Optica: Capitulo4-problemas

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Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 4, con el siguiente formato:


Problema 1

Planteamiento del problema

Solución


y su respectiva firma

--Gael



Ejercicio 4.45


Un rayo láser incide en la interfaz entre el aire y algunos dieléctricos de índice n. Para valores pequeños de muestre que , Usa esto y la ec. (4.42) para establecer que en una incidencia casi normal

Solución:
Tenemos los siguientes datos conocidos:
Indice de refracción del aire es: 1
Indice de refracción del dieléctrico es :
Ángulo de incidencia =
Ángulo de refracción =
Aplicando la ley de Snell:
Para valores pequeños de theta, tenemos las siguientes relaciones:
La Ecuación (1) se reduce:
De la última expresión tenemos:
Ahora ocupando la ecuación 4.42 y considerando muy pequeñas :
Haciendo la consideración:
ocupando , y sustituyendo en la ultima ecuación:
Factorizando
Reduciendo:
Finalmente tenemos:
--Luis Manuel Chávez Antonio



Ejercicio 4.64


Verifique que:


.........[4.49]


para en una interfaz de vidrio crown y aire


Solución:


Datos:

Angulo de incidencia = 30°

Indice de refracción del cristal = 1.52

Indice de refracción del aire = 1

Angulo de transmisión


Usando la ley de Snell obtenemos:






En angulo de transmisión sera:




El componente perpendicular del coeficiente de transmisión es:






Ahora, la componente perpendicular del coeficiente de reflexión es:





Al sumar los valores de y obtenemos:





Por lo tanto


--Enrique Ortiz Martinez



Ejercicio 4.21

Trace un gráfico de θ_i con respecto a θ_t para una frontera aire-vidrio donde . Discuta la forma de la curva.

Solución:

La ecuación de la refracción de Snell está dada por:

Error al representar (error de sintaxis): n_i sin⁡(θ_i )=n_t sin⁡(θ_t )

Pero n_i=1
Por lo tanto

Error al representar (error de sintaxis): n_i sin⁡(θ_i )=n_t sin⁡(θ_t )

Despejando θ_t se tiene que Error al representar (error de sintaxis): θ_t=sin^(-1)⁡(sin⁡θ_i /n_t )

En este caso se realizan cambios de 2 grados de diferencia, se tuvo la siguiente gráfica

Tablaejer421.jpeg

Podemos observar que a pesar que al comparar los ángulos, se puede apreciar que los valores tienden a un número que en este caso es aproximadamente 42°. Esto se podría interpretar como el ángulo máximo que puede tomar el haz, en este caso, en el agua.

Los datos están en el siguiente documento.

Datoseje421.jpg


--Fernando Valencia Hernández


Problema 4.72


Mostrar que:

Y

Solución:

La componente perpendicular de la transmitancia esta dada por:

Pero el coeficiente de amplitud de transmisión es:

Sustituyendo el valor calculado de en la Ec. , se obtiene:

De la ley de Snell

Sustituyendo el valor de de la Ec. en la Ec. , obtenemos:

Comprobando que:

Del mismo modo podemos proceder para el comportamiento paralelo de , se la siguiente manera:

El comportamiento paralelo de la transmitancia , se expresa como:

Pero sabemos que la amplitud del coeficiente de transmisión es:

Sustituyendo el valor de , en la Ec. , obtenemos:

De la Ec.

Comprobando que:


--Luis Gutiérrez Melgarejo



Problema 4.63


Prueba que para todo , primero de las condiciones de frontera y después de las ecuaciones de Fresnel.


Solucion:


Podemos notar que la continuidad de los componentes tangenciales de analizando cualquier limite en cualquier punto , el campo tangencial en el medio incidente es igual al del medio de transmisión.

Así obtenemos:




Dividimos cada término con el para obtener:




Sabemos que Amplitud del coeficiente de transmisión y también podemos notar que el cociente Amplitud del coeficiente de reflexión


Dado las dos aseveraciones anteriores podemos dar por echo entonces que:




Por lo tanto esta probado

Otro camino para la comprobación anterior es la siguiente:


Sabemos que el cociente de reflexión de amplitud es:



Y por otro lado el coeficiente de transmisión de amplitud es:





Utilizando la fórmula de suma y diferencia Bhaskara Acharya :






--Ruben Espinosa Guzmán



Ejercicio 4.68


muestra que los ángulos de polarización para la reflexión interna y externa en una interfaz dada son complementarios, es decir,

si el indice de refracción de las regiones incidente y transmitida es respectivamente y es el angulo de polarización, entonces

llamemos para la reflexion interna ....(1)

llamemos para la reflexion externa ....(2)

de las ecuaciones (1) y (2) obtenemos...

al multiplicar cruzado obtenemos:

si la suma de su angulo de polarización de la reflexión interna y el angulo de polarización externa son entonces complementarios.

el angulo de polarización de la reflexión interna y el angulo de polarización de reflexión externa son complementarios.

queda probado.

--Salvador Alejandro Morales Carranza



Ejercicio 4.51


Utilizando las ecuaciones de Fresnel, demuestre que :

$ r_{\perp} = \frac{ \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ \cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$

$r_{\parallel} = \frac{n_{ti}^2 \cos \theta_i - \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}{ n_{ti}^2\cos \theta_i + \sqrt{ n_{ti}^2 - \sin^2 \theta_i }}$

Solución:

Ejercicio 4.59

Utilice la ecuación 4.42 y la expansión en serie de la función seno para establecer que en una incidencia cercana a la normal podemos obtener una mejor aproximación que la del problema 4.45, que es