Optica: Difraccion de Fraunhofer

Conceptos Importantes

$\lambda$ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \longrightarrow Periodo espacial

$\omega$Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \longrightarrow Oscilaciones en 2$\pi$ radianes por unidad de tiempo

K $\longrightarrow$ Oscilaciones en $2\pi$ u oscilaciones en 2$\pi$ radianes por $\lambda$ K =$2\pi {\mathit {k}}$ frecuencia espacial angular

${\mathit {k}}=\left({\frac {1}{\lambda }}\right)$ frecuencia espacial

Si ${\mathit {k}}<<1,\lambda >>0$

El ancho del pico cuadrado $2\lambda /a$ puede ser cualquier fracción de la longitud de onda total, dependiendo de a. Si estuvieramos sintetizando la fracción correspondiente del tiempo f(t) con un pico cuadrado de ancho 2 $\tau /a$ la misma expresión se aplicaría donde Kx se reemplazaría por $\omega t$

$\omega$ se conoce como frecuencia fundamental y a $2\omega ,3\omega ,...$ como armonicas de la fundamental

Si el ancho del pico se reduce, el número de términos que se necesitan en la serie para producir el mismo parecido general a f(x) aumentará.

Hacer el pico + angosto tiene el efecto de introducir armonicas de mas alto orden las que a su vez tienen longitudes de onda más pequeñas.

$\lambda$ (cm)	K	a
1	2$\pi$	4
2	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \pi	8
4	Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \pi/2	16

Si el pico es infinito la funcion ya no es periodica y se obtiene la integral de Fourier.

La transformada de Fourier y difracción de una sola rejilla. F(x) representa la función de apertura de una rejilla de difracción y $A_{n}$ amplitud de luz de cada ranura en las direcciones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \pm θ

$A_{n}={\frac {ha}{D}}\left[{\sin \left({\frac {\pi na/D}{\pi na/D}}\,\right)}\right]$

Si: $D\sin \theta =n\lambda$

En el que u=n\D es restringido a valores especificos dados por

$D\sin =n$ da la condición para un máximo en la rejilla

Una función δ es movida del orígen a una posición $X_{1}$ es expresada como $f(x)=\delta (X-X_{1})$

f(x)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {A_{n}}{2}}\cos {\frac {2\pi nx}{D}}$

La condición para un máximo en la rejilla es $D\sin \theta =n\lambda$

que en términos de u queda entonces como:

$A_{n}={\frac {ha}{D}}{\frac {\sin 2\pi ua}{2\pi ua}}$

Cuando $D\to \infty$

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F(u)\cos 2\pi ux\,du$

Podemos decir que el patrón de difracción de una simple ranura es la transformada de Fourier de la función de apertura de la ranura .

F(u) esta dado por:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): F(u)= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos 2 \pi u x\,du

F(u) puede identificarse directamente como la amplitud de la luz difractada rejilla tranformada de Fourier.

La función δ de Dirac estara definida como la forma limite de una función rectángulo.

Si a = 0 F(u) esta en infinito

lím F(u)= ha

Uno esperaría un patrón de difracción suave

$\lambda (x)={\begin{cases}hu&u=0\\0&u\neq 0\end{cases}}$

Una función δ mueve el origen a alguna posición $X_{1}$ $f(x)=\delta (X-X_{1})$

Un arreglo multiple en 1 dimensión $u={\frac {\sin \theta }{\lambda }}={\frac {n}{D}}$

Si hay varias deltas a lo largo del eje x )n ranuras= esto debe alterar la fase por medio del patron de difracción.

La distribución de deltas a lo largo de la rejilla es un ejemplo de convolución, la convolución ocurre cuando una entrada continua es procesada para dar una señal de salida. --Marisol 21:12 2 sep 2008 (CDT)