Diferencia entre revisiones de «Optica: Difraccion de Fraunhofer circulo-cuadrado»

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== Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.  ==
== Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.  ==


La ecuación <ref> Manuel Fernandez Guasti,''Analytic geometry of some rectilinear figures'',INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6</ref>
La ecuación <ref> Manuel Fernandez Guasti,''Analytic geometry of some rectilinear figures'',INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6</ref>


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<math>x^{2}+y^{2}-\frac{s^{2}}{a^{2}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad        (1)
<math>x^{2}+y^{2}-\frac{s^{2}}{a^{2}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad        (1)
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* Representa un círculo en el plano <math>xy</math> de radio <math>a</math> si <math>s=0</math>
* Representa un círculo en el plano <math>xy</math> de radio <math>a</math> si <math>s=0</math>


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<math>x^{2}+y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad         
<math>x^{2}+y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad         
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* Representa un cuadrado de lado <math>2a</math> si <math>s=1</math> [[Imagen:circcuadlisto.jpg |right|thumb|400x400px|Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas]]
* Representa un cuadrado de lado <math>2a</math> si <math>s=1</math> [[Imagen:circcuadlisto.jpg |right|thumb|400x400px|Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas]]


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<math>(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})^{1/2}(1-\frac{y^{2}}{a^{2}})^{1/2}=0</math>
<math>(1-\frac{x^{2}}{a^{2}})^{1/2}(1-\frac{y^{2}}{a^{2}})^{1/2}=0</math>
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Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a <math>a</math> tenemos  
Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a <math>a</math> tenemos  


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Línea 36: Línea 26:


Por lo tanto obtenemos la Fig6.
Por lo tanto obtenemos la Fig6.


La ecuación (1) representa una figura intermedia  con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares <math>(r,\varphi)</math>
La ecuación (1) representa una figura intermedia  con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares <math>(r,\varphi)</math>


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Línea 46: Línea 33:
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Encontramos que tiene solución
Encontramos que tiene solución


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<math>r(a,\varphi)=\{[2a^{2}\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}\}^{1/2}
<math>r(a,\varphi)=\{[2a^{2}\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}\}^{1/2}
</math></center>
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Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica  una y solo una posible solución que cumple la condición <math>r^{2}\leq 2a^{2}</math>
Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica  una y solo una posible solución que cumple la condición <math>r^{2}\leq 2a^{2}</math>


La transformada de Fourier para una  apertura arbitraria es como dijimos antes
La transformada de Fourier para una  apertura arbitraria es como dijimos antes


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Línea 66: Línea 48:
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La función de apertura para este caso particular es
La función de apertura para este caso particular es.
 


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<math>\mathcal{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad  para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad  \rho >r(a,\varphi)}
<math>\mathcal{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad  para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad  \rho >r(a,\varphi)}
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Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces
Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces


<math>r(a,\varphi)=aM_{s}(\varphi)</math>  
<math>r(a,\varphi)=aM_{s}(\varphi)</math>  


con
con


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<math>M_{s}(\varphi)=[2\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}]^{1/2}
<math>M_{s}(\varphi)=[2\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}]^{1/2}
</math></center>
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Esta función tiene fronteras entre  
Esta función tiene fronteras entre  


<math> \quad 1\leq M_{s}(\varphi)\leq \sqrt 2 </math>
<math> \quad 1\leq M_{s}(\varphi)\leq \sqrt 2 </math>


Y puede verse que en el limite cuando <math>s\longrightarrow 0, \qquad M_{s}(\varphi)\longrightarrow 1</math>
Y puede verse que en el limite cuando <math>s\longrightarrow 0, \qquad M_{s}(\varphi)\longrightarrow 1</math>


Si reescribimos la variable radial  
Si reescribimos la variable radial  


<center> <math>\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad
<center> <math>\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad
d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi)
d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi)
</math></center>
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Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo <math>\varphi</math>
Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo <math>\varphi</math>


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<math>U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad  para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad  \rho\prime >a}
<math>U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad  para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad  \rho\prime >a}
</math></center>
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Tal que  
Tal que  


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<math>\mathcal{A}(a,\varphi)=\mathcal{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(\phi)=U(\rho\prime)</math> <math>\varphi</math>
<math>\mathcal{A}(a,\varphi)=\mathcal{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(\phi)=U(\rho\prime)</math> <math>\varphi</math>
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Entonces la transformada de  Fourier de un circulo-cuadrado es<ref> M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,''Difracction pattern of a circle/square aperture'', JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6</ref>
Entonces la transformada de  Fourier de un circulo-cuadrado es<ref> M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,''Difracction pattern of a circle/square aperture'', JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6</ref>


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Línea 130: Línea 96:


== Círculo. ==
== Círculo. ==


Si ponemos <math>s=0</math> entonces <math>M_{s}(\varphi)=1</math> y obtenemos
Si ponemos <math>s=0</math> entonces <math>M_{s}(\varphi)=1</math> y obtenemos


<math>\begin{alignat}{4}
<math>\begin{alignat}{4}
Línea 155: Línea 118:


Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos
Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos


<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi)
<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi)
\cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi
\cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi
</math>
</math>


Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es
Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es


<math>M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi}
<math>M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi}
_{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi}
_{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi}
</math>
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Tenemos entonces que
Tenemos entonces que


<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4}
<math>E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4}
Línea 178: Línea 135:
\frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sin^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime
\frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sin^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime
</math>
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Nombramos la primera de la ecuación <math>G_{1}</math>,y la segunda parte <math>G_{2}</math> quedando
Nombramos la primera de la ecuación <math>G_{1}</math>,y la segunda parte <math>G_{2}</math> quedando


<math>E(k_{q},K_{\phi})=G_{1}+G_{2}
<math>E(k_{q},K_{\phi})=G_{1}+G_{2}
</math>
</math>


Haciendo las integrales angulares
Haciendo las integrales angulares


<math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi]
<math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi]
Línea 194: Línea 147:
<math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi]
<math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi]
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Integrando nuevamente
Integrando nuevamente


<math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi})
<math>G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi})
Línea 203: Línea 154:
<math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})]
<math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})]
</math>
</math>


<math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi})
<math>G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi})
Línea 209: Línea 159:
<math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})]
<math>+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})]
</math>
</math>


Sumando <math>G_{1}+G_{2}</math> tenemos
Sumando <math>G_{1}+G_{2}</math> tenemos


<math>
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Línea 221: Línea 169:
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>


como
como


<math>z=\rho \cos \varphi,  Z=q\cos \phi</math>


<math>z=\rho \cos \varphi,  Z=q\cos \phi
<math>y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi</math>
</math>
 
 
<math>y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi
</math>
 


Obtenemos finalmente
Obtenemos finalmente


 
<center> <math>E(k_{q},k_{\phi})=4a^{2}\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Y]\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Z]</math></center>
<center> <math>E(k_{q},k_{\phi})=4a^{2}\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Y]\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Z]
 
</math></center>
 


Que es la ecuación  para el campo de un cuadrado.
Que es la ecuación  para el campo de un cuadrado.
Línea 277: Línea 215:


[[Imagen:cnivel0.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]]
[[Imagen:cnivel0.jpg|right|thumb|300x300px|<math>s=1</math>]]
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= Variación con el parámetro de cuadradez <math>S</math>. =
== Variación con el parámetro de cuadradez <math>S</math>. ==


<gallery mode="slideshow">
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Revisión del 14:00 6 dic 2019

Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.

La ecuación [1]

  • Representa un círculo en el plano de radio si
  • Representa un cuadrado de lado si
    Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas

Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a tenemos

Por lo tanto obtenemos la Fig6.

La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares

Encontramos que tiene solución

Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición

La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes

La función de apertura para este caso particular es

Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces

con

Esta función tiene fronteras entre

Y puede verse que en el limite cuando

Si reescribimos la variable radial

Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo

Tal que

Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es[2]

\

Círculo.

Si ponemos entonces y obtenemos

Y recobramos el resultado ya presentado

Cuadrado.

Obtenemos un cuadrado para

Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos

Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es

Tenemos entonces que

Nombramos la primera de la ecuación ,y la segunda parte quedando

Haciendo las integrales angulares

Integrando nuevamente

Sumando tenemos

como

Obtenemos finalmente

Que es la ecuación para el campo de un cuadrado.

Valores Intermedios de .

Figura2. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado

Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de entre y . Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado.

La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro como se presenta en la Fig8.

Figura9. Variación de s para la distribucion de l campo

En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de asi como la curva de nivel del campo.


Variación con el parámetro de cuadradez .


  1. Manuel Fernandez Guasti,Analytic geometry of some rectilinear figures,INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6
  2. M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,Difracction pattern of a circle/square aperture, JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6

Mfgwi (discusión) --CAZ 16:32 29 ago 2008 (CDT)