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[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 09:27 18 nov 2018 (CST)
La ecuación (9.53) es:
<math>
\tilde{E}_t = E_0 e^{i \omega t} \left[\dfrac{t t'}{1-r^2 e^{-i \delta}}\right]
</math>
 
donde <math>E_0</math> es la amplitud de la onda, <math>tt' = 1-r^2</math> y <math>\delta=k_0 \Lambda = k_0 m \lambda</math> es una contribución a la fase que proviene de la diferencia de caminos ópticos entre los haces incidentes.
 
Para obtener la intensidad de flujo transmitido debemos multiplicar <math>\tilde{E}_t</math> por su conjungado que es
 
<math>
\tilde{E}^*_t = E_0 e^{-i \omega t} \left[\dfrac{t t'}{1-r^2 e^{i \delta}}\right]
</math>
 
y por ello
 
<math>
I_t = E_0 E_0 e^{i \omega t} e^{-i \omega t} \left[\dfrac{t t'}{1-r^2 e^{-i \delta}}\right] \left[\dfrac{t t'}{1-r^2 e^{i \delta}}\right] = E_0^2 \left[\dfrac{(t t')^2}{\left(1-r^2 e^{-i \delta}\right)\left(1-r^2 e^{i \delta}\right)}\right] = E_0^2 \left[\dfrac{(t t')^2}{1-r^2 e^{i \delta} - r^2 e^{-i \delta} + r^4}\right] = E_0^2 \left[\dfrac{(t t')^2}{(1+r^4) - r^2 \left(e^{i \delta} + e^{-i \delta}\right)}\right]
</math>
 
En el denominador podemos reducir la suma de términos exponenciales utilizando la identidad
 
<math>
\cos x = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix} }{2} \Rightarrow 2 \cos x = e^{ix} + e^{-ix}
</math>
 
la cual nos lleva a
 
<math>
I_t = E_0^2 \left[\dfrac{(t t')^2}{(1+r^4) - 2 r^2 \cos \delta}\right]
</math>
 
Y sabiendo que
 
<math>
I_i = \dfrac{E_0^2}{2}
</math>
 
obtenemos finalmente
 
<math>
I_t = 2I_i \left[\dfrac{(t t')^2}{(1+r^4) - 2r^2 \cos \delta}\right]
</math>
 
'''Nota:''' En la 3a edición del libro el resultado se queda hasta antes de utilizar la identidad para el coseno. En la 5a edición se llega a
 
<math>
I_t = I_i \left[\dfrac{(t t')^2}{(1+r^4) - 2r^2 \cos \delta}\right]
</math>
 
que difiere en un factor de 2 con el resultado aquí obtenido
 
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 10:53 18 nov 2018 (CST)
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Revisión del 11:53 18 nov 2018

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9


Ejercicio 9.1

Regresando a la sección 9.1, sean & donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y & son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:

..... (9.109)

Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas


Solución

Sea que un campo es la superposición de los campos & , esto es:

Entonces:

Tomemos el operador lineal promedio temporal sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:

donde siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que .

Nos interesa el término

Sin embargo, la física se encuentra en la parte real de los campos & , es decir:

.

Pero sabemos que la parte real de un número complejo se puede escribir como . Así:

. Por lo que:

.

Pero

siempre que ó que son los rangos que estamos considerando a la hora de evaluar los valores promedio de las cantidades anteriores.

Lo mismo sucede con la cantidad . Por lo que obtenemos:

.

Por fin, es inmediato ver que, para ondas planas:

Por lo que: . Hagamos , obteniendo así:

que es precisamente la ecuación 9.11.


Diego de la Cruz López



Problema 9.46

A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de m parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}

Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d

Solución:



--Fernando Valencia Hernández



Problema 9.21

Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :

(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo en la Fig. 9.11c para obtener:

(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:

(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si es igual en a es requerido que


Solución:


La formula para la ley del coseno es:


Aquí, es la hipotenusa del triangulo y son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo


(a) En la figura dada, la hipotenusa del triangulo es la longitud del lado adyacente del triangulo es , y la longitud del lado opuesto del triangulo es.

En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo es,

De la ley del coseno:

De lo anterior podemos ver que :

sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando tenemos :


Ahora despejenado tenemos:


Por lo tanto, el valor de es

(b)

De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:

Error al representar (error de sintaxis): f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }

Aplicando la serie de Maclaurin a


Por lo tanto el valor de es

(c)

La contribución

A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si,

Por lo tanto podemos ver que

--Ruben Espinosa Guzman


Problema 9.48

Uno de los espejos de un Interferómetro de Michelson se mueve, y 1000 pares de franjas se desplazan más allá de la raya de un telescopio de observación durante el proceso. Si el dispositivo está iluminado con una señal de 500 nm, ¿qué distancia se movió el espejo?

Solución

Tenemos los siguientes datos:

Longitud de onda de la luz

Numero de franjas desplazadas

En el interferometro de Michelson se tiene que:

Donde , es el desplazamiento de un espejo de un interferometro de Michelson:

--Luis Gutiérrez Melgarejo



Ejercicio 9.44


Se observan anillos de Newton en una película con cuasimonocromaticos que tiene una longitud de onda de 550 nm. Si el vigésimo anillo brillante tiene un radio de 1 cm, ¿cual es el radio de curvatura de la lente que forma parte del sistema interferente?


Solución


La longitud de onda de la luz casi monocromatica


Radio de 20 anillo brillante


Radio del anillo brillante


....(1)


Donde:


R=Radio de curvatura de la lente convexa


= Indice de refracción del medio entre superficie plana óptica y lente convexa. Aquí el medio es el aire


Desde:










El radio de curvatura de la lente es


--Enrique Ortiz Martinez


Problema 9.26

En el espejo doble de Fresnel s = 2 m, = 589 nm, y se encontró que la separación de las franjas era de 0.5 mm. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de los espejos, si la distancia perpendicular de la fuente puntual real a la intersección de los dos espejos es 1 m?


Solución: La separación de las franjas de fresnel esta dada:

.......(1)

Aquí, es la separación entre las fuentes de imagen y la pantalla es la separación entre dos fuentes de imagen.

El angulo a dos fuentes de imagen desde el punto de intersección de los espejos es 2, cuando los espejos forman un ángulo , Así que:

.........(2)

Sustituyendo (2) en (1):

....(3)

La longitud de onda y la separación de las franjas de la luz es en metros:

Sustituyendo las anteriores expresiones y = 2m y = 1m, en (3):

Error al representar (error de sintaxis): \alpha ={ 0.067°\quad \quad }

Por lo tanto el ángulo de inclinación de dos espejos es:

Error al representar (error de sintaxis): \alpha ={ 0.067°\quad \quad }



--Luis Manuel Chávez Antonio


Problema 9.24


Imagínese que tenemos una antena a la orilla de un lago recogiendo una señal de una radio estrella lejana que esta apareciendo horizontalmente en ese momento. Escriba las expresiones para \deltay para la posición angular de la e strella cuando la antena detecta su primer máximo.


Solución:
Estamos hablando de un interferometro de division del frente de onda llamado espejo de Lloyd, ya que el lago es una superficie reflectora. 

Entonces:

Sabemos que para este interferometro $ \delta = k(r_1 - r_2) \pm \pi$

Realizando los calculos se obtiene

$r_1 = a/2 sin \alpha $
$r_2 = sin(90$$°$$ -2 \alpha) a/2 sin\alpha$

Por lo tanto

$ \delta=(a/2 sen\alpha-[sen(90° -2 \alpha)]a/1sen\alpha +\pi) \\ \\

\delta = ka(1+cos2\alpha)/2sen\alpha + \pi $

Los maximos ocurren cuando $\delta = 2\pi $ entonces


--Flor Ivon Vivar



Ejercicio 9.55

Para satisfacer algunos detalles de la deducción del incremento de fase más pequeño separado por dos franjas de Frabry-Perot resolubles , es decir:

$( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$

teniendo en cuenta que :

$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$

a)Demuestre que la ecuación :

$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} $

Puede reescribirse de nuevo como :

$2[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}} = 0.81 \left(1+ [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right)$


b)Cuando $F$ es grande y $\gamma$ pequeña, y $ \sin \left( \Delta \delta \right) = \Delta \delta $ . Demuestre que entonces se obtiene :

$( \Delta \delta) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F} }$


Solución :

Para el inciso a) comenzamos tomando la ecuación :

$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}}$

Si sustituimos el valor de $\delta$ en cada una obtenemos:


$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_a}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )} + \frac{1}{1+F \sin^2 ( \frac{\delta_b}{2} + \frac{\Delta \delta}{4} )}$

Antes de sumarlas notamos que el resultado se simplifica si tomamos en cuenta que :

$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \frac{\Delta \delta}{2}}$

Ahora sin las contribuciones de $ \frac{\delta_a}{2}$ y $ \frac{\delta_b}{2}$:


$[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_a \pm \frac{\Delta \delta}{2}} + [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\delta_b \pm \frac{\Delta \delta}{2}} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$

Por lo tanto :

$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} = \frac{2}{1+F \sin^2 ( \frac{\Delta \delta}{4})} = 2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}$


Y a su vez $\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }} $ se puede reescribir como:


$\left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a} x}}{I_{a m \acute{a}x }}= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \frac{I_{t m \acute{a}x } + I'}{ I _{a m \acute{a}x }}$ $= \left(\frac{8}{\pi^2} \right) \left( 1 +\frac{ I'}{ I _{a m \acute{a}x }} \right)$


En este caso $\frac{ I' }{ I _{a m \acute{a}x }} = [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta}$ y sustituyendo eso y el valor numérico de $\frac{8}{\pi^2}$ obtenemos:

$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta =\frac{\Delta \delta}{2}}= 0.81 \left(1+[\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta = \Delta \delta} \right) $

Para el inciso b) :

Necesitamos la expresión explicita de $2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta}$ :

$2 [\mathscr{A} (\theta) ]_{\delta} = \frac{2}{1+F \sin^2( \frac{\Delta \delta}{2})}$

Si aproximamos $\sin \frac{\Delta \delta}{2} \approx =\frac{\Delta \delta}{2} $ entonces:

$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(1+ \frac{1}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right) $


$\frac{2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } = 0.81 \left(\frac{1+ 1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2}{1+F( \frac{\Delta \delta}{2})^2 } \right)$


$F^2 (\Delta \delta)^4-15.5 F (\Delta \delta)^2 -30=0 $


Resolvemos para $(\frac{\Delta \delta}{2})$ y nos quedamos con la solución positiva y real

$(\frac{\Delta \delta}{2}) = 4.1521 \sqrt{\frac{1}{F}}$


$(\frac{\Delta \delta}{2}) \approx \frac{4.2}{\sqrt{F}}$

Aurea Espin (discusión) 21:38 17 nov 2018 (CST)


Ejercicio 9.53

Comenzando con la ecuación (9.53) para una onda transmitida, calcule la densidad de flujo, es decir, obtenga la ecuación (9.54).

Solución:

La ecuación (9.53) es:

donde es la amplitud de la onda, y es una contribución a la fase que proviene de la diferencia de caminos ópticos entre los haces incidentes.

Para obtener la intensidad de flujo transmitido debemos multiplicar por su conjungado que es

y por ello

En el denominador podemos reducir la suma de términos exponenciales utilizando la identidad

la cual nos lleva a

Y sabiendo que

obtenemos finalmente

Nota: En la 3a edición del libro el resultado se queda hasta antes de utilizar la identidad para el coseno. En la 5a edición se llega a

que difiere en un factor de 2 con el resultado aquí obtenido

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 10:53 18 nov 2018 (CST)