Optica: Difraccion de Fraunhofer

Introducción

Imaginemos que tenemos una pantalla opaca, Σ, que contiene una sola abertura pequeña iluminada por ondas planas de una fuente puntual, S, muy lejana. El plano de observación σ es una pantalla paralela muy cercana a Σ. Bajo estas condiciones, se proyecta sobre la pantalla una imagen de la abertura que es claramente reconocible a pesar de unas pequeñas franjas que se ven alrededor de la periferia (figura 1). Según el plano de observación va alejándose de Σ, la imagen de la abertura, si bien es fácilmente reconocible, va adquieriendo más estructura mientras que las franjas se vuelven más prominentes. Este fenómeno se denomina difracción de Fresnel o de campo cercano. Si se va alejando aún más el plano de observación, se producirá un cambio continuo en las franjas. A una gran distancia de Σ la distribución proyectada se habrá extendido considerablemente, teniendo muy poco o nada de parecido con la abertura real. De ahí en adelante, el movimiento de σ cambia esencialmente sólo el tamaño de la distribución y no su forma. Esta es la difracción de Fraunhofer o de campo lejano.

Consideremos una fuente puntual S y un punto de observación P, donde ambos estén muy lejos de Σ y donde no haya lentes. Siempre que la onda incidente y la onda emitidas sean planas (difiriendo de ello en una pequeña fracción de longitud de onda) en la extension de las aberturas difractoras (u obstáculos), se obtiene la difracción de Fraunhofer.

Figura 1.1 Sucesión de distribuciones a distancias crecientes de una rendija única. Fresnel abajo(cercano) desplazándose hacia Fraunhofer arriba (lejos)

Deducción de la fórmula integral de difracción de Fraunhofer.

Véase Optica: Integral de Kirchhoff - Fresnel para más detalles.

Utilizando la fórmula integral de F-K se puede obtener la difracción de Fraunhofer como sigue. Tenemos entonces:

$\Psi(P)=-\frac{ik \Psi_0}{ 4\pi}\int_{\sum }^{}{\frac{e^{ikr}e^{ikr'}}{r r'}[cos(r,n)+1] dA}.$

Sustituyendo que $k=\frac{2\pi}{\lambda}$

$\Psi (P)=-{\frac {i\Psi _{0}}{2\lambda }}\int _{\sum }^{}{{\frac {e^{ikr}}{r}}[cos(r,n)+1]dA}.$

Si confinamos la atención a la región angular en la vecindad de la apertura normal, entonces a ángulos pequeños tenemos que:

$\Psi (P)=-{\frac {i\Psi _{0}}{\lambda }}\int _{\sum }^{}{{\frac {e^{ikr}}{r}}dA}.$

Figura 2.1 Sistema coordenado para la difracción de Fraunhofer

Considerando la situación de la figura el cual la onda plana es incidente a la normal de una apertura arbitraría. Escogemos un sistema coordenado con el origen colocado en algún punto dentro de la abertura. El punto P tiene coordenadas rectangulares $(x,y,z)$. Las variables de integración sobre la abertura son escogidas como ξ, η, tal que

$dA=d\xi d\eta .$

La distancia del punto variable de la integración (ξ, η) al punto (x, y ,z) es r :

$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+z^{2}.$

La distancia del origen de $P$ es $R$, donde:

$R^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Por lo tanto

$r^{2}=R^{2}-2(x\xi +y\eta )+(\xi ^{2}+\eta ^{2}).$

Por conveniencia usaremos los cosenos directores del vector $R$

$\alpha \equiv \frac{x}{R} ; \beta \equiv \frac{y}{R}.$

Entonces nos queda de la forma

$r=R[1-\frac{2(\alpha \xi +\beta \eta )}{R}+\frac{\xi ^{2}+\eta ^{2}}{R^{2}}]^{1/2}.$

Ahora, ya que la distancia $R$ al punto de observación se asume muy grande, el segundo y tercer término de la ecuación anterior son considerados muy pequeños. Expandiendo con el binomio de Newton obtenemos la expresión para $r$ que puede ser utilizada en la integral de $F-K$ para difracción de Fraunhofer:

$r\cong R[1-\frac{\alpha \xi +\beta \eta }{R}+\frac{\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2R^{2}}+...].$

$\cong R-(\alpha \xi+\beta \eta )+\frac{\xi^{2}+\eta^{2}}{2R}+...$

Se ha asumido $x,y\ll R$ y $ \xi ,\eta \ll R $ , tal que el segundo y tercer término en la expresión anterior son de segundo orden muy pequeños. Consecuentemente el denominador $r$ en la integral para la difracción de Fraunhofer es bien aproximado con R y puede salir de la integral. Sin embargo, los términos en la expansión de $r$, pueden ser despreciados en la exponencial de la integral sólo si su producto con k es muy pequeño comparado con $2\pi$.

Pongamos que $d\geq 2(\xi ^{2}+\eta ^{2})^{1/2}$ sea la máxima dimensión de la apertura. Entonces el tercer término de $r$ se puede despreciar en el límite de Fraunhofer que es:

$k{\frac {d^{2}}{8R}}\ll 2\pi$

o de la forma

${\frac {d^{2}}{8\lambda }}\ll R.$

La difracción de Fraunhofer es usualmente observada en la práctica cuando el sistema óptico es removido el punto de observación a un punto óptico infinito. Si el punto de observación está muy cerca de la apertura, ya no se permite entonces despreciar los términos de ${\frac {\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2R^{2}}}$. La difracción sobre esta condición se llama Difracción de Fresnel.

Para el caso de la difracción de Fraunhofer tenemos que aproximadamente:

$r=R-(\alpha \xi +\beta \eta ).$

Y la integral de Fraunhofer es la siguiente:

$\Psi (P)=-i{\frac {\Psi _{0}e^{ikR}}{\lambda R}}\int _{\sum }^{}{e^{-ik(\alpha \xi +\eta \beta )}d\xi d\eta }.$

Rendija Infinita.

Si la apertura de σ es una larga e infinita rendija de ancho 2a en la dirección de ξ. Como se muestra en la figura 3.1, entonces la integral de difracción es:

Figura 3.1 Sistema coordenado utilizado para un rendija infinita

$\Psi (P)=C\int _{-a}^{a}{e^{-ik\alpha \xi }d\xi }$

Donde la constante $C$ incluye el coeficiente de la integral general vista anteriormente y también incluye la constante de la contribución sobre $\eta$. Así

$\Psi (P)=C{\frac {i}{k\alpha }}e^{-ik\alpha \xi }|_{-a}^{a}=i{\frac {C}{k\alpha }}(e^{-ik\alpha a}-e^{ik\alpha a})={\frac {2C}{k\alpha }}\sin k\alpha a.$

Figura 3.2 Difracción de la luz en varias direcciones

La intensidad o irradiancia es por lo tanto

$I(P)=|\Psi (P)|^{2}=4C^{2}a^{2}({\frac {\sin \phi }{\phi }})^{2}.$

Cuando $\theta =0$ y $I(\theta )=I(0)$, lo que corresponde al máximo principal. Así que la irradiancia en la aproximación de Fraunhofer esta dada por

$I(\theta )=I(0)({\frac {\sin \phi }{\phi }})^{2}.$

De donde podemos ver que cuando D>> $\lambda$, la irradiancia disminuye muy rápido conforme $\theta$ se desvia de cero. Véase figura 3.

Donde$\phi \equiv k\alpha a$. Nos damos cuenta que la variable $\phi$ es:

$\phi =k\alpha a=2\pi \sin \theta .$

Donde $\theta$ es el ángulo entre la normal de la apertura y la línea que conecta el punto medio de la apertura con el punto de observación, como se muestra en el figura 3.1 La mayoría de la intensidad del haz difractado es contenido en el centro máximo. La dispersión angular entre el mínimo de cada lado del punto central máximo es:

$\Delta \theta =2\sin ^{-1}{\frac {\lambda }{2a}}\cong {\frac {\lambda }{a}}$

Así, el patrón se volverá más difuso si la longitud de onda es incrementada o si la anchura de la rendija es reducida.

Figura 3.3 Distribución de Fraunhofer en el caso de la rendija infinita

Doble rendija.

Figura 4.1 Esquema del caso de doble rendija para la difracción de Fraunhofer

Ahora si aumentamos la complejidad de la situación añadiendo otra rendija como se muestra en la figura 4.1, tenemos que la integral de difracción de Fraunhofer es la siguiente suma de dos términos:

$\Psi (P)=C\int_{-d-a}^{-d+a}{e^{-ik\alpha \xi } d\xi }+C\int_{d-a}^{d+a}{e^{-ik\alpha \xi } d\xi }.$

Los términos ya integrados pueden ser agrupados de la siguiente manera

$\Psi (P)=-{\frac {2C}{k\alpha }}[\sin k\alpha (d-a)-\sin k\alpha (d+a)].$

Expandiendo los términos del seno y simplificando, obtenemos

$\Psi (P)={\frac {4C}{k\alpha }}\sin k\alpha a\sin k\alpha d.$

La intensidad es por lo tanto dada por

$I(P)=14C^{2}a^{2}({\frac {\sin \phi }{\phi }})^{2}\cos ^{2}\delta .$

Donde $\phi \equiv k\alpha a$ y $\delta \equiv k\alpha d$. El patrón de difracción es como si fuera una sola rendija, pero multiplicado por un factor de 4 (para un sistema de N rendijas igualmente espaciadas, el centro máximo es aumentado por un factor de $N^{2}$ por sobre una sola rendija) y modulada por el término $cos^{2}\delta$. Esto es, que la envolvente de un patrón de doble rendija es solamente el patrón de una sola rendija. Notamos que si a se vuelve muy pequeño comparado con d, el término $({\frac {\sin \phi }{\phi }})^{2}$ se mantendrá esencialmente constante para muchas oscilaciones en el término de $cos^{2}\delta$. Justo como en el caso del experimento de Young.

Figura 4.2 Distribución de Fraunhofer para una rendija única (arriba) y un doble rendija (abajo)

Apertura Rectangular.

Consideramos la configuración de la figura 5.1 en tres dimensiones la cual puede verse de una forma mas simple si rotamos los ejes y solo vemos el perfil del eje $y$ como en figura 5.2, en donde tenemos una onda plana monocromática que se propaga en el eje $x$ e incide en una pantalla que contiene una

Figura 5.1 Esquema del caso de una apertura rectangular para la difracción de Franhofer

Figura 5.2 Esquema donde una onda monocromatica plana se propaga en el eje x

abertura de forma arbitraria .Deseamos calcular la distribución de la densidad de flujo correspondiente al campo lejano en un punto P distante arbitrario.

De acuerdo con el Optica: Principio de Huygens-Fresnel un área diferencial $dS$ de la apertura puede visualizarse como cubierta de fuentes puntuales secundarias coherentes. Tomando que $dS$ es mas pequeña que $\lambda$ tal que todas las contribuciones en el punto P permanecen en fase interfiriendo constructivamente.

• Si $\varepsilon _{A}$ es la intensidad de la fuente por unidad de área, suponiendo que es constante en toda la abertura
• La perturbación óptica en P debida a $dS$ es

$dE={\frac {\varepsilon _{A}}{r}}e^{\imath (\omega t-kr)}dS.$

La distancia de $dS$ a $P$ es

$r=[X^{2}+(Y-y)^{2}+(Z-z)^{2}]^{\frac {1}{2}}.$

Donde tomamos en cuenta la figura 5.2 y posteriormente una figura similar para el perfil del eje z.

Como la condición de Fraunhofer se satisface para $r$ muy grande, además si la abertura es muy pequeña remplazamos $r$ por $R$ y hacemos una aproximación para la fase

$R=[X^{2}+Y^{2}+Z^{2}]^{\frac {1}{2}}.$

entonces

$r=R[1+{\frac {(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}}-{\frac {2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}}]^{\frac {1}{2}}.$

Para el campo lejano $R$ es muy grande comparado con las dimensiones de la apertura y el termino

$R={\frac {(y^{2}+z^{2})}{R^{2}}}\simeq 0.$

Por lo cual

$r=R[1-{\frac {2(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}}]^{\frac {1}{2}}.$

Y mediante una expansión binomial obtenemos.

$r=R[1-{\frac {(Yy+Zz)^{2}}{R^{2}}}].$

Por lo tanto la perturbación total que llega a $P$ es

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{\sum }^{}{e^{\imath k(Yy+Zz)/R}}dS.$

Consideramos ahora la configuración de la figura 5.3 con lo cual la ecuación para el campo se puede escribir como

Figura 5.3 Configuración para la integral del campo eléctrico

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{-b/2}^{b/2}e^{\imath kYy/R}dy\int _{-a/2}^{a/2}e^{\imath kZz/R}dz.$

Si definimos $\beta ={\frac {kby}{2R}},\qquad \alpha ={\frac {kaz}{2R}}$ obtenemos

$\int _{-b/2}^{b/2}e^{\imath kYy/R}dy={\frac {R}{\imath kY}}(e^{\imath kYb/2R}-e^{-\imath kYb/2R})={\frac {2R}{kY}}\sin({\frac {bkY}{2R}})=b{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.$

$\int _{-a/2}^{a/2}e^{\imath kZz/R}dz={\frac {R}{\imath kZ}}(e^{\imath kZa/2R}-e^{-\imath kZa/2R})={\frac {2R}{kY}}\sin({\frac {akZ}{2R}})=a{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}.$

Por lo tanto

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}A({\frac {\sin \beta }{\beta }})({\frac {\sin \alpha }{\alpha }}).$

Como $I=<(Re){\tilde {E}}>_{T}$

$I(Y,Z)=I(0)({\frac {\sin \beta }{\beta }})({\frac {\sin \alpha }{\alpha }}).$

Donde $I(0)$ es la Irradiancia en $P_{0}$

En valores de $Y,Z$ tales que $\alpha ,\beta$ sean cero $I(Y,Z)$ adquiere la forma de la difracción de una rendija

Figura 5.4 Distribución de campo lejano de una apertura cuadrada

Figura 5.5 La misma distribución de la figura 8, pero a color

Figura 5.6 Distribución de la irradiancia para una apertura cuadrada

Podemos modelar algunos patrones de difracción rectangular en esta pagina

Apertura Circular.

Figura 6.1 Configuración para una apertura circular para la difracción de Fraunhofer

• Ahora consideramos nuevamente la figura 6.1 solo que en esta ocasión la apertura es circular.
• Las aberturas circulares son muy importantes para el estudio de la instrumentación óptica.
• Retomando nuevamente la expresión de la perturbación óptica en P para la abertura arbitraria en el caso del campo lejano

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{\sum }^{}{e^{\imath k(Yy+Zz)/R}}dS.$

La simetría del problema sugiere el uso de coordenadas esféricas tanto en el plano de la apertura como en el plano de observación

$z=\rho \cos \varphi ,Z=q\cos \phi .$ $y=\rho \sin \varphi ,Y=q\sin \phi .$

Entonces sustituyendo en la expresión de la rendija arbitraria

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{\rho =0}^{a}\int _{\varphi =0}^{2\pi }e^{(\imath k\rho q/R)\cos(\varphi -\phi )}\rho d\rho d\varphi .$

Por la simetría axial la solución es independiente de $\phi$

$\int _{\varphi =0}^{2\pi }e^{(\imath k\rho q/R)\cos(\varphi )}d\varphi .$

Esta ultima ecuación es una función única que no puede reducirse otra forma más corriente, como funciones hiperbólicas exponenciales o trigonométricas

La cantidad

$J_{0}(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\imath u\cos v}dv.$

Se denomina función de Bessel de primera especie y orden cero

En general

$J_{m}(u)={\frac {\imath ^{-m}}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\imath (mv+u\cos v)}dv.$

Representa la función de Bessel de orden m

Si

$u={\frac {k\rho q}{R}}$.

Podemos escribir

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{0}^{a}J_{0}({\frac {k\rho q}{R}})\rho d\rho .$

Otra propiedad de la funciones de Bessel es la relación de recurrencia

${\frac {d}{du}}[u^{m}J_{m}(u)]=u^{m}J_{m-1}(u).$

Con $m=1$

$\int _{0}^{u}u\prime J_{0}(u\prime )du\prime =uJ_{1}(u).$

Entonces si nombramos a $w$ como $w={\frac {k\rho q}{R}}\quad$

obtenemos

$\qquad dw={\frac {kq}{R}}d\rho ,\qquad d\rho ={\frac {R}{kq}}dw\qquad \rho ={\frac {wR}{kq}}.$

Mediante la regla de recurrencia tenemos

${\tilde {E}}={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}2\pi a^{2}({\frac {R}{kaq}})J_{1}({\frac {kaq}{R}}).$

Y la irradiancia en P es ${\frac {1}{2}}{\tilde {E}}{\tilde {E}}^{*}$

$I=2({\frac {\varepsilon _{A}}{R}}A)^{2}[{\frac {J_{1}({\frac {kaq}{R}})}{\frac {kaq}{R}}}]^{2}.$

Para calcular la irradiancia en el centro ponemos $q=0$ Y usando la ley de recurrencia.

Verificamos que

$\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {J_{1}(u)}{u}}={\frac {1}{2}}.$

La irradiancia en $P_{0}$ es

$I(0)={\frac {\varepsilon _{A}^{2}}{2R^{2}}}A^{2}.$

Que es el mismo resultado que la apertura rectangular

Figura 6.2 Disco de Airy

Como $\sin \theta =q/r$, la irradiancia se puede escribir como función de $\theta .$

$I=I(0)[{\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}]^{2}.$

El máximo central corresponde al llamado disco de Airy, figura 6.2

Si derivamos respecto a la distancia q obtenemos la condición para los mínimos y máximos

${\frac {dI}{dq}}=-2I(0)u/q[{\frac {J_{1}(u)}{u}}][{\frac {J_{2}(u)}{u}}]=0.$

El primer mínimo corresponde al primer cero de la función $J_{1}(0).$

Podemos calcular la distancia del centro de la distribución a los máximos y mínimos, con $u=3.83$.

${\frac {kaq}{R}}=3.83\qquad q_{1}={\frac {1.22R\lambda }{D}}.$

Los máximos secundarios ocurren para $J_{2}=0.$

Figura 6.3 Distribución de campo lejano de una apertura circular

Figura 6.4 Distribución para difracción de rayos X

Figura 6.5 Distribución de la irradiancia para una apertura circular

Podemos modelar algunos patrones de difracción circular en esta pagina

Métodos de Fourier.

La transformada de Fourier aporta una percepción diferente y hermosa del mecanismo de difracción de Fraunhofer

Partimos de la ecuación

${\tilde {E}}(Y,Z)={\frac {\varepsilon _{A}e^{\imath (\omega t-kR)}}{R}}\int _{\sum }{}{e^{\imath k(Yy+Zz)/R}}dS.$

• La cantidad R es la distancia del centro de la apertura.
• si nos limitamos a una pequeña región $R$ puede considerarse constante.
• $\varepsilon _{A}$ no es necesariamente invariante.
• Las variaciones en $\varepsilon _{A}$ y la constante multiplicativa pueden combinarse en una sola cantidad compleja.

${\mathcal {A}}(y,z)={\mathcal {A}}_{0}(y,z)e^{\imath \phi (y,z)}$.

Denominada función de abertura.

Con esto podemos reescribir la ecuación anterior

${\tilde {E}}(Y,Z)=\int \int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {A}}(y,z)e^{\imath k(Yy+Zz)/R}dydz.$

Está función de apertura equivale a poner una función que indique la geometría de la apertura, por lo tanto los límites de la integral pueden extenderse hasta $\pm \infty$, ya que la función es no nula únicamente en la región de la abertura. Por ejemplo si tenemos una apertura cuadrada ponemos una función cuadrada e integramos en el espacio de menos infinito a infinito. Esto puede resultar muy útil cuando tratamos de indicar que la apertura es más opaca en las orillas que en el centro ya que podemos usar una función de apertura Gaussiana.

Definimos la frecuencias espaciales

$K_{y}=kY/R=k\sin \phi =k\cos \beta \quad K_{z}=kZ/R=k\sin \theta =k\cos \gamma .$

El campo difractado puede ahora escribirse como

${\tilde {E}}(K_{y},K_{z})=\int \int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {A}}(y,z)e^{\imath k(K_{y}y+K_{z}z)/R}dydz.$

Ahora tenemos que la distribución del campo en la figura de difracción de Fraunhofer es la Transformadas de Fourier de la distribución del campo sobre la abertura

Simbólicamente

$E(K_{y},K_{z})={\mathcal {F}}{{\mathcal {A}}(y,z)}.$

La distribución del campo en el plano imagen es el espectro de frecuencia espacial de la función de la abertura. Entonces

${\mathcal {A}}(y,z)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \int _{-\infty }^{\infty }E(K_{y},K_{z})e^{\imath k(K_{y}y+K_{z}z)/R}dydz.$

o

${\mathcal {A}}(y,z)={\mathcal {F}}^{-1}E(K_{y},K_{z}).$

Conceptos Importantes

Figura 7.1 Esquema de la difracción de Fraunhofer de una sola rendija

Si ${\mathit {k}}<<1,\lambda >>0$

El ancho del pico cuadrado $2\lambda /a$ puede ser cualquier fracción de la longitud de onda total, dependiendo de a. Si estuvieramos sintetizando la fracción correspondiente del tiempo f(t) con un pico cuadrado de ancho 2 $\tau /a$ la misma expresión se aplicaría donde Kx se reemplazaría por $\omega t$

$\omega$ se conoce como frecuencia fundamental y a $2\omega ,3\omega ,...$ como armónicas de la fundamental

Si el ancho del pico se reduce, el número de términos que se necesitan en la serie para producir el mismo parecido general a f(x) aumentará.

Hacer el pico más angosto tiene el efecto de introducir armónicas de más alto orden, las que a su vez tienen longitudes de onda más pequeñas.

$\lambda$ (cm)	K	a
1	2$\pi$	4
2	$\pi$	8
4	$\pi /2$	16

El ancho del pico permanece inalterado (1/4).

Observe que la densidad de componentes a lo largo del eje mK ha aumentado. No obstante A(mK) es cero aún cuando m=4$\pi$,8$\pi$,12$\pi$,...

El pulso comparado con $\lambda$ se está haciendo más y más pequeño, por lo tanto requiere de energías más altas para sintetizarlo.

Aunque formada de términos discretos, en el límite Km será transformada en K, es decir, una distribución continua de frecuencia.

Si el pico es infinito la función ya no es periódica y se obtiene la Integral de Fourier.

La transformada de Fourier y difracción de una sola rendija. F(x) representa la función de apertura de una rendija de difracción y $A_{n}$ amplitud de luz de cada ranura en las direcciones $\pm$θ

$A_{n}={\frac {ha}{D}}\left[{\sin \left({\frac {\pi na/D}{\pi na/D}}\ \right)}\right].$

Si: $D\sin \theta =n\lambda .$

En el que u=n\D es restringido a valores especificos dados por

$D\sin =n$ da la condición para un máximo en la rejilla

Una función δ es movida del orígen a una posición $X_{1}$ es expresada como $f(x)=\delta (X-X_{1}).$

f(x)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {A_{n}}{2}}\cos {\frac {2\pi nx}{D}}.$

La condición para un máximo en la rendija es $D\sin \theta =n\lambda$

que en términos de u queda entonces como:

$A_{n}={\frac {ha}{D}}{\frac {\sin 2\pi ua}{2\pi ua}}.$

Cuando $D\to \infty$

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F(u)\cos 2\pi ux\,du.$

Podemos decir que el patrón de difracción de una simple rendija son las Transformadas de Fourier de la función de apertura de la ranura .

F(u) esta dado por:

$F(u)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos 2\pi ux\,du.$

F(u) puede identificarse directamente como la amplitud de la luz difractada en una sola rendija con la tranformada de Fourier.

La función δ de Dirac estara definida como la forma limite de una función rectángulo.

Si a = 0 F(u) esta en infinito

lím F(u)= ha.

Uno esperaría un patrón de difracción suave

$\lambda (x)={\begin{cases}hu&u=0\\0&u\neq 0\end{cases}}$

Una función δ mueve el origen a alguna posición $X_{1}$ $f(x)=\delta (X-X_{1}).$

Un arreglo múltiple en 1 dimensión $u={\frac {\sin \theta }{\lambda }}={\frac {n}{D}}$

Si hay varias deltas a lo largo del eje $x$ n ranuras, esto debe alterar la fase por medio del patron de difracción.

La distribución de deltas a lo largo de la rendija es un ejemplo de convolución, la convolución ocurre cuando una entrada continua es procesada para dar una señal de salida.

--Marisol 21:12 2 sep 2008 (CDT)

--mfg-wiki (discusión) 16:07 1 oct 2015 (CDT)

--Tania Buendía (discusión) 23:35 24 nov 2015 (CST)

Véase también

Optica: Integral de Kirchhoff - Fresnel

Integral de Fourier

Optica: Principio de Huygens-Fresnel

Transformadas de Fourier

Referencias

[1] Classical Electromagnetic Radiation, Jerry B. Marion, 2da edición, Harcourt College Pub, 1980.

[2] Introduction to Modern Optics, Grant R. Fowles, 2da edición, Dover Publications Inc, 1990.

[3] Óptica, Eugene Hecht, 3ra edición, Addison Wesley Iberoamericana, 2000.

[4] Principles of optica, Max Born y Emil Wolf, 5ta edición, Pergamon Press, 1975.