Optica: Difraccion de Fraunhofer circulo-cuadrado

Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.

La ecuación

$x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{a^{2}}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

• Representa un círculo en el plano $xy$ de radio $a$ si $s=0$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$

• Representa un cuadrado de lado $2a$ si $s=1$
  

  Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas

$(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}})^{1/2}(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}})^{1/2}=0$

Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a $a$ tenemos

$a^{2}\geq x^{2},y^{2}$

Por lo tanto obtenemos la Fig6.

La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares $(r,\varphi )$

$[{\frac {s^{2}}{4}}\sin ^{2}2\varphi ]r^{4}-a^{2}r^{2}+a^{2}=0$

Encontramos que tiene solución

$r(a,\varphi )=\{[2a^{2}{\frac {1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )}}\}^{1/2}$

Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición $r^{2}\leq 2a^{2}$

La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes

$E(k_{q},K_{\phi })=\int _{0}^{\infty }\rho \int _{0}^{2\pi }{\mathcal {A}}(\rho ,\varphi )e^{\imath (kq\rho /R)\cos(\varphi -\phi )}\rho d\rho d\varphi$

La función de apertura para este caso particular es.

${\mathcal {A}}(\rho ,\varphi )=\{_{0\quad para\quad \rho >r(a,\varphi )}^{1\quad para\quad \rho <r(a,\varphi )}$

Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces

$r(a,\varphi )=aM_{s}(\varphi )$

con

$M_{s}(\varphi )=[2{\frac {1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi )}}]^{1/2}$

Esta función tiene fronteras entre

$\quad 1\leq M_{s}(\varphi )\leq {\sqrt {2}}$

Y puede verse que en el limite cuando $s\longrightarrow 0,\qquad M_{s}(\varphi )\longrightarrow 1$

Si reescribimos la variable radial

$\rho =\rho \prime M_{s}(\varphi )\quad d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi )$

Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo $\varphi$

$U(\rho \prime )=\{_{0\quad para\quad \rho \prime >a}^{1\quad para\quad \rho \prime <a}$

Tal que

${\mathcal {A}}(a,\varphi )={\mathcal {A}}(\rho \prime ,\varphi )=U(\rho \prime )U(\phi )=U(\rho \prime )$ $\varphi$

Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es

$E(k_{q},K_{\phi })=\int _{0}^{\infty }\rho \prime U(\rho \prime )\int _{0}^{2\pi }M_{s}^{2}(\varphi )e^{\imath (kq\rho \prime M_{s}(\varphi )/R)\cos(\varphi -\phi )}d\rho \prime d\varphi$\

Círculo.

Si ponemos $s=0$ entonces $M_{s}(\varphi )=1$ y obtenemos

${\begin{alignedat}{4}E(k_{q},K_{\phi })&=&\int _{0}^{\infty }\rho \prime U(\rho \prime )[\int _{0}^{2\pi }(\varphi )e^{\imath (kq\rho \prime /R)\cos(\varphi -\phi )}d\varphi ]d\rho \prime \\&=&\int _{0}^{\infty }\rho \prime U(\rho \prime )[J_{0}(kq\rho \prime /R)]d\rho \prime \\&=&\int _{0}^{a}\rho \prime [J_{0}(kq\rho \prime /R)]d\rho \prime \\&=&(R/kqa)J_{1}(kqa/R)\\\end{alignedat}}$

Y recobramos el resultado ya presentado

Cuadrado.

Obtenemos un cuadrado para $s=1$

Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos

$E(k_{q},K_{\phi })=\int _{0}^{a}\rho \prime \int _{-\pi /4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi )\cos[{(kq\rho \prime M_{s}(\varphi )/R)\cos(\varphi -\phi )}]d\rho \prime d\varphi$

Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es

$M_{s=1}(\varphi )=\{_{{\frac {1}{|\sin \varphi |}}\quad para\quad \pi /4\quad a\quad (3\pi /4)+n\pi }^{{\frac {1}{|\cos \varphi |}}\quad para\quad -\pi /4\quad a\quad (\pi /4)+n\pi }$

Tenemos entonces que

$E(k_{q},K_{\phi })=\int _{0}^{a}\rho \prime \int _{-\pi /4}^{\pi /4}{\frac {\cos[(kq\rho \prime /R)(\cos \phi +\sin \phi \tan \varphi ]}{\cos ^{2}\varphi }}d\varphi d\rho \prime +\int _{0}^{a}\rho \prime \int _{\pi /4}^{3\pi /4}{\frac {\cos[(kq\rho \prime /R)(\sin \phi +\cos \phi \cot \varphi )]}{\sin ^{2}\varphi }}d\varphi d\rho \prime$

Nombramos la primera de la ecuación $G_{1}$,y la segunda parte $G_{2}$ quedando

$E(k_{q},K_{\phi })=G_{1}+G_{2}$

Haciendo las integrales angulares

$G_{1}={\frac {4}{(kq/R)^{2}\sin \phi }}\int _{0}^{a}\sin[(kq\rho \prime /R)\sin \phi ]\cos[(kq\rho \prime /R)\cos \phi ]$ $G_{2}={\frac {4}{(kq/R)^{2}\cos \phi }}\int _{0}^{a}\cos[(kq\rho \prime /R)\sin \phi ]\sin[(kq\rho \prime /R)\cos \phi ]$

Integrando nuevamente

$G_{1}={\frac {4}{(kq/R)^{2}\sin \phi }}[({\frac {1-\cos[kqa/R(\sin \phi -cos\phi )]}{\sin \phi -\cos \phi }})$ $+({\frac {1-\cos[kqa/R(\sin \phi +\cos \phi )]}{\sin \phi +\cos \phi }})]$

$G_{2}={\frac {4}{(kq/R)^{2}\cos \phi }}[({\frac {1-\cos[kqa/R(\cos \phi -\sin \phi )]}{\cos \phi -\sin \phi }})$ $+({\frac {1-\cos[kqa/R(\sin \phi +\cos \phi )]}{\sin \phi +\cos \phi }})]$

Sumando $G_{1}+G_{2}$ tenemos

${\begin{array}{lcl}E(k_{q},K_{\phi })&=&G_{1}+G_{2}\\&=&{\frac {4}{(kq/R)^{2}\cos \phi \sin \phi }}[\sin(kqa/R\sin \phi )\sin(kqa/R\cos \phi )]\\&=&4a^{2}\mathrm {sinc} (kqa/R\sin \phi )\mathrm {sinc} (kqa/R\cos \phi )\\\end{array}}$

como

$z=\rho \cos \varphi ,Z=q\cos \phi$

$y=\rho \sin \varphi ,Y=q\sin \phi$

Obtenemos finalmente

$E(k_{q},k_{\phi })=4a^{2}\mathrm {sinc} [(ka/R)\quad Y]\mathrm {sinc} [(ka/R)\quad Z]$

Que es la ecuación para el campo de un cuadrado.

Valores Intermedios de $S$.

Figura2. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado

Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de $s$ entre $0$ y $1$. Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado.

La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro $S$ como se presenta en la Fig8.

Figura9. Variación de s para la distribucion de l campo

En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de $S$ asi como la curva de nivel del campo.

$s=1$

$s=1$

$s=0.99$

$s=1$

$s=0.95$

$s=0.8$

$s=1$

$s=0.6$

$s=1$

$s=0$

$s=1$

Variación con el parámetro de cuadradez $S$.

• 

  $s=1$

• 

  $s=0.99$

Mfgwi (discusión) --CAZ 16:32 29 ago 2008 (CDT)