Optica: Interferencia de haces multiples
INTERFERENCIA DE HACES MULTIPLES
La interferencia de haces multiples se da cuando un número muy grande de ondas mutuamente coherentes se hacen interferir.
El método más común de producir este número de ondas mutuamente coherentes es por división de amplitud. Esta división ocurre por reflexión múltiple entre dos superficies paralelas parcialmente reflectantes.
El primer rayo es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido en la primer superficie. La parte transmitida es subsecuentemente reflejada hacia atras y hacia adelante entre las dos superficies.
Comenzemos el análisis matemático calculando la diferencia de camino óptico que se puede obtener de la figura (1) donde:
En donde se puede ver geometricamente que la diferencia entre dos rayos sucesivos transmitidos es , donde d es la separación entre las dos superficies reflectantes y es el angulo entre cualquier rayo interno reflejado y la superficie normal.
lo cual se pude demostrar que es igual a:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Delta\Lambda=\frac{2d}{\cos\theta}nt-2d\tan\theta\sin\theta_{0}ni
factorizando
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\frac{2d}{\cos\theta}nt\left[1-\sin\theta\sin\theta_{0}\frac{ni}{nt}\right]
obtenemos la relación de Snell
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\frac{2d}{\cos\theta}nt\left[1-\sin^{2}\theta\right]
de donde se obtiene:
que es la diferencia de fase correspondiente entre dos rayos sucesivos
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lambda es la longitud de onda en el medio y nt es el indice de refracción de el medio entre las superficies reflectantes.
AMPLITUD TOTAL REFLEJADA
Ahora definamos las variables.
r es el coeficiente de reflexión de las amplitudes desde el interior del interferometro.
t es el coeficiente de transmisión de las amplitudes para un rayo que viene del exterior.
t' es el coeficiente de transmisión para las amplitudes para un rayo que sale de la cavidad del interferometro.
d es la diferencia de fase entre dos reflexiones consecutivas.
Tomando la diferencia de fase anterior y sumando las amplitudes de los rayos transmitidos tenemos entonces
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_{0}e^{i\omega t} es la onda incidente.
Los términos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \delta,2\delta,...,(N-1)\delta son las contribuciones a la fase procedentes de una diferencia de longitud de camino óptico entre rayos adyacentes.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =E_{0}e^{i\omega t}\left[r+\left\{ \sum_{j=2}^{N}\left(r'^{2}e^{i\delta}\right)^{j-2}\right\} r'tt'e^{-i\delta}\right]
Si , y si el número de términos en la serie se aproxima al infinito, la serie converge. La onda resultante se transforma en:
En el caso de absorción cero, cuando no se extrae energía de las ondaas, se puede utilizar las relaciones para volver a escribir la ecuación como
La irradiancia se obtiene tomando el cuadrado complejo de esta amplitud quedando
Que puede transformarse en
AMPLITUD TOTAL TRANSMITIDA
De forma parecida, las amplitudes de las ondas transmitidas proporcionadas por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_{Nr}=E_{0}tt'r'^{2\left(N-1\right)}e^{i\left(\omega t-\left(N-1\right)\delta\right)}
Pueden sumarse para dar como resultado
Multiplicando también por su complejo conjugado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I_{t}=I_{i}\left(tt'\right)^{2}\frac{1}{1-r^{2}e^{-i\delta}}\frac{1}{1-r^{2}e^{i\delta}}
se obtiene la irradiancia del haz transmitido
o bien
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I_{t}=I_{i}\frac{\left(1-r^{2}\right)^{2}}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos\delta}
Notemos que para dieléctricos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\frac{1+r^{4}-2r^{2}-2r^{2}\cos\delta+2r^{2}}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos\delta}I_{i}=I_{i}
si no se absorbe nada de la energía incidente, la densidad de flujo de la onda incidente será exactamente igual a la suma de la densidad de flujo reflejada por la película más la densidad de flujo total transmitida al salir de la película, es decir
si Exixtirá un máximo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I_{tmax}=I_{i}\frac{\left(1-r^{2}\right)^{2}}{1+r^{4}-2r^{2}}=I_{i}
(por conservación de energía)
ahora si se producirá un minimo en la densidad del flujo transmitido
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I_{tmin}=I_{i}\frac{\left(1-r^{2}\right)^{2}}{(1+r^{2})^{2}}
El máximo correspondiente en la densidad de flujo reflejado es
Si escribimos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{(1-r^{2})^{2}}{1+r^{4}-2r^{2}\left(1-2\sin^{2}\frac{\delta}{2}\right)}
que es llamado coeficiente de fineza
con lo cual estas ecuaciones se podran escribir como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{I_{r}}{I_{t}}=\frac{\digamma\sin^{2}\frac{\delta}{2}}{1+\digamma\sin^{2}\frac{\delta}{2}}
y
En donde el término Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{1+\digamma\sin^{2}\frac{\delta}{2}}\equiv A\left(\delta\right) se denomina función de Airy y representa la distribución de la densidad de flujo transmitida
INTERFEROMETRO DE FABRY-PEROT
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): tt'=T=1-R-A