Diferencia entre revisiones de «Optica: Paraxial»

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Revisión del 22:11 10 ene 2010

aproximación paraxial: soluciones Gaussianas

ecuación diferencial de onda paraxial

La ecuación de onda

para una onda monocromática deviene en la ecuación de Helmholtz

donde . Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección z,

donde es un campo complejo [1]. El gradiente es entonces

y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es

pero

de manera que


La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces

La aproximación paraxial requiere que y

El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal mas un operador longitudinal . En coordenadas cartesianas o en coordenadas cilíndricas . De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial

que es una ecuación parabólica.

solución de onda esférica

Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas

Demostración: El gradiente de la magnitud radial es . De manera que

El laplaciano es entonces

pero y

de manera que el laplaciano deviene

y se satisface la ecuación de onda monocromática.


solución aproximada de ecuación de onda

La expansión de la distancia radial en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z es

La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces

Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial , se obtiene

solución exacta de la ecuación paraxial

Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada.

Demostración: El gradiente transversal es

y el laplaciano transversal

que puede escribirse como

Mientras que la primera derivada longitudinal es

de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.

Ondas Gaussianas - solución acotada

Considere la solución para compleja, . El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como

El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura

El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref} está multiplicada por , es una amplitud decreciente en las direcciones transversales

De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales que decae a a una distancia

donde hemos utilizado la relación . Para definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades con mayor significado físico, considere el plano , entonces

donde es el valor mínimo de la función y se conoce como la cintura del haz

Por otro lado, si se considera el plano , entonces . Puesto que el área del haz es , en la distancia el área se duplica. Ésta distancia se conoce en física como distancia de Rayleigh

En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.

El radio del haz (donde decae a ) es entonces

El radio de curvatura es

La representación polar de es

puede reescribirse como

y

de manera que

mientras que la fase es

La amplitud compleja es entonces

La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por

Gráficas de esta función se encuentran en la página de Ondas:_Gaussianas


  1. Siegman A., Lasers, University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626]

--Mfg 16:57 1 jul 2008 (CDT)

corrección

--CAZ 00:50 9 jul 2008 (CDT)

--Mfg 21:48 6 ago 2008 (CDT)