Optica: Integral de Kirchhoff - Fresnel

Principio de Huygens-Fresnel

La idea básica de la teoría de Huygens-Fresnel es que la perturbación luminosa en un punto P en el espacio, surge de la superposición de ondas esféricas secundarias originadas en cada punto del frente de una onda primaria situada entre P y la fuente.

Fuentes Ficticias

Sin embargo, no existe evidencia física de fuentes luminosas sobre cada punto de la superficie de un frente de onda, por lo que el principio de Huygens es simplemente una suposición que conduce a una descripción bastante buena de algunos fenómenos de difracción, todos aquellos fenómenos conocidos como "difracción de Fresnel".

Un enfoque mas natural y preciso fue el que realizó Gustav Kirchhoff al calcular la solución de la ecuación de onda electromagnética escalar en un punto P en el espacio, en términos de su solución y gradiente, evaluados sobre una superficie cerrada arbitraria S que rodea a P. Este es el conocido teorema integral de Kirchhoff. Cabe mencionar que Helmholtz derivó previamente este teorema de sus estudios en acústica para ondas monocromáticas.

Teorema Integral de Helmholtz-Kirchhoff

Desarrollo matemático

Nuestro estudio se limitará a ondas electromagnéticas monocromáticas en el vacio. Sea $E$ la onda incidente, que obedece a la ecuación diferencial escalar:

$\nabla ^{2}E={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}$ (1)

Apliquemos el método de separación de variables para resolver esta ecuación. Sea $E(x,y,z,t)=U(x,y,z)e^{-i\omega t}$ nuestra función separable en una función $U$, que solo depende de las coordenadas $x,y,z$ y otra dependiente únicamente del tiempo. Al sustituirla en (1) se obtienen dos ecuaciones diferenciales, una de las cuales, la que nos interesa resolver, es la ecuación de Helmholtz:

$\nabla ^{2}U+k^{2}U=0$(2)

la cual nos muetra la variación espacial de la función indeterminada $U$. $k=\omega /c$.

Para su solución nos apoyamos en el teorema de Green. Sea $V$ el volumen limitado por la superficie cerrada $S$ y sea $P$ cualquier punto dentro de $V$ ; asumimos que $U$ posee derivadas parciales de primero y segundo orden, continuas, dentro y sobre la superficie. Sea U' cualquier otra función que cumple con las mismas condiciones de continuidad que $U$. Entonces, por teorema de Green, tenemos que:

$\iiint \limits _{V}(U\nabla ^{2}U'-U'\nabla ^{2}U)\,dV=-\iint \limits _{S}(U{\overrightarrow {\nabla }}U'-U'{\overrightarrow {\nabla }}U)\cdot {\widehat {n}}dS$(3)

donde tomamos el vector ${\widehat {n}}$, normal a $S$, hacia dentro de esta.

En particular, si U' satisface también la ecuación de Helmholtz, (2), el integrando en el miembro izquierdo de (3) se hace cero en cada punto de $V$ ; y el teorema de Green se reduce a:

$\iint \limits _{S}(U{\overrightarrow {\nabla }}U'-U'{\overrightarrow {\nabla }}U)\cdot {\widehat {n}}dS=0$(4)

Ahora, se propone: $U'(x,y,z)={\frac {e^{ikr}}{r}}$

donde $r$ denota la distancia desde el punto $P$ al punto (x,y,z).

U' , expresada en esta forma, tiene una singularidad en r = 0; y como se asumió que debe ser continua y diferenciable, $P$ debe ser excluido del dominio de integración; para tal efecto lo encerraremos en una pequeña esfera hueca de radio $\epsilon$ centrada en el punto $P$ mismo. La integral (4) será evaluada, entonces, en el volumen comprendido entre $S$ y la superficie $S'$ de la pequeña esfera, como lo muestra la figura; y en lugar de (4) tenemos la siguiente integral:

$\left[\iint \limits _{S}+\iint \limits _{S'}\right](U{\overrightarrow {\nabla }}{\frac {e^{ikr}}{r}}-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\overrightarrow {\nabla }}U)\cdot {\widehat {n}}dS=0$(5)

Ahora desarrollaremos la integral sobre la superficie $S'$.

Nos damos cuenta que:

${\overrightarrow {\nabla }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\cdot {\widehat {n}}=\left(ik-{\frac {1}{r}}\right){\frac {e^{ikr}}{r}}$

${\overrightarrow {\nabla }}U\cdot {\widehat {n}}={\frac {\partial }{\partial r}}U$

Sustituyendo estas expresiones en (5) se obtiene lo siguiente:

$\iint \limits _{S}(U{\overrightarrow {\nabla }}{\frac {e^{ikr}}{r}}-{\frac {e^{ikr}}{r}}{\overrightarrow {\nabla }}U)\cdot {\widehat {n}}dS=-\iint \limits _{S'}\left[U\left(ik-{\frac {1}{\epsilon }}\right){\frac {e^{ik\epsilon }}{\epsilon }}-{\frac {e^{ik\epsilon }}{\epsilon }}{\frac {\partial }{\partial \epsilon }}U\right]\epsilon ^{2}d\Omega$