Optica: Difraccion de Fraunhofer

Conceptos Importantes

$\lambda$ $\longrightarrow$ Periodo espacial

$\omega$$\longrightarrow$ Oscilaciones en 2$\pi$ radianes por unidad de tiempo

K $\longrightarrow$ Oscilaciones en $2\pi$ u oscilaciones en 2$\pi$ radianes por $\lambda$ K =$2\pi {\mathit {k}}$ frecuencia espacial angular

${\mathit {k}}=\left({\frac {1}{\lambda }}\right)$ frecuencia espacial

Si ${\mathit {k}}<<1,\lambda >>0$

El ancho del pico cuadrado $2\lambda /a$ puede ser cualquier fracción de la longitud de onda total, dependiendo de a. Si estuvieramos sintetizando la fracción correspondiente del tiempo f(t) con un pico cuadrado de ancho 2 $\tau /a$ la misma expresión se aplicaría donde Kx se reemplazaría por $\omega t$

$\omega$ se conoce como frecuencia fundamental y a $2\omega ,3\omega ,...$ como armonicas de la fundamental

Si el ancho del pico se reduce, el número de términos que se necesitan en la serie para producir el mismo parecido general a f(x) aumentará.

Hacer el pico + angosto tiene el efecto de introducir armonicas de mas alto orden las que a su vez tienen longitudes de onda más pequeñas.

$\lambda$ (cm)	K	a
1	2$\pi$	4
2	$\pi$	8
4	$\pi /2$	16

El ancho del pico permanece inalterado (1/4).

Observesé que la densidad de componentes a lo largo del eje mK ha aumentedo. No obstante A(mK) es aun cero cuando m=4$\pi$,8$\pi$,12$\pi$,...

El pulso comparado con $\lambda$ se está haciendo más y más pequeño por lo tanto requiere de más altas energías para sintetizarlo.

Aunque formada de terminos discretos, en el límite Km será transformada en K, es decir, una distribución continua de frecuencia.

Si el pico es infinito la funcion ya no es periodica y se obtiene la integral de Fourier.

La transformada de Fourier y difracción de una sola rejilla. F(x) representa la función de apertura de una rejilla de difracción y $A_{n}$ amplitud de luz de cada ranura en las direcciones $\pm$θ

$A_{n}={\frac {ha}{D}}\left[{\sin \left({\frac {\pi na/D}{\pi na/D}}\,\right)}\right]$

Si: $D\sin \theta =n\lambda$

En el que u=n\D es restringido a valores especificos dados por

$D\sin =n$ da la condición para un máximo en la rejilla

Una función δ es movida del orígen a una posición $X_{1}$ es expresada como $f(x)=\delta (X-X_{1})$

f(x)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {A_{n}}{2}}\cos {\frac {2\pi nx}{D}}$

La condición para un máximo en la rejilla es $D\sin \theta =n\lambda$

que en términos de u queda entonces como:

$A_{n}={\frac {ha}{D}}{\frac {\sin 2\pi ua}{2\pi ua}}$

Cuando $D\to \infty$

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F(u)\cos 2\pi ux\,du$

Podemos decir que el patrón de difracción de una simple ranura es la transformada de Fourier de la función de apertura de la ranura .

F(u) esta dado por:

$F(u)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos 2\pi ux\,du$

F(u) puede identificarse directamente como la amplitud de la luz difractada rejilla tranformada de Fourier.

La función δ de Dirac estara definida como la forma limite de una función rectángulo.

Si a = 0 F(u) esta en infinito

lím F(u)= ha

Uno esperaría un patrón de difracción suave

$\lambda (x)={\begin{cases}hu&u=0\\0&u\neq 0\end{cases}}$

Una función δ mueve el origen a alguna posición $X_{1}$ $f(x)=\delta (X-X_{1})$

Un arreglo multiple en 1 dimensión $u={\frac {\sin \theta }{\lambda }}={\frac {n}{D}}$

Si hay varias deltas a lo largo del eje x )n ranuras= esto debe alterar la fase por medio del patron de difracción.

La distribución de deltas a lo largo de la rejilla es un ejemplo de convolución, la convolución ocurre cuando una entrada continua es procesada para dar una señal de salida. --Marisol 21:12 2 sep 2008 (CDT)