Optica: Paraxial

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aproximación paraxial: soluciones Gaussianas

manuel fernández guasti


ecuación diferencial

La ecuación de onda

\( \nabla^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0\label{eq: onda}\)

para una onda monocromática \(\psi\left(\mathbf{r},t\right)=\psi\left(\mathbf{r}\right)\exp\left(-i\omega t\right)\)

deviene en la ecuación de Helmholtz

\( \nabla^{2}\psi+k^{2}\psi=0,\label{eq: helm}\)

donde \(\omega^{2}/v^{2}=k^{2}\).

Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección

z,

\( \psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right),\label{eq: sol pref}\)

donde \(\tilde{u}\) es un campo complejo \cite[cap.16, p.626]{Siegman86}.

El gradiente es entonces

\( \nabla\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\exp\left(ikz\right)\)

y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es

\( \nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\right]\exp\left(ikz\right)+\nabla\left[\exp\left(ikz\right)\right]\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\)

pero

\( \nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right]\exp\left(ikz\right)+\left[ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right)\)

de manera que

\( \nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right)\)


La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces

\( \nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0.\label{eq: helm comp}\)

La aproximación paraxial requiere que

\( \left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial z^{2}}\right|\ll\left|2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial y^{2}}\right|\label{eq: aprox paraxial}\)

El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal \(\nabla_{T}\) mas un operador longitudinal \(\frac{\partial}{\partial z}\hat{e}_{z}\). En coordenadas cartesianas \(\nabla_{T}=\frac{\partial}{\partial x}\hat{e}_{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{e}_{y}\) o en coordenadas cilíndricas \(\nabla_{T}=\) \(\frac{\partial}{\partial\rho}\hat{e}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\theta}\hat{e}_{\theta}\). De manera que el laplaciano en \eqref{eq: helm comp} se puede sustituir

por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial

\( \nabla_{T}^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0\label{eq: dif paraxial}\)

que es una ecuación parabólica.


soluciones

Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas

\( \psi_{esf}=\frac{A_{0}}{r}e^{ikr}.\label{eq: sol esf}\)

Demostración: El gradiente de la magnitud radial es \(\nabla r=\hat{\mathbf{r}}\).

De manera que

\( \nabla\psi_{esf}=\left(-\frac{A_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}+\frac{A_{0}}{r}ik\hat{\mathbf{r}}\right)e^{ikr}=\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}.\)

El laplaciano es entonces

\(\begin{matrix} \nabla^{2}\psi_{esf} & = & \nabla\cdot\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}\right]\\ & = & \left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}+\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}}\end{matrix}\)

pero \(\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}=2/r\) y

\( \nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{r^{2}}\psi_{esf}+\left(-\frac{1}{r}+ik\right)^{2}\psi_{esf}\)

de manera que el laplaciano deviene

\( \nabla^{2}\psi_{esf}=\left[\frac{2}{r}\left(-\frac{1}{r}+ik\right)+\frac{2}{r^{2}}-2\frac{ik}{r}-k^{2}\right]\psi_{esf}=-k^{2}\psi_{esf}\)

y se satisface la ecuación de onda monocromática\eqref{eq: helm}.\(\square\)


solución aproximada

La expansión de la distancia radial \(r=\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}\) en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z es

\( r\approx\left(z-z_{1}\right)+\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}.\)

La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces

\( \psi_{esf}^{aprox}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\left(z-z_{1}\right)\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)\)

Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial \eqref{eq: sol pref},

se obtiene

\( \tilde{u}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)\label{eq: sol u pref}\)


Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada \eqref{eq: dif paraxial}.

Demostración: El gradiente transversal es

\( \nabla_{T}\tilde{u}=\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\)

y el laplaciano transversal

\(\begin{matrix} \nabla_{T}^{2}\tilde{u} & = & \frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\nabla_{T}\cdot\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\\ & & +\left[\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\nabla_{T}\tilde{u}\right].\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\end{matrix}\)

que puede escribirse como

\( \nabla_{T}^{2}\tilde{u}=\frac{2ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}+\frac{-k^{2}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}\right]\)

Mientras que la primera derivada longitudinal es

\( \frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=\tilde{u}\left(-\frac{1}{\left(z-z_{1}\right)}\right)+\tilde{u}\left(-ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)^{2}}\right)\)

de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial \eqref{eq: dif paraxial}.\(\square\)


Solución acotada

Considere la solución para \(\tilde{z}_{1}=a+ib\) compleja, \(x_{1},\; y_{1}=0\). El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse

como

\( \frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}+\frac{ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}\)

El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de

la función radio de curvatura

\( R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}\label{eq: rad curv ab}\)

El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref} está multiplicada por \(ik\), es una amplitud decreciente en las direcciones

transversales

\( \exp\left(-\frac{k}{2}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right]}\right).\)

De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales

\(\exp\left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)\) que decae a \(1/e\) a una distancia

\( w^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right],\)

donde hemos utilizado la relación \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\). Para definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades con mayor significado físico, considere el plano \(z=a=z_{0}\), entonces

\( w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}\)

donde \(w_{0}\) es el valor mínimo de la función \(w\left(z\right)\)

y se conoce como la cintura del haz

\( w=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1}\)

Por otro lado, si se considera el plano \(z-a=b\equiv z_{R}\), entonces \(w\left(z_{R}\right)=\sqrt{2}w_{0}\). Puesto que el área del haz es \(\pi w^{2}\), en la distancia \(z_{R}\) el área se duplica. Ésta distancia

se conoce en física como distancia de Rayleigh

\( z_{R}=\frac{k}{2}w_{0}^{2}=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}.\label{eq: dist de rayleigh}\)

En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.

El radio del haz (donde decae a \(1/e\)) es entonces

\( w\left(z\right)=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}+1}\label{eq: w ancho del haz}\)

El radio de curvatura es

\( R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}\label{eq: R radio de curvatura}\)

La representación polar de \(\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}\)

es

\( \frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{4R^{2}}{k^{2}w^{4}}\right)\right]\)

\(\frac{R}{w^{2}}\) puede reescribirse como

\( \frac{R}{w^{2}}=\frac{k\; z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}\)

y

\( \frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}=\left(\frac{w_{0}}{z_{R}w}\right)^{2}\)

de manera que

\( \sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{4R^{2}}{k^{2}w^{4}}\right)\right]=\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right)\right]\)

mientras que la fase es

\( ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}=ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\)


La amplitud compleja es entonces\begin{multline} \tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right)\right]\\ \exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\label{eq: sol u pref param}\end{multline} La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por \begin{multline} \psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right)\right]\\ \exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\exp\left(ikz\right)\label{eq: sol u pref param}\end{multline}