Ver el código de «Optica: Paraxial»

''' aproximación paraxial: soluciones Gaussianas '''
==Ecuación diferencial de onda paraxial==

La [[Ondas: ecuacion de onda|ecuacion de onda]]
(1.1)<center><math>{\color{Sepia}\nabla^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0},</math></center>
para una onda monocromática 
<math>\psi\left(\mathbf{r},t\right)=\psi\left(\mathbf{r}\right)\exp\left(-i\omega t\right)</math> deviene en la ecuación de Helmholtz 
(1.2)<center><math>\nabla^{2}\psi+\kappa^{2}\psi=0,</math></center>
donde <math>\omega^{2}/v^{2}=k^{2}</math>.
Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección z,
(1.3)<center><math>
\psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right),</math></center>
donde <math>\tilde{u}</math> es un campo complejo <ref> Siegman A., ''Lasers'', University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626] </ref>. El gradiente es entonces
(1.4)<center><math>
\nabla\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\exp\left(ikz\right),</math></center>
y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es
(1.5)<center><math>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right)\right]\exp\left(ikz\right)+\nabla\left[\exp\left(ikz\right)\right]\cdot\left(\nabla\tilde{u}+ik\tilde{u}\hat{e}_{z}\right),</math></center>
pero
(1.6)<center><math>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right]\exp\left(ikz\right)+\left[ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right),</math></center>
de manera que 
(1.7)<center><math>
\nabla^{2}\left[\tilde{u}\exp\left(ikz\right)\right]=\left[\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}-k^{2}\tilde{u}\right]\exp\left(ikz\right).</math></center>


La [[Radiacion: Guias de onda|ecuación de Helmhlotz]] (sin aproximaciones aún) es entonces
(1.8)<center><math>
\nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}+\tilde{u}+(\kappa^{2}-k^{2}) \tilde{u}=0.</math></center>
La aproximación paraxial requiere que <math>\kappa^{2}-k^{2}= 0</math>  y
(1.9)<center><math>
\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial z^{2}}\right|\ll\left|2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial y^{2}}\right|.</math></center>
El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal
<math>\nabla_{T}</math> mas un operador longitudinal <math>\frac{\partial}{\partial z}\hat{e}_{z}</math>.
En coordenadas cartesianas <math>\nabla_{T}=\frac{\partial}{\partial x}\hat{e}_{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{e}_{y}</math>
o en coordenadas cilíndricas <math>\nabla_{T}=</math> <math>\frac{\partial}{\partial\rho}\hat{e}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\theta}\hat{e}_{\theta}</math>.
De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial
(1.10)<center><math>
{\color{Sepia}\nabla_{T}^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0},</math></center>
que es una ecuación parabólica.

==Solución de onda esférica==

Una solución ''exacta''  de la ecuación de onda son las ondas esféricas
(2.1)<center><math>
\psi_{esf}=\frac{A_{0}}{r}e^{ikr}.</math></center>
Demostración: El gradiente de la magnitud radial es <math>\nabla r=\hat{\mathbf{r}}</math>. De manera que 
(2.2)<center><math>
\nabla\psi_{esf}=\left(-\frac{A_{0}}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}+\frac{A_{0}}{r}ik\hat{\mathbf{r}}\right)e^{ikr}=\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}.</math></center>
El laplaciano es entonces
(2.3)<center><math>
\nabla^{2}\psi_{esf}  =  \nabla\cdot\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\hat{\mathbf{r}}\psi_{esf}\right]
  =  \left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}+\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}},</math></center>

pero <math>\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}=2/r</math> y 
(2.4)<center><math>
\nabla\left[\left(-\frac{1}{r}+ik\right)\psi_{esf}\right]\cdot\hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{r^{2}}\psi_{esf}+\left(-\frac{1}{r}+ik\right)^{2}\psi_{esf},</math></center>
de manera que el laplaciano deviene
(2.5)<center><math>
\nabla^{2}\psi_{esf}=\left[\frac{2}{r}\left(-\frac{1}{r}+ik\right)+\frac{2}{r^{2}}-2\frac{ik}{r}-k^{2}\right]\psi_{esf}=-k^{2}\psi_{esf},</math></center>
y se satisface la ecuación de onda monocromática.<math>\square</math>

==Solución aproximada de ecuación de onda==

La expansión de la distancia radial <math>r=\sqrt{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}</math>
en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos ''z'' 
es

(3.1)<center><math>
r\approx\left(z-z_{1}\right)+\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}.</math></center>
La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces
(3.2)<center><math>
\psi_{esf}^{aprox}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\left(z-z_{1}\right)\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right).</math></center>
Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial <math>
{\color{OliveGreen}\psi=\tilde{u}\exp\left(ik(z-z_{1})\right)}</math>, se obtiene
(3.3)<center><math>
\tilde{u}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right).</math></center>

===Solución exacta de la ecuación paraxial===

Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada.

Demostración: El gradiente transversal es
(3.1.1)<center><math>
\nabla_{T}\tilde{u}=\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right],</math></center>
y el laplaciano transversal
(3.1.2)<center><math>
\nabla_{T}^{2}\tilde{u}  =  \frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}\nabla_{T}\cdot\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right]
  +\left[\frac{ik}{\left(z-z_{1}\right)}\nabla_{T}\tilde{u}\right].\left[\left(x-x_{1}\right)\hat{e}_{x}+\left(y-y_{1}\right)\hat{e}_{y}\right],</math></center>
que puede escribirse como
(3.1.3)<center><math>
\nabla_{T}^{2}\tilde{u}=\frac{2ik}{\left(z-z_{1}\right)}\tilde{u}+\frac{-k^{2}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}\tilde{u}\left[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}\right].</math></center>
Mientras que la primera derivada longitudinal es
(3.1.4)<center><math>
\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=\tilde{u}\left(-\frac{1}{\left(z-z_{1}\right)}\right)+\tilde{u}\left(-ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)^{2}}\right),</math></center>
de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.<math>\square</math>

==Ondas Gaussianas - solución acotada==

Considere la solución para <math>\tilde{z}_{1}=a+ib</math> compleja, <math>x_{1},\; y_{1}=0</math>.
El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como
(4.1)<center><math>
\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}+\frac{ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}.</math></center>
El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura
(4.2)<center><math>
R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}.</math></center>
El segundo término, puesto que en la fase 
está multiplicada por <math>ik</math>, es una amplitud decreciente en las direcciones transversales
(4.3)<center><math>
\exp\left(-\frac{k}{2}\frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right]}\right).</math></center>
De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales
<math>\exp\left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)</math> que decae a <math>1/e</math> a una distancia
(4.4)<center><math>
w^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\left[\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1\right],</math></center>
donde hemos utilizado la relación <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>. Para
definir el valor de las constantes ''a, b''  en términos de cantidades
con mayor significado físico, considere el plano <math>z=a=z_{0}</math>, entonces
(4.5)<center><math>
w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b\frac{\lambda}{\pi}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2},</math></center>
donde <math>w_{0}</math> es el valor mínimo de la función <math>w\left(z\right)</math> y se conoce como la cintura del haz 
(4.6)<center><math>
w=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}+1}.</math></center>
Por otro lado, si se consideran dos  planos el primero como <math>z-a=0</math> entonces <math>w\left(z-a=0\right)=w_{0}</math> y el área el haz es <math>A\left(z-a=0\right)=\pi w^{2}=\pi w_{0}^{2}=A_{0}</math>, el segundo plano como <math>z-a=b\equiv z_{R}</math>, entonces
<math>w\left(z_{R}\right)=\sqrt{2}w_{0}</math>, puesto que el área del haz es
<math>A\left(z-a=z_{R}\right)=\pi w^{2}=\pi \left(\sqrt{2}w_{0}\right)^{2}=2 A_{0}</math>, i.e. la distancia <math>z_{R}</math> es aquella en la cual el área crece el doble de <math>A_{0}</math>. Ésta distancia
se conoce en física como distancia de Rayleigh.
(4.7)<center><math>
{z_{R}=\frac{k}{2}w_{0}^{2}=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}}.</math></center>
En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo
que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.

[[Archivo:ER1.svg|250px|thumb|right|'''Figura. 4.1''' Esquema del comportamiento del diámetro de un haz gaussiano y de los frentes de onda.]]
El radio del haz (donde decae a <math>1/e</math>) es entonces
(4.8)<center><math>
{w\left(z\right)=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}+1}},</math></center>
notar que si <math>z=z_{0}</math> se obtiene que <math>w=w_{0}</math> la cual es una representación más real de un haz, pues en los experimentos no vemos que el diámetro de un haz se reduzca a un punto en <math>z=z_{0}</math>, también en el límite cuando <math>z>>z_{0}</math> obtenemos el caso asintótico (ver  Figura. 4.1).

El radio de curvatura es
(4.9)<center><math>
{R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}},</math></center>
para el radio de curvatura también vemos los casos límite, cuando <math>z \rightarrow z_{0}</math> y cuando <math>z \rightarrow \infty </math> el radio de curvatura diverge i.e. tiene comportamiento como onda plana.

La representación polar de <math>\frac{1}{\left(z-\tilde{z}_{1}\right)}=\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}</math> es
(4.10)<center><math>
\frac{1}{R}+\frac{2i}{kw^{2}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right],</math></center>
<math>\frac{R}{w^{2}}</math> puede reescribirse como 
(4.11)<center><math>
\frac{R}{w^{2}}=\frac{k\; z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}</math></center>
y
(4.12)<center><math>
\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}=\left(\frac{w_{0}}{z_{R}w}\right)^{2},</math></center>
de manera que
(4.13)<center><math>
\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp\left[i\arctan\left(\frac{2R}{kw^{2}}\right)\right]=\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right],</math></center>
mientras que la fase es
(4.14)<center><math>
ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}=ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}.</math></center>

La amplitud compleja es entonces
(4.15)<center><math>
\tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right).
</math></center>
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por
(4.16)<center><math>
\psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\right)\right]
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\exp\left(ikz\right).
</math></center>

Gráficas de esta función se encuentran en la página de [[Ondas: Gaussianas]] 
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<references/>

--[[Usuario:Lazaro Palafox Maldonado|LPM]] 11:30 25 nov 2015 (CDT) 

--[[Usuario:Mfg|Mfg]] 16:57 1 jul 2008 (CDT)

corrección

--[[Usuario:Carlos A.Z.|CAZ]] 00:50 9 jul 2008 (CDT)

--[[Usuario:Mfg|Mfg]] 21:48 6 ago 2008 (CDT)

[[Category:optica]]
[[Category:ondas]]