Optica: Paraxial

De luz-wiki
Revisión del 17:27 27 jun 2008 de Mfg (discusión | contribs.) (Nueva página: = aproximación paraxial: soluciones Gaussianas = manuel fernández guasti ==ecuación diferencial== La ecuación de onda<center><math> \nabla^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\frac{\part...)
(difs.) ← Revisión anterior | Revisión actual (difs.) | Revisión siguiente → (difs.)

aproximación paraxial: soluciones Gaussianas

manuel fernández guasti


ecuación diferencial

La ecuación de onda

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0\label{eq: onda}

para una onda monocromática

deviene en la ecuación de Helmholtz

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\psi+k^{2}\psi=0,\label{eq: helm}

donde .

Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección

z,

Error al representar (función desconocida «\label»): \psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right),\label{eq: sol pref}

donde es un campo complejo \cite[cap.16, p.626]{Siegman86}.

El gradiente es entonces

y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es

pero

de manera que


La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0.\label{eq: helm comp}

La aproximación paraxial requiere que

Error al representar (función desconocida «\label»): \left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial z^{2}}\right|\ll\left|2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial y^{2}}\right|\label{eq: aprox paraxial}

El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal mas un operador longitudinal . En coordenadas cartesianas o en coordenadas cilíndricas . De manera que el laplaciano en \eqref{eq: helm comp} se puede sustituir

por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial

Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla_{T}^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0\label{eq: dif paraxial}

que es una ecuación parabólica.


soluciones

Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas

Error al representar (función desconocida «\label»): \psi_{esf}=\frac{A_{0}}{r}e^{ikr}.\label{eq: sol esf}

Demostración: El gradiente de la magnitud radial es .

De manera que

El laplaciano es entonces

pero y

de manera que el laplaciano deviene

y se satisface la ecuación de onda monocromática\eqref{eq: helm}.


solución aproximada

La expansión de la distancia radial en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z es

La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces

Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial \eqref{eq: sol pref},

se obtiene

Error al representar (función desconocida «\label»): \tilde{u}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)\label{eq: sol u pref}


Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada \eqref{eq: dif paraxial}.

Demostración: El gradiente transversal es

y el laplaciano transversal

que puede escribirse como

Mientras que la primera derivada longitudinal es

de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial \eqref{eq: dif paraxial}.


Solución acotada

Considere la solución para compleja, . El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse

como

El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de

la función radio de curvatura

Error al representar (función desconocida «\label»): R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}\label{eq: rad curv ab}

El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref} está multiplicada por , es una amplitud decreciente en las direcciones

transversales

De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales

que decae a a una distancia

donde hemos utilizado la relación . Para definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades con mayor significado físico, considere el plano , entonces

donde es el valor mínimo de la función

y se conoce como la cintura del haz

Por otro lado, si se considera el plano , entonces . Puesto que el área del haz es , en la distancia el área se duplica. Ésta distancia

se conoce en física como distancia de Rayleigh

Error al representar (función desconocida «\label»): z_{R}=\frac{k}{2}w_{0}^{2}=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}.\label{eq: dist de rayleigh}

En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.

El radio del haz (donde decae a ) es entonces

Error al representar (función desconocida «\label»): w\left(z\right)=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}+1}\label{eq: w ancho del haz}

El radio de curvatura es

Error al representar (función desconocida «\label»): R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}\label{eq: R radio de curvatura}

La representación polar de

es

puede reescribirse como

y

de manera que

mientras que la fase es


La amplitud compleja es entonces\begin{multline} \tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right)\right]\\ \exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\label{eq: sol u pref param}\end{multline} La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por \begin{multline} \psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right)\right]\\ \exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\exp\left(ikz\right)\label{eq: sol u pref param}\end{multline}