Optica: Integral de Kirchhoff - Fresnel

Principio de Huygens-Fresnel

La idea básica de la teoría de Huygens-Fresnel es que la perturbación luminosa en un punto P en el espacio, surge de la superposición de ondas esféricas secundarias originadas en cada punto del frente de una onda primaria situada entre P y la fuente.

Fuentes Ficticias

Sin embargo, no existe evidencia física de fuentes luminosas sobre cada punto de la superficie de un frente de onda, por lo que el principio de Huygens es simplemente una suposición que conduce a una descripción bastante buena de algunos fenómenos de difracción, todos aquellos fenómenos conocidos como "difracción de Fresnel".

Un enfoque mas natural y preciso fue el que realizó Gustav Kirchhoff al calcular la solución de la ecuación de onda electromagnética escalar en un punto P en el espacio, en términos de su solución y gradiente, evaluados sobre una superficie cerrada arbitraria S que rodea a P. Este es el conocido teorema integral de Kirchhoff. Cabe mencionar que Helmholtz derivó previamente este teorema de sus estudios en acústica para ondas monocromáticas.

Teorema Integral de Helmholtz-Kirchhoff

Desarrollo matemático

Nuestro estudio se limitará a ondas electromagnéticas monocromáticas en el vacio. Sea E la onda electromagnética monocromática incidente, que obedece la ecuación diferencial escalar:

$\nabla ^{2}E={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}$

Aplicamos el método de separación de variables para resolver esta ecuación:

$E(x,y,z,t)=U(x,y,z)e^{-i\omega t}$