Diferencia entre revisiones de «Optica: Capitulo7-problemas»

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[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 19:43 5 nov 2018 (CST)
y nos da la amplitud de la onda resultante, calculando para nuestro caso tenemos
 
<math>
E_0^2 = E_{01}^2 + E_{01}^2 + 2 E_{01}^2 cos\left[-kx+k(x+\Delta x)\right] = 2 E_{01}^2 + 2E_{01}^2 cos(k \Delta x) = 2E_{01}^2 \left[1+cos(k\Delta x)\right] = 4 E_{01}^2 cos^2 \left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right)
</math>
 
donde se ha utilizado la identidad trigonométrica
 
<math>
cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1 + cos x}{2}
</math>
 
Ahora para calcular la fase de la onda resultante utilizamos la ecuación 7.10 que es
 
<math>
tan \alpha = \dfrac{E_{01} sen \alpha_1 + E_{02} sen \alpha_2}{E_{01} cos \alpha_1 + E_{02} cos \alpha_2}
</math>
 
y en nuestro caso
 
<math>
tan \alpha = \dfrac{E_{01} sen[-k(x+\Delta x)] + E_{01} sen(-kx)}{E_{01} cos[-k(x+\Delta x)] + E_{01} cos(-kx)} = \dfrac{sen[-k(x+\Delta x)] + sen(-kx)}{cos[-k(x+\Delta x)] + cos(-kx)}
</math>
 
y definiendo <math>\eta \equiv -k(x+\Delta x)</math> y <math>\theta \equiv -kx</math> tenemos
 
<math>
tan \alpha = \dfrac{sen \eta + sen \theta}{cos \eta + cos \theta} = tan \left(\dfrac{\eta + \theta}{2}\right)
</math>
 
donde la igualdad final se cumple gracias a una identidad trigonométrica, por lo que la fase de la onda resultante será
 
<math>
\alpha = \dfrac{\eta + \theta}{2} = -k \left[x + \dfrac{\Delta x}{2}\right]
</math>
 
Y la relación 7.11 es
 
<math>
E = E_0 sen (\omega t + \alpha)
</math>
 
por lo que nuestra onda resultante queda como
 
<math>
E = 4 E_{01}^2 cos^2 \left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right) sen \left[\omega t -k \left(x + \dfrac{\Delta x}{2}\right) \right]
</math>
 
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 21:00 5 nov 2018 (CST)
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===Ejercicio 7.29===
===Ejercicio 7.29===

Revisión del 22:00 5 nov 2018

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 7


Ejercicio 7.7

Utilizando las ecuaciones 7.9, 7.10 y 7.11 muestre que la resultante de las dos ondas

es

Error al representar (error de sintaxis): E = 2 E_{01} cos\left(\dfrac{k \Delta x}{2}\right) sen\left[\omega t - k\left(x+\dfrac{\Delta x}{2}\right)\right]

Solución:

De las ondas 1 y 2 tenemos que y . La ecuación 7.9 es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2 E_{01} E_{02} cos(\alpha_2 - \alpha_1)

y nos da la amplitud de la onda resultante, calculando para nuestro caso tenemos

donde se ha utilizado la identidad trigonométrica

Ahora para calcular la fase de la onda resultante utilizamos la ecuación 7.10 que es

y en nuestro caso

y definiendo y tenemos

donde la igualdad final se cumple gracias a una identidad trigonométrica, por lo que la fase de la onda resultante será

Y la relación 7.11 es

por lo que nuestra onda resultante queda como

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 21:00 5 nov 2018 (CST)


Ejercicio 7.29


La velocidad de propagación de una onda de superficie en un líquido de profundidad mucho mayor que viene dada por:

donde g = aceleración de la gravedad, = longitud de onda, = densidad, = tensión superficial. Calcule la velocidad de grupo de un pulso en el límite de longitud de onda larga (se denominan ondas de gravedad).

Solución:
Para longitudes de onda grandes, notemos que el segundo término de la suma dentro de la raíz es despreciable :
Entonces la velocidad de propagación de una onda de superficie se convierte en:
........(1)
EL número de onda esta dada,por:
................(2)
Sustituyendo la ecuación (2) en (1), la velocidad de propagación:
.................(3)
De la relación entre la velocidad de grupo y velocidad de propagación es:
.............(4)
Donde , es la velocidad de grupo.
De la ecuación (3):
Sustituyendo (3) en la última expresión:
..........(5)
Sustituyendo (5) en (4):
Reduciendo, tenemos que la velocidad de grupo es:
--Luis Manuel Chávez Antonio