Diferencia entre revisiones de «Optica: Paraxial»

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Línea 2: Línea 2:
==Ecuación diferencial de onda paraxial==
==Ecuación diferencial de onda paraxial==


La ecuación de onda (ver [[Ondas: ecuacion de onda]])
La [[Ondas: ecuacion de onda|ecuacion de onda]]
(1.1)<center><math> {\color{Sepia}\nabla^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0} </math></center>
(1.1)<center><math>{\color{Sepia}\nabla^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0},</math></center>
para una onda monocromática  
para una onda monocromática  
<math>\psi\left(\mathbf{r},t\right)=\psi\left(\mathbf{r}\right)\exp\left(-i\omega t\right)</math> deviene en la ecuación de Helmholtz  
<math>\psi\left(\mathbf{r},t\right)=\psi\left(\mathbf{r}\right)\exp\left(-i\omega t\right)</math> deviene en la ecuación de Helmholtz  
Línea 11: Línea 11:
(1.3)<center><math>
(1.3)<center><math>
\psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right),</math></center>
\psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right),</math></center>
donde <math>\tilde{u}</math> es un campo complejo <ref> Siegman A., ''Lasers'', University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626] </ref>. El gradiente es entonces<center><math>
donde <math>\tilde{u}</math> es un campo complejo <ref> Siegman A., ''Lasers'', University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626] </ref>. El gradiente es entonces
\nabla\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\exp\left(ikz\right)</math></center>
(1.4)<center><math>
y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es<center><math>
\nabla\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\exp\left(ikz\right),</math></center>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\right]\exp\left(ikz\right)+\nabla\left[\exp\left(ikz\right)\right]\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)</math></center>
y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es
(1.5)<center><math>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\right]\exp\left(ikz\right)+\nabla\left[\exp\left(ikz\right)\right]\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right),</math></center>
pero
pero
(1.4)<center><math>
(1.6)<center><math>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right]\exp\left(ikz\right)+\left[ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right)</math></center>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right]\exp\left(ikz\right)+\left[ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right),</math></center>
de manera que  
de manera que  
(1.5)<center><math>
(1.7)<center><math>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right)</math></center>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right).</math></center>




La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces
La [[Radiacion: Guias de onda|ecuación de Helmhlotz]] (sin aproximaciones aún) es entonces
(1.6)<center><math>
(1.8)<center><math>
\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}+\tilde{u}+(\kappa^{2}-k^{2}) \tilde{u}=0.</math></center>
\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}+\tilde{u}+(\kappa^{2}-k^{2}) \tilde{u}=0.</math></center>
La aproximación paraxial requiere que <math>\kappa^{2}-k^{2}= 0</math> y
La aproximación paraxial requiere que <math>\kappa^{2}-k^{2}= 0</math> y
(1.7)<center><math>
(1.9)<center><math>
\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial z^{2}}\right|\ll\left|2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial y^{2}}\right|</math></center>
\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial z^{2}}\right|\ll\left|2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial y^{2}}\right|.</math></center>
El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal
El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal
<math>\nabla_{T}</math> mas un operador longitudinal <math>\frac{\partial}{\partial z}\hat{e}_{z}</math>.
<math>\nabla_{T}</math> mas un operador longitudinal <math>\frac{\partial}{\partial z}\hat{e}_{z}</math>.
Línea 34: Línea 36:
o en coordenadas cilíndricas <math>\nabla_{T}=</math> <math>\frac{\partial}{\partial\rho}\hat{e}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\theta}\hat{e}_{\theta}</math>.
o en coordenadas cilíndricas <math>\nabla_{T}=</math> <math>\frac{\partial}{\partial\rho}\hat{e}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\theta}\hat{e}_{\theta}</math>.
De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial
De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial
(1.8)<center><math>
(1.10)<center><math>
{\color{Sepia}\nabla_{T}^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0}</math></center>
{\color{Sepia}\nabla_{T}^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0},</math></center>
que es una ecuación parabólica.
que es una ecuación parabólica.


==solución de onda esférica==
==Solución de onda esférica==


Una solución ''exacta''  de la ecuación de onda son las ondas esféricas<center><math>
Una solución ''exacta''  de la ecuación de onda son las ondas esféricas
(2.1)<center><math>
\psi_{esf}=\frac{A_{0}}{r}e^{ikr}.</math></center>
\psi_{esf}=\frac{A_{0}}{r}e^{ikr}.</math></center>
Demostración: El gradiente de la magnitud radial es <math>\nabla r=\hat{\mathbf{r}}</math>. De manera que <center><math>
Demostración: El gradiente de la magnitud radial es <math>\nabla r=\hat{\mathbf{r}}</math>. De manera que  
(2.2)<center><math>
\nabla\psi_{esf}=\left(-\frac{A_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}+\frac{A_{0}}{r}ik\hat{\mathbf{r}}\right)e^{ikr}=\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}.</math></center>
\nabla\psi_{esf}=\left(-\frac{A_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}+\frac{A_{0}}{r}ik\hat{\mathbf{r}}\right)e^{ikr}=\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}.</math></center>
El laplaciano es entonces<center><math>\begin{matrix}
El laplaciano es entonces
\nabla^{2}\psi_{esf} & = & \nabla\cdot\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}\right]\\
(2.3)<center><math>
  & = & \left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}+\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}}\end{matrix}</math></center>
\nabla^{2}\psi_{esf} = \nabla\cdot\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}\right]\\
pero <math>\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}=2/r</math> y <center><math>
  = \left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}+\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}},</math></center>
\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{r^{2}}\psi_{esf}+\left(-\frac{1}{r}+ik\right)^{2}\psi_{esf}</math></center>
 
de manera que el laplaciano deviene<center><math>
pero <math>\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}=2/r</math> y  
\nabla^{2}\psi_{esf}=\left[\frac{2}{r}\left(-\frac{1}{r}+ik\right)+\frac{2}{r^{2}}-2\frac{ik}{r}-k^{2}\right]\psi_{esf}=-k^{2}\psi_{esf}</math></center>
(2.4)<center><math>
\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{r^{2}}\psi_{esf}+\left(-\frac{1}{r}+ik\right)^{2}\psi_{esf},</math></center>
de manera que el laplaciano deviene
(2.5)<center><math>
\nabla^{2}\psi_{esf}=\left[\frac{2}{r}\left(-\frac{1}{r}+ik\right)+\frac{2}{r^{2}}-2\frac{ik}{r}-k^{2}\right]\psi_{esf}=-k^{2}\psi_{esf},</math></center>
y se satisface la ecuación de onda monocromática.<math>\square</math>
y se satisface la ecuación de onda monocromática.<math>\square</math>


 
==Solución aproximada de ecuación de onda==
==solución aproximada de ecuación de onda==


La expansión de la distancia radial <math>r=\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}</math>
La expansión de la distancia radial <math>r=\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}</math>
Línea 60: Línea 67:
es
es


<center><math>
(3.1)<center><math>
r\approx\left(z-z_{1}\right)+\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}.</math></center>
r\approx\left(z-z_{1}\right)+\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}.</math></center>
La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces<center><math>
La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces
\psi_{esf}^{aprox}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\left(z-z_{1}\right)\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)</math></center>
(3.2)<center><math>
\psi_{esf}^{aprox}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\left(z-z_{1}\right)\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right).</math></center>
Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial <math>
Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial <math>
{\color{OliveGreen}\psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right)},</math>, se obtiene
{\color{OliveGreen}\psi=\tilde{u}\exp\left(ik(z-z_{1})\right)}</math>, se obtiene
<center><math>
(3.3)<center><math>
\tilde{u}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)</math></center>
\tilde{u}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right).</math></center>


===solución exacta de la ecuación paraxial===
===Solución exacta de la ecuación paraxial===


Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada.
Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada.


Demostración: El gradiente transversal es<center><math>
Demostración: El gradiente transversal es
\nabla_{T}\tilde{u}=\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]</math></center>
(3.1.1)<center><math>
y el laplaciano transversal<center><math>\begin{matrix}
\nabla_{T}\tilde{u}=\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right],</math></center>
\nabla_{T}^{2}\tilde{u} & = & \frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\nabla_{T}\cdot\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\\
y el laplaciano transversal
&  & +\left[\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\nabla_{T}\tilde{u}\right].\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\end{matrix}</math></center>
(3.1.2)<center><math>
que puede escribirse como<center><math>
\nabla_{T}^{2}\tilde{u} = \frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\nabla_{T}\cdot\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\\
\nabla_{T}^{2}\tilde{u}=\frac{2ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}+\frac{-k^{2}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}\right]</math></center>
  +\left[\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\nabla_{T}\tilde{u}\right].\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right],</math></center>
Mientras que la primera derivada longitudinal es<center><math>
que puede escribirse como
\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=\tilde{u}\left(-\frac{1}{\left(z-z_{1}\right)}\right)+\tilde{u}\left(-ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)^{2}}\right)</math></center>
(3.1.3)<center><math>
\nabla_{T}^{2}\tilde{u}=\frac{2ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}+\frac{-k^{2}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}\right].</math></center>
Mientras que la primera derivada longitudinal es
(3.1.4)<center><math>
\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=\tilde{u}\left(-\frac{1}{\left(z-z_{1}\right)}\right)+\tilde{u}\left(-ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)^{2}}\right),</math></center>
de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.<math>\square</math>
de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.<math>\square</math>


Línea 88: Línea 100:
Considere la solución para <math>\tilde{z}_{1}=a+ib</math> compleja, <math>x_{1},\; y_{1}=0</math>.
Considere la solución para <math>\tilde{z}_{1}=a+ib</math> compleja, <math>x_{1},\; y_{1}=0</math>.
El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como
El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como
<center><math>
(4.1)<center><math>
\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}+\frac{ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}</math></center>
\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}+\frac{ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}.</math></center>
El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura
El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura
<center><math>
(4.2)<center><math>
R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}</math></center>
R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}.</math></center>
El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref}
El segundo término, puesto que en la fase  
está multiplicada por <math>ik</math>, es una amplitud decreciente en las direcciones transversales
está multiplicada por <math>ik</math>, es una amplitud decreciente en las direcciones transversales
<center><math>
(4.3)<center><math>
\exp\left(-\frac{k}{2}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right]}\right).</math></center>
\exp\left(-\frac{k}{2}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right]}\right).</math></center>
De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales
De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales
<math>\exp\left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)</math> que decae a <math>1/e</math> a una distancia
<math>\exp\left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)</math> que decae a <math>1/e</math> a una distancia
<center><math>
(4.4)<center><math>
w^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right],</math></center>
w^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right],</math></center>
donde hemos utilizado la relación <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>. Para
donde hemos utilizado la relación <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>. Para
definir el valor de las constantes ''a, b''  en términos de cantidades
definir el valor de las constantes ''a, b''  en términos de cantidades
con mayor significado físico, considere el plano <math>z=a=z_{0}</math>, entonces
con mayor significado físico, considere el plano <math>z=a=z_{0}</math>, entonces
<center><math>
(4.5)<center><math>
w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}</math></center>
w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2},</math></center>
donde <math>w_{0}</math> es el valor mínimo de la función <math>w\left(z\right)</math> y se conoce como la cintura del haz  
donde <math>w_{0}</math> es el valor mínimo de la función <math>w\left(z\right)</math> y se conoce como la cintura del haz  
<center><math>
(4.6)<center><math>
w=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1}</math></center>
w=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1}.</math></center>
Por otro lado, si se considera el plano <math>z-a=b\equiv z_{R}</math>, entonces
Por otro lado, si se consideran dos  planos el primero como <math>z-a=0</math> entonces <math>w\left(z-a=0\right)=w_{0}</math> y el área el haz es <math>A\left(z-a=0\right)=\pi w^{2}=\pi w_{0}^{2}=A_{0}</math>, el segundo plano como <math>z-a=b\equiv z_{R}</math>, entonces
<math>w\left(z_{R}\right)=\sqrt{2}w_{0}</math>. Puesto que el área del haz es
<math>w\left(z_{R}\right)=\sqrt{2}w_{0}</math>, puesto que el área del haz es
<math>\pi w^{2}</math>, en la distancia <math>z_{R}</math> el área se duplica. Ésta distancia
<math>A\left(z-a=z_{R}\right)=\pi w^{2}=\pi \left(\sqrt{2}w_{0}\right)^{2}=2 A_{0}</math>, i.e. la distancia <math>z_{R}</math> es aquella en la cual el área crece el doble de <math>A_{0}</math>. Ésta distancia
se conoce en física como distancia de Rayleigh
se conoce en física como distancia de Rayleigh.
<center><math>
(4.7)<center><math>
{\color{Red}z_{R}=\frac{k}{2}w_{0}^{2}=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}}.</math></center>
{z_{R}=\frac{k}{2}w_{0}^{2}=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}}.</math></center>
En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo
En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo
que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.
que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.


[[Archivo:ER1.svg|250px|thumb|right|'''Figura. 4.1''' Esquema del comportamiento del diámetro de un haz gaussiano y de los frentes de onda.]]
El radio del haz (donde decae a <math>1/e</math>) es entonces
El radio del haz (donde decae a <math>1/e</math>) es entonces
<center><math>
(4.8)<center><math>
{\color{Red}w\left(z\right)=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}+1}}</math></center>
{w\left(z\right)=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}+1}},</math></center>
notar que si <math>z=z_{0}</math> se obtiene que <math>w=w_{0}</math> la cual es una representación más real de un haz, pues en los experimentos no vemos que el diámetro de un haz se reduzca a un punto en <math>z=z_{0}</math>, también en el límite cuando <math>z>>z_{0}</math> obtenemos el caso asintótico (ver  Figura. 4.1).
 
El radio de curvatura es
El radio de curvatura es
<center><math>
(4.9)<center><math>
{\color{Red}R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}}</math></center>
{R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}},</math></center>
para el radio de curvatura también vemos los casos límite, cuando <math>z \rightarrow z_{0}</math> y cuando <math>z \rightarrow \infty </math> el radio de curvatura diverge i.e. tiene comportamiento como onda plana.
 
La representación polar de <math>\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}</math> es
La representación polar de <math>\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}</math> es
<center><math>
(4.10)<center><math>
\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right]</math></center>
\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right],</math></center>
<math>\frac{R}{w^{2}}</math> puede reescribirse como <center><math>
<math>\frac{R}{w^{2}}</math> puede reescribirse como  
(4.11)<center><math>
\frac{R}{w^{2}}=\frac{k\; z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}</math></center>
\frac{R}{w^{2}}=\frac{k\; z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}</math></center>
y<center><math>
y
\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}=\left(\frac{w_{0}}{z_{R}w}\right)^{2}</math></center>
(4.12)<center><math>
de manera que<center><math>
\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}=\left(\frac{w_{0}}{z_{R}w}\right)^{2},</math></center>
\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right]=\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]</math></center>
de manera que
mientras que la fase es<center><math>
(4.13)<center><math>
ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}=ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}</math></center>
\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right]=\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right],</math></center>
mientras que la fase es
(4.14)<center><math>
ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}=ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}.</math></center>


La amplitud compleja es entonces<center><math>
La amplitud compleja es entonces
(4.15)<center><math>
\tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]
\tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right).
</math></center>
</math></center>
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por
<center><math>
(4.16)<center><math>
\psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]
\psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\exp\left(ikz\right)
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\exp\left(ikz\right).
</math></center>
</math></center>


Gráficas de esta función se encuentran en la página de [[Ondas:_Gaussianas]]  
Gráficas de esta función se encuentran en la página de [[Ondas: Gaussianas]]  
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<references/>
<references/>
--[[Usuario:Lazaro Palafox Maldonado|LPM]] 11:30 25 nov 2015 (CDT)


--[[Usuario:Mfg|Mfg]] 16:57 1 jul 2008 (CDT)
--[[Usuario:Mfg|Mfg]] 16:57 1 jul 2008 (CDT)

Revisión del 21:52 10 nov 2018

aproximación paraxial: soluciones Gaussianas

Ecuación diferencial de onda paraxial

La ecuacion de onda

(1.1)

para una onda monocromática deviene en la ecuación de Helmholtz

(1.2)

donde . Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección z,

(1.3)

donde es un campo complejo [1]. El gradiente es entonces

(1.4)

y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es

(1.5)

pero

(1.6)

de manera que

(1.7)


La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces

(1.8)

La aproximación paraxial requiere que y

(1.9)

El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal mas un operador longitudinal . En coordenadas cartesianas o en coordenadas cilíndricas . De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial

(1.10)

que es una ecuación parabólica.

Solución de onda esférica

Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas

(2.1)

Demostración: El gradiente de la magnitud radial es . De manera que

(2.2)

El laplaciano es entonces

(2.3)

Error al representar (error de sintaxis): \nabla^{2}\psi_{esf} = \nabla\cdot\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}\right]\\ = \left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}+\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}},

pero y

(2.4)

de manera que el laplaciano deviene

(2.5)

y se satisface la ecuación de onda monocromática.

Solución aproximada de ecuación de onda

La expansión de la distancia radial en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z es

(3.1)

La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces

(3.2)

Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial , se obtiene

(3.3)

Solución exacta de la ecuación paraxial

Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada.

Demostración: El gradiente transversal es

(3.1.1)

y el laplaciano transversal

(3.1.2)

Error al representar (error de sintaxis): \nabla_{T}^{2}\tilde{u} = \frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\nabla_{T}\cdot\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]\\ +\left[\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\nabla_{T}\tilde{u}\right].\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right],

que puede escribirse como

(3.1.3)

Mientras que la primera derivada longitudinal es

(3.1.4)

de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.

Ondas Gaussianas - solución acotada

Considere la solución para compleja, . El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como

(4.1)

El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura

(4.2)

El segundo término, puesto que en la fase está multiplicada por , es una amplitud decreciente en las direcciones transversales

(4.3)

De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales que decae a a una distancia

(4.4)

donde hemos utilizado la relación . Para definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades con mayor significado físico, considere el plano , entonces

(4.5)

donde es el valor mínimo de la función y se conoce como la cintura del haz

(4.6)

Por otro lado, si se consideran dos planos el primero como entonces y el área el haz es , el segundo plano como , entonces , puesto que el área del haz es , i.e. la distancia es aquella en la cual el área crece el doble de . Ésta distancia se conoce en física como distancia de Rayleigh.

(4.7)

En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.

Figura. 4.1 Esquema del comportamiento del diámetro de un haz gaussiano y de los frentes de onda.

El radio del haz (donde decae a ) es entonces

(4.8)

notar que si se obtiene que la cual es una representación más real de un haz, pues en los experimentos no vemos que el diámetro de un haz se reduzca a un punto en , también en el límite cuando obtenemos el caso asintótico (ver Figura. 4.1).

El radio de curvatura es

(4.9)

para el radio de curvatura también vemos los casos límite, cuando y cuando el radio de curvatura diverge i.e. tiene comportamiento como onda plana.

La representación polar de es

(4.10)

puede reescribirse como

(4.11)

y

(4.12)

de manera que

(4.13)

mientras que la fase es

(4.14)

La amplitud compleja es entonces

(4.15)

La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por

(4.16)

Gráficas de esta función se encuentran en la página de Ondas: Gaussianas


  1. Siegman A., Lasers, University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626]

--LPM 11:30 25 nov 2015 (CDT)

--Mfg 16:57 1 jul 2008 (CDT)

corrección

--CAZ 00:50 9 jul 2008 (CDT)

--Mfg 21:48 6 ago 2008 (CDT)