de zonas de Fresnel ==
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| Tomemos varios círculos con centro en <math>P</math> y diferentes radios:
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| <center><math>b, b + \frac{{\lambda}}{{2}}, b + \frac{{2\lambda}}{{2}}, ... </math></center>
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| Donde <math>b = CP</math> y <math>C</math> es el punto de intersección de <math>PP_o</math> con el frende de onda <math>S</math>.
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| Las esfércas dividen a <math>S</math> en varias zonas: <math>Z_1, Z_2, Z_3,..., Z_j, ...</math>
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| Suponemos que <math>r_o</math> y <math>b</math> son mucho mayores que <math>\lambda</math>. Por lo tanto <math>K(\chi)</math> debe tener el mismo valor <math>K_j</math> en diferentes zonas (pues las <math>Z_j</math> están muy pegadas).
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| == Regresando al problema ==
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| De la Figura 1 vemos:
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| <center><math>s^2 = r^2_o + (r_o + b)^2 - 2r_o(r_o + b)cos\theta</math></center>
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| Si derivamos respecto a <math>s</math> tenemos:
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| <center><math>sds = r_o(r_o + b)sin \theta d \theta</math></center>
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| Por otro lado, tenemos el diferencial de la superficie <math>S</math>:
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| <center><math>dS = r^2_o sin \theta d \theta d \varphi = \frac{{r_o}}{{r_o + b}}sdsd \varphi</math></center>
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| Donde <math>\phi</math> es el ángulo azimutal.
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| De la ecuación (2) vemos que es una doble integral. Por un lado integramos respecto a <math>\phi</math> y nos da <math>2\pi</math>. Entonces nos queda una ecuación con una sola integral que descibre la j-ésima contribución (de cada zona de Fresnel):
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| <center><math>U_j (P) = 2\pi \frac{{Ae^{ikr_o}}}{{r_o + b}}K_j \int_{b + (j - 1) \frac{{\lambda}}{{2}}}^{b + j \frac{{\lambda}}{{2}}}e^{iks}ds </math></center>
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| Resolviendo la integral y como <math>k \lambda = 2\pi</math>:
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| <center><math>U_j(P) = 2i \lambda (-1)^{j+1}K_j \frac{{Ae^{ik(r_o + b)}}}{{r_o + b}}</math> (3)</center>
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| Reacomodando tenemos que el efecto total en P es la suma de todas las contribuciones:
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| <center><math>U(P) = 2i \lambda \frac{{Ae^{ik(r_o + b)}}}{{r_o + b}}\sum_{j=1}^n (-1)^{j + 1} K_j</math>(4)</center>
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| == Algo sobre series ==
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| En la ecuación (4) tenemos esta serie:
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| <center><math>\sum = \sum_{j=1}^n (-1)^{j + 1} K_j = K_1 - K_2 + K_3 -...+(-1)^{n + 1} K_n</math> (5)</center>
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| La cual podemos desarrollar usando el método de Schuster, el cual consiste en separar elementos de la serie en dos partes y formar grupos:
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| <center><math>\sum = \frac{{K_1}}{{2}} + [\frac{{K_1}}{{2}} - K_2 + \frac{{K_3}}{{2}}] + [\frac{{K_3}}{{2}} - K_4 + \frac{{K_5}}{{2}}] + ...</math></center>
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| Donde el último término puede ser <math>\frac{{1}}{{2}} K_{n-1} - K_n</math> o <math>\frac{{1}}{{2}} K_n</math> si es impar o par, respectivamente.
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| Ahora, supongamos que <math>K_j</math> es mayor que el promedio de sus vecinos <math>K_{j-1}</math> y <math>K_{j+1}</math>. Entonces cada uno de los términos en los paréntesis de la ecuación aterior son negativos y resultaría (6):
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| <center><math>\sum < \frac{{K_1}}{{2}} + \frac{{K_n}}{{2}}</math> para <math>n</math> par</center>
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| <center><math>\sum < \frac{{K_1}}{{2}} + \frac{{K_{n-1}}}{{2}} - K_n</math> para <math>n</math> impar</center>
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| Por otro lado, también la ecuación (5) podemos escribirla de la siguiente manera:
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| <center><math>\sum = K_1 - \frac{{K_2}}{{2}} - [\frac{{K_2}}{{2}} - K_3 + \frac{{K_4}}{{2}}] - [\frac{{K_4}}{{2}} - K_5 + \frac{{K_6}}{{2}}]+...</math></center>
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| Con el último termino siendo <math>-\frac{{1}}{{2}} K_{n-1} + K_n</math> o <math>-\frac{{1}}{{2}}K_n</math> según si <math>n</math> es par o impar.
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| De forma similar al método de Schuster, la ecuación anterior resulta (7):
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| <center><math>\sum > K_1 - \frac{{K_2}}{{2}} - \frac{{K_{n-1}}}{{2}} + K_n </math> para <math>n</math> par</center>
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| <center><math>\sum > K_1 - \frac{{K_2}}{{2}} - \frac{{K_n}}{{2}} </math> para <math>n</math> impar</center>
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| <math>K_j</math> difiere muy poco de los valores de sus vecinos <math>K_{j-1}</math> y <math>K_{j+1}</math> por ello el lado derecho de las ecuaciones (6) y (7) son casi iguales, es decir (8):
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| <center><math>\sum = \frac{K_1}{2} + \frac{K_n}{2}</math> si <math>n</math> es par</center>
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| <center><math>\sum = \frac{K_1}{2} - \frac{K_n}{2}</math> si <math>n</math> es impar</center>
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| == Solución del problema ==
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| Tomando la ecuación (4) y sustituyendo las ecuaciones (8), tenemos (9):
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| <center><math>U(P) = i\lambda (K_1 \pm K_n) \frac{Ae^{ik(r_o + b)}}{r_o + b}</math></center>
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| Donde el signo <math>\pm</math> es positivo o negativo si <math>n</math> es par o impar.
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| De esta ecuación y la ecuación (3) para <math>U_j</math>:
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| <center><math>U(P) = \frac{1}{2} [U_1(P) + U_n(P)]</math></center>
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| De aquí notamos que la perturbación total <math>U(P)</math> depende sólamente de la perturbación debida a la primera zona <math>U_1</math> y la última <math>U_n</math>. Pero veamos qué pasa con la perturbación <math>U_n</math>.
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| Si tomamos la última zona de Fresnel <math>Z_n</math>, vemos que el la recta <math>s</math> es tangente a la superfice <math>S</math>. Es decir, el ángulo <math>\chi = \frac{\pi}{2}</math> y por lo tanto <math>K_n(\chi) = 0</math>.
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| Entonces la ecuación (9) resultaría:
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| <center><math>U(P) = i\lambda K_1 \frac{Ae^{ik(r_o+b)}}{r_o + b} = \frac{1}{2} U_1(P)</math> (10)</center>
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| Esto quiere decir que la perturbación total <math>U(P)</math> es igual a la mitad de la perturbación debida a la primera zona.
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| Si tomamos la ecuación (10) para <math>U(P)</math> y la ecuación (3) para <math>U_1(P)</math> tendríamos que:
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| <center><math>i\lambda K_1 = 1 \Rightarrow K_1 = -\frac{i}{\lambda} = \frac{e^{-i\frac{\pi}{2}}}{\lambda}</math> (11)</center>
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| Es decir, la ecuación (10) resultaría:
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| <center><math>U(P) = i\lambda K_1 \frac{Ae^{ik(r_o + b)}}{r_o + b} = \frac{Ae^{ik(r_o + b)}}{r_o + b}</math> (12)</center>
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| == Obstrucción de un plano ==
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| Supongamos que tenemos un plano con una abertura muy pequeña circular perpendicular a <math>CP</math> (ver Figura 1) y además que cubra todas las zonas salvo la mitad de la primera. Usando las ecuaciones (3) y (11), asumiendo que <math>j = 1</math> y multiplicando por <math>\frac{1}{2}</math>:
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| <center><math>U(P) = i\lambda K_1 \frac{Ae^{ik(r_o + b)}}{r_o + b} = \frac{Ae^{ik(r_o + b)}}{r_o + b}</math></center>
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| Que es el mismo resultado de la ecuación (12), es decir, da el mismo resultado si no tuvieramos el plano.
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| Ahora supongamos que tenemos un plano pero que cubre todas las zonas de Fresnel salvo la primera. Usando de nueva cuenta la ecuación (3), tenemos:
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| <center><math>U(P) = 2i\lambda K_1 \frac{Ae^{ik(r_o + b)}}{r_o + b} = 2\frac{Ae^{ik(r_o + b)}}{r_o + b}</math></center>
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| Que es 4 veces mayor a que si el plano no estuviera (Comparado con la ecuación 10).
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| Con esto podemos ver que usando el plano, podemos aumentar o disminuir la perturbación sobre algún punto. Eso tiene gran aplicación en la ingeniería, por ejemplo en la constucción de lentes.
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| == Referencia y links ==
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| Marx Born & Emil Wolf
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| Principles of Optics
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| 6th Edition
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| Sobre los lentes de Fresnel:
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| http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/OptGeometrica/Instrumentos/fresnel/fresnel.htm
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Principio de Huygens-Fesnel
El principio de Huygens fue establecido por el cientifico holandes Christiaan Huygens en 1678, es un metodo geometrico para encontrar a partir de la forma conocida de un frente de onda en algun instante dado, la forma de frente de onda un tiempo despues.El principio establece:
"cada punto de un frente de onda puede ser considerado como fuente secundaria de ondas que se expanden en todas direcciones con rapidez igual a la rapidez de propagacion de la onda."
Asi, el nuevo frente de onda en un tiempo posterior se encuentra construyendo una superficie tangente a las ondas secundarias o como se le conoce la envolvente de las ondas secundarias. Este principio expresa en esencia la idea de que cuando cada punto en un medio es perturbado por la onda, los efectos de dicha perturbación se mueven radialmente alejándose del punto en cuestión conforme pasa el tiempo.
El principio de Huygens se muestra en la Fig. 1.1. El frente de onda original AA` se aleja de una fuente, como se indica con los pequeños puntos (fuerzas). Se quiere encontrar la forma del frente despues del tiempo t. Sea v la rapidez de propagacion de la onda; entonces en el tiempo t esta recorre una distancia vt; construimos varios circulos (ondas secundarias esfericas) de radio r=vt, centrados en los puntos a lo largo de AA`. La envolvente de estas ondas secundarias, que es el nuevo frente de onda, es la curva BB`; estamos suponiendo que v es la misma en todos los puntos y en todas las direcciones.
Archivo:Principio de Huygens.jpg
La figura 35.16 ilustra dos ejemplos sencillos de la construcción de Huygens. Primero considere una onda plana que se mueve por el espacio libre, como en la figura 35.16a. En t=0 el frente de onda esta indicado por el plano marcado AA`; en esta construcción cada uno de los puntos de este frente de onda se considera como una fuente puntual. Con estos puntos como fuentes para el tren de ondas, trazamos círculos de radio c Δt cada uno, donde c es la velocidad de la luz en el vacío y Δt es el periodo de propagación desde un frente de onda al siguiente. La superficie trazada tangente a estos trenes de ondas es el plano BB`, que es paralelo a AA`. De un modo semejante, la figura 35.16b muestra la construcción para una onda esférica saliente.
Archivo:Onda plana.jpg Archivo:Onda esferica.jpg
