Optica: Interferencia de haces multiples

INTERFERENCIA DE HACES MULTIPLES

---

La interferencia de haces multiples se da cuando un número muy grande de ondas mutuamente coherentes se hacen interferir.

El método más común de producir este número de ondas mutuamente coherentes es por división de amplitud. Esta división ocurre por reflexión múltiple entre dos superficies paralelas parcialmente reflectantes.

El primer rayo es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido en la primer superficie. La parte transmitida es subsecuentemente reflejada hacia atras y hacia adelante entre las dos superficies.

Comenzemos el análisis matemático calculando la diferencia de camino óptico que se puede obtener de la figura (1) donde:

$\sin \theta _{0}={\frac {BA'}{C'B}}={\frac {BA'}{CP}}={\frac {BA'}{2d\tan \theta }}$

En donde se puede ver geometricamente que la diferencia entre dos rayos sucesivos transmitidos es $2d\cos \theta$, donde d es la separación entre las dos superficies reflectantes y $\theta$ es el angulo entre cualquier rayo interno reflejado y la superficie normal.

$BA'=2d\tan \theta \sin \theta _{0}$

lo cual se pude demostrar que es igual a:

$\Delta \Lambda ={\frac {2d}{\cos \theta }}nt-2d\tan \theta \sin \theta _{0}ni$

factorizando

$={\frac {2d}{\cos \theta }}nt\left[1-\sin \theta \sin \theta _{0}{\frac {ni}{nt}}\right]$

obtenemos la relación de Snell

$={\frac {2d}{\cos \theta }}nt\left[1-\sin ^{2}\theta \right]$

de donde se obtiene:

$\Delta \Lambda =2dnt\cos \theta$

que es la diferencia de fase correspondiente entre dos rayos sucesivos

$\delta ={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}\Delta \Lambda ={\frac {4\pi }{\lambda _{0}}}ntd\cos \theta$

donde $\lambda$ es la longitud de onda en el medio y nt es el indice de refracción de el medio entre las superficies reflectantes.

Ahora definamos las variables.

r es el coeficiente de reflexión de las amplitudes desde el interior del interferometro.

t es el coeficiente de transmisión de las amplitudes para un rayo que viene del exterior.

t' es el coeficiente de transmisión para las amplitudes para un rayo que sale de la cavidad del interferometro.

d es la diferencia de fase entre dos reflexiones consecutivas.

Tomando la diferencia de fase anterior y sumando las amplitudes de los rayos transmitidos tenemos entonces

$E_{1r}=E_{0}re^{i\omega t}$

$E_{2r}=E_{0}tt'r'e^{i\left(\omega t-\delta \right)}$

$E_{3r}=E_{0}tt'r'^{3}e^{i\left(\omega t-2\delta \right)}$

$E_{Nr}=E_{0}tt'r'^{(2N-3)}e^{i\left(\omega t-\left(N-1\right)\delta \right)}$

donde $E_{0}e^{i\omega t}$ es la onda incidente.

Los términos $\delta ,2\delta ,...,(N-1)\delta$ son las contribuciones a la fase procedentes de una diferencia de longitud de camino óptico entre rayos adyacentes.

$E_{rT}=\sum E_{ir}=E_{0}re^{i\omega t}+\sum _{j=2}^{N}E_{0}tr'^{(2j-3)}t'e^{i\left(\omega t-\left(j-1\right)\delta \right)}$

$=E_{0}e^{i\omega t}\left[r+\left\{\sum _{j=2}^{N}\left(r'^{2}e^{i\delta }\right)^{j-2}\right\}r'tt'e^{-i\delta }\right]$

Si $[r'^{2}e^{i\delta }]<1$, y si el número de términos en la serie se aproxima al infinito, la serie converge. La onda resultante se transforma en:

$E_{r}=E_{0}e^{i\omega t}\left[r+{\frac {r'tt'e^{-i\delta }}{1-r'^{2}e^{-i\delta }}}\right]$

En el caso de absorción cero, cuando no se extrae energía de las ondaas, se puede utilizar las relaciones $tt'=1-r^{2},yr=-r'$para volver a escribir la ecuación como

$E_{r}=E_{0}e^{i\omega t}\left[{\frac {r\left(1-e^{-i\delta }\right)}{1-r^{2}e^{-i\delta }}}\right]$

La irradiancia se obtiene tomando el cuadrado complejo de esta amplitud quedando

$I_{R}=E_{r}E_{r}^{*}=E_{0}^{2}\left[{\frac {r\left(1-e^{i\delta }\right)}{1-r^{2}e^{i\delta }}}\right]\left[{\frac {r\left(1-e^{i\delta }\right)}{1-r^{2}e^{i\delta }}}\right]$

Que puede transformarse en

$I_{r}=E_{0}^{2}{\frac {2r^{2}\left(1-\cos \theta \right)}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos \delta }}$

De forma parecida, las amplitudes de las ondas transmitidas proporcionadas por

$E_{1t}=E_{0}tt'e^{i\omega t}$

$E_{2t}=E_{0}tt'r'^{2}e^{i\left(\omega t-\delta \right)}$

$E_{3t}=E_{0}tt'r'^{4}e^{i\left(\omega t-2\delta \right)}$

$E_{Nr}=E_{0}tt'r'^{2\left(N-1\right)}e^{i\left(\omega t-\left(N-1\right)\delta \right)}$

$E_{tT}=E_{0}e^{i\omega t}\left[tt'\sum _{j=1}^{N}r'^{(j-1)}e^{-i\left(j-1\right)\delta }\right]$

Pueden sumarse para dar como resultado

$E_{t}=E_{0}e^{i\omega t}{\frac {tt'}{1-r^{2}e^{-i\delta }}}$

Multiplicando también por su complejo conjugado

$I_{t}=I_{i}\left(tt'\right)^{2}{\frac {1}{1-r^{2}e^{-i\delta }}}{\frac {1}{1-r^{2}e^{i\delta }}}$

se obtiene la irradiancia del haz transmitido

$I_{t}=I_{i}\left(tt'\right)^{2}{\frac {1}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos \delta }}$

o bien

$I_{t}=I_{i}{\frac {\left(1-r^{2}\right)^{2}}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos \delta }}$

Notemos que para dieléctricos

$I_{r}+I_{t}={\frac {\left(1-r^{2}\right)^{2}+2r^{2}\left(1-\cos \delta \right)}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos \delta }}I_{i}$

$={\frac {1+r^{4}-2r^{2}-2r^{2}\cos \delta +2r^{2}}{\left(1+r^{4}\right)-2r^{2}\cos \delta }}I_{i}=I_{i}$

si no se absorbe nada de la energía incidente, la densidad de flujo de la onda incidente será exactamente igual a la suma de la densidad de flujo reflejada por la película más la densidad de flujo total transmitida al salir de la película, es decir

$I_{i}=I_{i}=I_{r}+I_{t}$

si $\delta =2\pi m$ Exixtirá un máximo

$I_{tmax}=I_{i}{\frac {\left(1-r^{2}\right)^{2}}{1+r^{4}-2r^{2}}}=I_{i}$

$I_{rmin}=0$ (por conservación de energía)

ahora si $\delta =\left(2m+1\right)\pi$ se producirá un minimo en la densidad del flujo transmitido

$I_{tmin}=I_{i}{\frac {\left(1-r^{2}\right)^{2}}{(1+r^{2})^{2}}}$

El máximo correspondiente en la densidad de flujo reflejado es

$I_{rmax}=I_{i}{\frac {4r^{2}}{(1+r^{2})^{2}}}$

Si escribimos

${\frac {I_{t}}{I_{i}}}={\frac {(1-r^{2})^{2}}{1+r^{4}-2r^{2}\left(\cos ^{2}{\frac {\delta }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}\right)}}$

${\frac {(1-r^{2})^{2}}{1+r^{4}-2r^{2}\left(1-2\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}\right)}}$

${\frac {\left(1-r^{2}\right)^{2}}{\left(1-r^{2}\right)^{2}+4r^{2}\sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}$

${\frac {1}{1+\left[{\frac {2r}{1-r^{2}}}\sin {\frac {\delta }{2}}\right]^{2}}}$

que es llamado coeficiente de fineza

$\digamma =\left({\frac {2r}{1-r^{2}}}\right)^{2}={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}$

con lo cual estas ecuaciones se podran escribir como

${\frac {I_{r}}{I_{t}}}={\frac {\digamma \sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}{1+\digamma \sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}$

y

${\frac {I_{t}}{I_{i}}}={\frac {1}{1+\digamma \sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}\equiv A\left(\delta \right)$

En donde el término ${\frac {1}{1+\digamma \sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}\equiv A\left(\delta \right)$ se denomina función de Airy y representa la distribución de la densidad de flujo transmitida

$tt'=T=1-R-A$

$\delta ={\frac {4\pi }{\lambda }}n_{t}d\cos \theta +2\delta _{r}$

${\frac {I_{t}}{I_{i}}}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}$

${\frac {I_{t}}{I_{i}}}={\frac {T^{2}}{(1-R^{2})}}A(\delta )$

${\frac {I_{t}}{I_{i}}}={\frac {\left(1-R-A\right)^{2}}{\left(1-R\right)^{2}}}A\left(\delta \right)$

$=\left(1-{\frac {A}{1-R}}\right)^{2}A\left(\delta \right)$

$I_{i}\left(1-{\frac {A}{1-R}}\right)^{2}\equiv I_{tmax}$

${\frac {I_{t}}{i_{tmax}}}=A\left(\theta \right)={\frac {1}{1+\digamma \sin ^{2}{\frac {\delta }{2}}}}$

$\delta _{max}=2\pi m$

$\gamma =2{\frac {\delta _{i}}{2}}$

${\frac {1}{2}}={\frac {1}{1+\digamma \sin \left({\frac {{\frac {\delta }{2}}+\delta _{max}}{2}}\right)}}$

$\sin \left({\frac {\delta _{\frac {1}{2}}}{2}}+m\pi \right)=\pm sin\left({\frac {\delta _{\frac {1}{2}}}{2}}\right)$

$\sin ^{2}\left({\frac {\delta _{\frac {1}{2}}}{2}}+m\pi \right)=\sin ^{2}\left({\frac {\delta _{\frac {1}{2}}}{2}}\right)$

$\sin ^{2}\left({\frac {\delta _{\frac {1}{2}}}{2}}\right)={\frac {1}{\digamma }}$

$\delta _{\frac {1}{2}}=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1}{\digamma }}}\right)$

$\gamma =4\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {\digamma }}}\right)$

${\frac {\delta _{\frac {1}{2}}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {\digamma }}}$

$\gamma \approxeq \left({\frac {4}{\sqrt {\digamma }}}\right)$

$\Upsilon \equiv {\frac {2\pi }{\gamma }}={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\digamma }}$