Diferencia entre revisiones de «Optica: Interferencia de haces multiples»
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Comenzemos el análisis matemático calculando la diferencia de fase entre las dos ondas que interfieren, para ello basta con determinar la diferencia de camino óptico <math>\Lambda</math> entre los rayos que representan esas ondas. | Comenzemos el análisis matemático calculando la diferencia de fase entre las dos ondas que interfieren, para ello basta con determinar la diferencia de camino óptico <math>\Lambda</math> entre los rayos que representan esas ondas. | ||
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Para el haz 1: PABA' | Para el haz 1: PABA' | ||
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donde <math>\lambda</math> es la longitud de onda en el medio y <math>n_{t}</math> es el índice de refracción del medio entre las superficies reflectoras. | donde <math>\lambda</math> es la longitud de onda en el medio y <math>n_{t}</math> es el índice de refracción del medio entre las superficies reflectoras. | ||
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<math>I_{r}=E_{0}^{2}\frac{2r^{2}\left(1-\cos\theta\right)}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos\delta}</math> | <math>I_{r}=E_{0}^{2}\frac{2r^{2}\left(1-\cos\theta\right)}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos\delta}</math> | ||
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Revisión del 13:43 22 nov 2015
Interferencia de haces múltiples
La interferencia de haces múltiples se da cuando un número muy grande de ondas mutuamente coherentes se hacen interferir.
El método más común de producir este número de ondas mutuamente coherentes es por división de amplitud. Esta división ocurre por reflexión múltiple entre dos superficies paralelas parcialmente reflectoras.
El primer rayo es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido en la primer superficie. La parte transmitida es subsecuentemente reflejada hacia atrás y hacia adelante entre las dos superficies.
Comenzemos el análisis matemático calculando la diferencia de fase entre las dos ondas que interfieren, para ello basta con determinar la diferencia de camino óptico entre los rayos que representan esas ondas.
Iniciamos haciendo el cálculo para los dos primeros rayos. Observamos en la Figura 1.1 que
Para el haz 1: PABA'
Para el haz 2:PABCC'
Entonces para el Haz 2 tenemos
En donde
Así la diferencia de camino óptico
factorizando
obtenemos la relación de Snell
de donde se obtiene:
Que es la diferencia de camino óptico entre dos rayos (dos ondas planas) consecutivos, que es la misma para cualquier tipo de rayos (ondas) consecutivos tanto transmitidos como reflejados, que no es otra cosa más que la distancia recorrida, a la velocidad de la luz en el vacío, en un tiempo en un medio con índice de refracción .
donde d es la separación entre las dos superficies reflectoras y es el ángulo entre cualquier rayo interno reflejado y la superficie normal.
El desfase o diferencia de fase correspondiente y asociado con la diferencia de camino óptico es precisamente el producto del módulo del vector de onda en el espacio libre y , es decir, . Si la película está sumergida en un solo medio, el índice de refracción podrá escribirse como .
La diferencia de fase correspondiente entre dos rayos sucesivos es entonces
donde es la longitud de onda en el medio y es el índice de refracción del medio entre las superficies reflectoras.
Amplitud total reflejada
Ahora definamos las variables.
es el coeficiente de reflexión de las amplitudes desde el interior del interferómetro.
es el coeficiente de transmisión de las amplitudes para un rayo que viene del exterior.
es el coeficiente de transmisión para las amplitudes para un rayo que sale de la cavidad del interferómetro.
es la diferencia de fase entre dos reflexiones consecutivas.
Tomando la diferencia de fase anterior y sumando las amplitudes de los rayos transmitidos tenemos entonces
donde es la onda incidente.
Los términos son las contribuciones a la fase procedentes de una diferencia de longitud de camino óptico entre rayos adyacentes.
rearreglando la expresión
Si , y si el número de términos en la serie se aproxima al infinito, la serie converge. La onda resultante se transforma en:
En el caso de absorción cero, cuando no se extrae energía de las ondaas, se pueden utilizar las relaciones para volver a escribir la ecuación como
La irradiancia se obtiene tomando el cuadrado complejo de esta amplitud quedando
Realizando el producto y simplificando se obtiene que la irradiancia es
Amplitud total transmitida
De forma parecida, las amplitudes de las ondas transmitidas proporcionadas por
Pueden sumarse para dar como resultado
Multiplicando también por su complejo conjugado
se obtiene la irradiancia del haz transmitido
......(*)
o bien
Notemos que para dieléctricos
expandiendo la ecuación y despejando
si no se absorbe nada de la energía incidente, la densidad de flujo de la onda incidente será exactamente igual a la suma de la densidad de flujo reflejada por la película más la densidad de flujo total transmitida al salir de la película, es decir
si Exixtirá un máximo
(por conservación de energía)
ahora si se producirá un minimo en la densidad del flujo transmitido
El máximo correspondiente en la densidad de flujo reflejado es
Si escribimos
Mediante la identidad trigonometrica
desarrollando el algebra y agrupando terminos
simplificando se obtiene
que es llamado coeficiente de fineza
con lo cual estas ecuaciones se podran escribir como
y
En donde el término se denomina función de Airy y representa la distribución de la densidad de flujo transmitida
Función de Airy
.
La funcion de Airy representa la distribución de la densidad de flujo transmitida ( Figura 3). La función complementaria , se observa en la Figura 4. Cuando la función de Airy es igual a la unidad para todos los valores de F y por lo tanto de r. Al aproximarse esta a uno, la densidad de flujo transmitido es muy pequeño, exepto dentro de máximos agudos centrados en los puntos . La interferencia de haces múltiples conduce a una redistribución de la densidad de energía en comparación con la distribución sinusoidal de dos haces.
La función de Airy es una función de o debido a su dependencia de . Cada máximo de la curva de densidad de flujo corresponde a un determinado y a una particular. En el caso de una placa plana paralela,las franjas, en luz transmitida, consistiran de una serie de anillos brillantes delgados sobre un fondo casi completamente oscuro. En luz reflejada, las franjas serán estrechas y oscuras sobre un fondo casi uniformemente brillante.
Las franjas de espesor constante pueden también hacerse agudas y estrechas por medio de un recubrimiento ligero de plata sobre las superficies reflectoras a fin de producir interferencia de haces múltiples.
Interferómetro de Fabry-Perot
Este tipo de interferómetro forma las franjas con base en múltiples reflexiones en dos superficies planas y paralelas, por lo tanto la interferencia no es solo entre 2 frentes de onda, sino entre un número muy grande de ellas. A fin de lograr estas reflexiones múltiples, las superficies se recubren con una capa reflectora ya sea metálica o dieléctrica. Con este tipo de interferencia múltiple las franjas ya no tienen perfil senoidal como cuando son solo 2 frentes de onda sino que tienen un perfil muy angosto, aumentando así la presición con que se puede medir su forma y posición. En este interferómetro las franjas son de igual inclinación usando una fuente extendida.
Las películas de metal parcialmente transparentes que se emplean frecuentemente para aumentar la reflectancia absorberan una fracción A de la densidad de flujo, esta fracción se denomina absortancia.
La expresión
donde T es la transmitancia, se reescribe como
..............(**)
Las películas metálicas presentan un desplazamiento adicional de fase , que puede diferir de cero o . El desfase entre dos ondas transmitidas sucesivamente es entonces
Para las condiciones que estan siendo consideradas, es pequeño y puede considerarse constante. Por lo general, d es tan grande y tan pequeño que puede omitirse. entonces la ecuación (*) puede expresarse como
o de manera equivalente
Utilizando la ecuación (**) y la definición de la función de Airy, obtenemos
simplificando
Dado que la parte absorbida A no es nunca cero, los máximos de la densidad de flujo transmitido siempre serán algo menor que . Por lo tanto, el máximo de transmisión se define como
La irradiancia relativa de la distribución de franjas estará determinada por la función de Airy, ya que
Los máximos en la transmisión se dan para valores especificos del desfase
Por tanto, la irradiancia disminuira a la mitad su valor máximo cada vez que dado que
de donde se ve que
elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación
entonces
Eliminando el término cuadrado de la ecuación de lado derecho y despejando obtenemos
Sustituyendo el valor de
Dado que F es, por lo general muy grande,
entonces se obtiene
y por lo tanto el ancho medio es igual a
Otro valor interesante es la relación de la separación de los máximos adyacentes con respecto al ancho medio. Denominada fineza
Referencias
Optica. Eugene Hecht. tercera Edición.Pearson Addison Wesley.
Introduction to modern optics. Grant R. Fowles. Segunda Edición.Dover Publications, Inc, New York