Optica: Capitulo2-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 2, con el siguiente formato:

Ejercicio 2.39

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Indique cuales de las siguientes ecuaciones representan a una onda viajera:

• $\psi (y,t) = exp\left[-\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right)\right]$

Solución: Para tener una onda viajera se debe tener una dependencia funcional de la forma:

$\psi = f(y \mp vt)$

donde $y$ será la dirección de propagación si el signo de $vt$ es negativo y $-y$ si el signo de $vt$ es positivo. Además

$v = \dfrac{\omega}{k}$

Notamos que dentro de la exponencial se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo que

$\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right) = \left(ay - bt\right)^2 = a^2 \left(y - bt/a\right)^2$

de donde concluimos que

* La onda es viajera con dirección de propagación $+y$

* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = b / a$

• $\psi (z,t) = A \sin \left(az^2 - bt^2\right)$

Solución: En este caso el argumento de la función seno tiene una dependencia funcional cuadrática en las coordenadas espaciales y temporales, por ello no tiene una dependencia funcional de la forma $f(z \mp vt)$ y no se trata de una onda viajera.

• $\psi (x,t) = A \sin 2\pi \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b} \right)^2$

Solución: Tenemos dentro de la función seno los términos $\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \left(x + \dfrac{at}{b}\right)^2$ y por ello

* La onda es viajera con dirección de propagación $-x$

* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = a / b$

• $\psi (x,t) = A \cos^2 2\pi \left(t-x\right)$

Solución: En este caso resulta simple ver que $(t-x) = - (x - t)$ y por ello

* La onda es viajera con dirección de propagación $+x$

* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = 1$

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:31 14 oct 2018 (CDT)

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3ra Edición en español

Ejercicio 2.21 3ra Edición en español

Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t), y=h(t)$, entonces

$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

Derive la ecuación (2.34)

$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$

Solución

Para una onda que se propaga con fase constante:

$\psi(x,t)=A \sin k(x\pm vt)$

con $\phi(x,t)=k(x\pm vt)=constante$

Cualquier punto de onda armónica con magnitud fija, se mueve de tal manera que $\phi(x,t)$ sea constante en el tiempo, i.e.,

$\frac{d}{dt}\phi(x,t)=0$ o de otra forma, $\frac{d}{dt}\psi(x,t)=0$.

Esto es cierto para toda clase de onda, periódica o no.

Así:

$\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{dt}{dt}$

$\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} (\pm v)+ \frac{\partial \psi}{\partial t} =0$

Conclusión

Despejando $\pm v$ se obtiene la expresión requerida:

$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$

donde el signo de $v$ depende del sentido de propagación de la onda.

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Realizado por: Sergio

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Ejercicio 2.45 5ta Edición en Ingles

Demostrar que la parte imaginaria de un número complejo ${\tilde {z}}$ está dada por $({\tilde {z}}-{\tilde {z}}^{*})/2i$.

Solución

El numero complejo z, tiene la siguiente forma: ${\tilde {z}}=x+iy$ Donde $x$, es la parte real y $y$ es la parte imaginaria del numero complejo $z$ también se tiene que el complejo conjugado del numero ${\tilde {z}}$ es ${\tilde {z}}^{*}=x-iy$ restando el complejo conjugado a el numero complejo ${\tilde {z}}$ antes definido se obtiene:

${\tilde {z}}-{\tilde {z}}^{*}=(x+iy)-(x-iy)=x+iy-x+iy=2iy$

Reorganizando la ecuación anterior para la parte imaginaria $y$, se tiene:

$y={\frac {{\tilde {z}}-{\tilde {z}}^{*}}{2i}}$

Por lo tanto la parte imaginaria de una numero complejo es:

${\frac {{\tilde {z}}-{\tilde {z}}^{*}}{2i}}$

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Realizado por: Luis Gutiérrez Melgarejo 22:13 15 oct 2018 Carlosmiranda (discusión) 23:16 27 oct 2020 (CDT)

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Ejercicio 2.48 5ta Edición en Ingles

Empezando por la ecuación (2.51), compruebe que:

$\psi (x,y,z,t)=Ae^{i[k(\alpha x+\beta y+\gamma z)\mp \omega t]}~~~$ y que $~~~\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$

Solución

La onda armónica plana en coordenadas cartesianas se expresa como::

$\psi (x,y,z,t)=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z\pm \omega t)}~~~~~~~~~~~(2.51)$

Si $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son los cosenos de dirección de ${\vec {k}}$ en las direcciones $x$, $y$ y $z$ respectivamente, entonces:

$k_{x}=k\alpha$

$k_{y}=k\beta$

$k_{z}=k\gamma$

Así, la ecuación (2.51) puede expresarse como:

$\psi (x,y,z,t)=Ae^{i[k\alpha x+k\beta y+k\gamma z\pm \omega t]}$

$\psi (x,y,z,t)=Ae^{i[k(\alpha x+\beta y+\gamma z)\pm \omega t]}$

La magnitud del vector de propagación ${\vec {k}}$ es:

$|{\vec {k}}|=k~~~~~~~~~~~(1)$

En términos de componentes, la magnitud de ${\vec {k}}$, es $|{\vec {k}}|$

$=(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})^{\frac {1}{2}}~~~~~~~~~~~~~~$

$=[(k\alpha )^{2}+(k\beta )^{2}+(k\gamma )^{2}]^{\frac {1}{2}}$

$=k[(\alpha )^{2}+(\beta )^{2}+(\gamma )^{2}]^{\frac {1}{2}}~~~~~$

$=k(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})^{\frac {1}{2}}~~~~~~~(2)$

De la ecuación (1) y (2):

$k(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})^{\frac {1}{2}}=k$

$(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})^{\frac {1}{2}}=1$

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$

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Realizado por: Enrique Ortiz Martinez 23:08 15 oct 2018 Carlosmiranda (discusión) 23:20 27 oct 2020 (CDT)

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Ejercicio 2.56 5ta Edición en Ingles

Mostrar explícitamente, que la función:: $\Psi \left({\overrightarrow {r}},t\right)=Aexp\left\lceil i\left({\overrightarrow {k}}\bullet {\overrightarrow {r}}+\varpi t+\epsilon \right)\right\rceil$ describe una onda siempre que: $v={\frac {\varpi }{k}}$

Solución

Empecemos escribiendo el vector k y el vector r, en coordenadas cartesianas:

${\overrightarrow {k}}={k}_{x}+{k}_{y}+{k}_{z}$:

${\overrightarrow {r}}={x}+{y}+{z}$

Haciendo el producto punto de K con r.

${\overrightarrow {k}}\bullet {\overrightarrow {r}}={k}_{x}{x}+{k}_{y}{y}+{k}_{z}{z}$

Sustituyendo en la función de onda:

$\Psi =Aexp\left[i\left({k}_{x}x+{k}_{y}y+{k}_{z}z+\varpi t+\varepsilon \right)\right]$

Tenemos que la ecuación de onda es:

${\triangledown }^{2}\Psi ={\frac {1}{{v}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {t}^{2}}}$

Sustituyendo la función de onda en la ecuación anterior, obtenemos primero el laplaciano:

${\triangledown }^{2}\Psi =-({{k}_{x}^{2}+{k}_{y}^{2}+{k}_{z}^{2})Aexp\left[i\left({\overrightarrow {k}}\bullet {\overrightarrow {r}}+\varpi t+\varepsilon \right)\right]}$

El signo menos proviene del hecho de que $i^{2}=-1$

Ahora calculando las parciales con respecto a $t$

${\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {t}^{2}}}=-{\varpi }^{2}Aexp\left[i\left({\overrightarrow {k}}\bullet {\overrightarrow {r}}+\varpi t+\varepsilon \right)\right]$

Donde la magnitud de k es:

$\left|k\right|={\sqrt {{k}_{x}^{2}+{k}_{y}^{2}+{k}_{z}^{2}}}$

${k}^{2}={k}_{x}^{2}+{k}_{y}^{2}+{k}_{z}^{2}$

Tenemos que la función de onda es::

${\nabla }^{2}\Psi ={-k}^{2}Aexp\left[i\left({k}_{x}x+{k}_{y}y+{k}_{z}z+\varpi t+\varepsilon \right)\right]$

Ahora comparando con la segunda parcial del tiempo, tenemos que la función de onda es solución si se cumple lo siguiente:

$-{k}^{2}Aexp\left[i\left({k}_{x}x+{k}_{y}y+{k}_{z}z+\varpi t+\varepsilon \right)\right]=-{\varpi }^{2}Aexp\left[i\left({k}_{x}x+{k}_{y}y+{k}_{z}z+\varpi t+\varepsilon \right)\right]$

La última igualdad se cumple solo si:

${v}^{2}={\frac {{\varpi }^{2}}{{k}^{2}}}$

Finalmente la función de onda $\Psi$ es solución si:

$v={\frac {\varpi }{k}}$

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Realizado por: Luis Manuel chávez Antonio, Carlosmiranda (discusión) 23:21 27 oct 2020 (CDT)

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Ejercicio 2.22 3ra Edición en español

Utilizando los resultados del ejercicio anterior (ejercicio 2.21) demuestre que para una onda armónica con fase:

$\varphi (x,t)=k(x-vt)~~~~~~~~~~~(1)$

podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$. Aplique la técnica a la función de onda:

$\psi (y,t)=A\mathrm {cos} \pi (3*10^{6}y+9*10^{14}t)~~~~~~~~~~~(2)$

Solución

Del ejercicio anterior obtenemos que:

$\frac{d \varphi}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial t}\frac{dt}{dt} $

Ahora derivamos nuestra ecuación (1) respecto del tiempo y obtenemos:

$\frac{d \varphi}{d t}=k\frac{dx}{dt}-kv=0 \Rightarrow$ $\frac{dx}{dt}=\pm v$

donde:

$\frac{\partial \varphi}{\partial x}=k$ y $\frac{\partial \varphi}{\partial t}=-kv$

Ahora, aplicamos esta técnica a la fase de la ecuación (2) $\varphi(y,t)=\pi (3*10^{6}y+9*10^{14}t)$ y obtenemos:

$\frac{d \varphi}{d t}=3*10^{6}\pi v+9*10^{14}\Rightarrow$$ 3*10^{6}\pi v+9*10^{14}=0 \Rightarrow$$v=-3*10^{8} \mathrm{m/s}$

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Realizado por: Jesús Flores Ortega,Carlosmiranda (discusión) 23:26 27 oct 2020 (CDT)

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4ta Edición en Ingles

Ejercicio 2.20 4ta Edición en Ingles

Muestre que

$\psi\left({x},t\right)=A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$

es quivalente a

$\psi\left({x},t\right)=A \text{sen}\left(kx-\omega t\right).$

Solución:

Usemos la formula para el coseno de la suma de ángulos

$ \text{cos}(x \pm y) = \text{cos}(x) \text{cos}(y) \mp \text{sen}(x) \text{sen}(y), $

con la cual la función

$\psi\left({x},t\right)=A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$

toma la forma

$\psi\left({x},t\right)=A \left[\text{cos}\left(kx-\omega t\right)\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\text{sen}\left(kx-\omega t\right)\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right].$

Recordemos ahora que

$\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ y $\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,$

Conclusión

Sustituyendo obtenemos

$\psi\left({x},t\right)=A\text{sen}\left(kx-\omega t\right),$

por lo tanto

$A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=A\text{sen}\left(kx-\omega t\right).$

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Realizado por: Flor Ivon Vivar

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Ejercicio 2.35 4ta Edición en Ingles

Considerar una onda de luz que tiene una velocidad de fase de $3 \times 10^8 m/s$ y una frecuencia de $6 \times 10^{14} Hz$. a) ¿ Cuál es la distancia mas corta entre dos puntos de la onda los cuales tienen una diferencia de fase de 30° ?, b)¿Qué cambio de fase ocurre en un punto dado en un $\Delta{t}= 10^{-6}s$?, y c) ¿ Cuántas ondas han pasado en ese intervalo de tiempo?

Solución:

a) La longitud de onda $\lambda$ se define como la distancia que recorre la onda en un determinado tiempo llamado periodo. Si la longitud de onda realiza un ciclo de 360° ó $2\pi rad$ cada periodo y $30°$ son $\frac{2\pi}{12}$, entonces basta con dividir a la longitud de onda entre 12 para obtener la respuesta:

$v=\lambda\nu$; $\lambda=\frac{v}{\nu}$ --> $\frac{\lambda}{12}= \frac{v}{12\nu}$

$\frac{\lambda}{12}= 4.16 \times 10^{-8} m $

b)$\Delta{t} \Rightarrow \Delta{\varphi} $ (en el mismo punto); $\Delta{\varphi}= \varphi_2 - \varphi_1$, $\Delta{t}= 10^{-6} s$;

$\varphi_1= \omega{t_1} - Kx_1$

$\varphi_2= \omega{t_2} - Kx_1$

$\Delta{\varphi}= \varphi_2 - \varphi_1= \omega(t_2 - t_1)= \omega\Delta{t}$

Con $\omega$ y K la frecuencia angular y el número de onda, respectivamente.

$\Delta{\varphi}= \omega\Delta{t}$

$\Delta{\varphi}= 2\pi(6 \times 10^{14})(1 \times 10^{-6})$

Esto quiere decir que un número entero multiplica a $2\pi rad$ lo que equivale a dar una vuelta, entonces no habrá cambio de fase ya que el punto de la primera fase siempre va a llegar al mismo punto de donde empezó. $\Delta{\varphi}$=0.

c) Si la frecuencia $\nu$ es el número de ciclos que da cada segundo, entonces:

$\nu{t}$= Número de ondas que pasan en ese intervalo de tiempo

$\nu{t}= 6 \times 10^{14}(1 \times 10^{-6})= 6 \times 10^8 ondas$

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Realizado por: Pedro J. Julian Salgado, Carlosmiranda (discusión) 23:28 27 oct 2020 (CDT)

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Ejercicio 2.44 4ta Edición en Ingles

Muestre que $\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r},t\right)$ puede representar una onda plana donde $\vec{k}$ es normal al frente de onda. Sugerencia. Sean $\vec{r}_{1}$, $\vec{r}_2$ dos vectores posición del origen a cualesquiera dos puntos del plano, pruebe que

$\psi\left(\vec{r}_{1},t\right)=\psi\left(\vec{r}_{2},t\right)$.

Solución:

Una función vectorial viajera, tiene la siguiente expresión:

$\psi\left(\vec{r},t\right)\equiv \psi\left(\vec{r}-\vec{v}t\right)$

En particular una onda plana tiene como argumento:

$\psi\left(\vec{r},t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t\right)$

Si el vector $\vec{r}_{1}$ y $\vec{r}_{2}$ son vectores dirigidos hacia el frente de onda, entonces satisfacen:

$\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)\cdot\vec{k}=0$

Conclusión

Observamos que:

$\psi\left(\vec{r}_{1},t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{1}-\omega t\right) =\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\vec{k}\cdot\vec{r}_{1}\right)-\omega t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\vec{k}\cdot\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)-\omega t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\omega t\right)=\psi\left(\vec{r}_{2},t\right)$

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Realizado por: Diego de la Cruz,Carlosmiranda (discusión) 23:13 27 oct 2020 (CDT)

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Ejercicio 2.6 Otras Edicciones

¿Cuántas ondas de luz amarilla $(\lambda=580\ nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.0076 cm)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu={10}^{10}\ Hz,\ es\ decir,\ 10GHz\ \ y\ \upsilon=3\times{10}^8\ m/s)$?

Solución

Sea k el número de onda, que esta dada por:

$k=\frac{1}{\lambda}m$

sustituyendo los datos:

$k=\frac{7.6\times{10}^{-5}m}{580\times{10}^{-9}m}=131$

caben 131 ondas de luz amarilla en 0.0076 cm.

Para calcular hasta donde se extiende el mismo número de microondas, calculamos la longitud de onda:

$\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3\times{10}^8\ m/s}{{10}^{10}\ 1/s}=0.03\ m$

$(0.03m)*(131)=3.9 m$

Por lo tanto las ondas se extienden 3.9 m.

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Realizado por: Verenisse, Carlosmiranda (discusión) 23:29 27 oct 2020 (CDT)

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Ejercicio 2.13 Otras Ediciones

Calcular: la frecuencia,la longitud de onda, el periodo,la amplitud, la velocidad de fase, la dirección de movimiento.

$(a):\psi =4sen(2\pi (0.2X-3t))~~~~~~~~~~~(1)$ $(b):\psi ={\frac {1}{2.5}}*sen(7X+3.5t)~~~~~~~~~~~(2)$

Teniendo  :$\psi=A senK(x-vt)$...(3) y compararla con 1, se puede tener que $A=4,K=2\pi ,v=3$.

Entonces para la frecuencia:

$\omega =2\pi *v$sustituyendo el valor de v:

$\omega =2\pi *3=6\pi$

Para la longitud de onda.

$\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi }{2\pi }}=1$

Para el periodo:

$\tau ={\frac {2\pi }{k*v}}={\frac {2\pi }{2\pi *3}}={\frac {1}{3}}$

para la amplitud se tiene de la ecuación (1), que A=4.

Para la velocidad de fase:

$v={\frac {\omega }{k}}={\frac {2\pi }{2\pi }}=1{\frac {m}{s}}$

Para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecuación (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda:

$\phi =kx-\omega *t$

sustituyendo los valores a t=0.

$\phi =2\pi *0,2=1,256m$

Para (b)

$\psi ={\frac {1}{2.5}}*sen(7X+3.5t)~~~~~~~~~~~(2)$

Teniendo:

$\psi =AsenK(x-vt)~~~~~~~~~~~(3)$

y compararla con 1 se puede tener que A=1/2,5 K=1 v=3,5.

Entonces para la frecuencia:

$\omega =2\pi *v$

sustituyendo el valor de v:

$\omega =2\pi *3,5=6,5\pi$

Para la longitud de onda:

$\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi }{1}}=2\pi$

Para el periodo:

$\tau ={\frac {2\pi }{k*v}}={\frac {2\pi }{1*3.5}}=1.795$

para la amplitud se tiene de la ecuación (1) que $A={\frac {1}{2.5}}$

Para la velocidad de fase:

$v={\frac {\omega }{k}}={\frac {6.5\pi }{1\pi }}=6.5\pi {\frac {m}{s}}$

para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecu (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda:

$\phi =(kx-\omega *t)$

sustituyendo los valores a t=0.

$\phi =1*7=7m$

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Realizado por: luisa alejandra vega sanchez,Carlosmiranda (discusión) 23:29 27 oct 2020 (CDT)

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5ta Edición en Ingles

Ejercicio 2.25 5ta Edición en Ingles

Muestra que $\Psi (x,t)=Acos(kx-\omega t)$ es solución de la ecuación de onda diferencial.

Solución:

ecuación de onda Diferencial unidimensional es::

${\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {x}^{2}}}={\frac {1}{{v}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}$ aquí $\Psi$es la función de onda, v es la velocidad de onda, t es el tiempo y x representa la distancia

La relación entre velocidad angular, número de onda y velocidad de onda es:

$\omega =kv$ aqui $\omega$ es la velocidad angular y $k$ es el numero de onda por la relación:

$\Psi (x,t)=Acos(kx-\omega t)~~~~~~~~~~~(1)$

sacamos su diferencial con respecto a $x$:

${\frac {\partial \Psi }{\partial x}}=-Aksen(kx\quad -\omega t)$

de nuevo diferenciar con respeto a $x$:

${\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {x}^{2}}}=-A{k}^{2}cos(kx-\omega t)~~~~~~~~~~~(2)$

y sustituyendo ${k}^{2}={\frac {{\omega }^{2}}{{v}^{2}}}$ en (2) :

${\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {x}^{2}}}=-A{\frac {\omega }{{v}^{2}}}^{2}cos(kx-\omega t)$

Diferenciar la ecuación (1) con respecto a $t$:

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-A(-\omega )sen(kx\quad -\omega t)$ y diferenciando de nuevo con respecto a t:

${\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {t}^{2}}}=-A{\omega }^{2}cos(kx\quad -\omega t)$

multiplicando por ${\frac {1}{{v}^{2}}}$

${\frac {1}{{v}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {t}^{2}}}=-{\frac {1}{{v}^{2}}}A{\omega }^{2}cos(kx\quad -\omega t)$

arreglando de nuevo:

${\frac {1}{{v}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {t}^{2}}}=-A{\frac {{\omega }^{2}}{{v}^{2}}}cos(kx\quad -\omega t)~~~~~~~~~~~(3)$

Conclusión

De acuerdo con las ecuaciones (2) y (3)

${\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {x}^{2}}}=-{\frac {1}{{v}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{\partial {t}^{2}}}$

Queda demostrado que la ecuación diferencial dada es solución.

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Realizado por: Salvador morales carranza, Carlosmiranda (discusión) 23:24 27 oct 2020 (CDT)

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Ejercicio 2.38 5ta Edición en Ingles

¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a ondas en desplazamiento? ¿Cuál es la velocidad de cada una? Las cantidades a,b y c son constantes positivas.

(a) $\psi (z,t) = \left(az-bt\right)^2$ (b)$\psi (x,t) = \left(ax+bt+c\right)^2$ (c)$\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$

Solución 

La forma de las ecuaciones que describen las ondas en desplazamiento es :

$\psi = f (x \pm vt )$

Y debe satisfacer la ecuación diferencial de onda :

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$

Para el inciso (a)

$\psi (z,t) = \left(z-\frac{b}{a}t\right)^2$

Calculamos sus derivadas parciales a primer orden:

$\frac{\partial \psi}{\partial z}= 2\left(z-\frac{b}{a}t\right)$

$\frac{\partial \psi}{\partial t}= -2 \frac{b}{a}\left(z-\frac{b}{a}t\right)$

Sus derivadas a segundo orden :

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$

Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$

Se cumple que:

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$

• Se satisface la ecuación de onda
• Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
• Al ser de la forma $\psi = f (x -vt )$ sabemos que la velocidad va en el sentido positivo del eje z

Para el inciso (b)

$\psi (x,t) = \left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)^2$

Al igual que en el inciso anterior, para comprobar si se cumple la ecuación de onda , obtenemos las primeras derivadas:

$\frac{\partial \psi}{\partial x}= 2\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)$

$\frac{\partial \psi}{\partial t}= 2 \frac{b}{a}\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right) $

Las segundas derivadas son:

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$

Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$

• Se satisface la ecuación de onda
• Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
• Como es de la forma $\psi = f (x + vt )$ su velocidad va en el sentido negativo del eje z

Para el inciso (c)

$\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$

• No tiene una dependencia en t

$\psi = f (x \pm vt )$

• No cumple con la ecuación de onda
• Por lo tanto, no describe una onda.

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Realizado por: Aurea Espin (discusión) 18:26 20 oct 2018 (CDT), Carlosmiranda (discusión) 23:25 27 oct 2020 (CDT)

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Ejercicio 2.49 5ta Edición en Ingles

Demuestre que las ecuaciones (2.64) y (2.65) las cuales son ondas planas de forma arbitraria, satisfacen la ecuación de onda de tres dimensiones diferencial.

Solución

Las siguientes dos ecuaciones:

$\psi (x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)~~~~~~~~~~~(2.64)$ $\psi (x,y,z,t)=g(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)~~~~~~~~~~~(2.65)$

Son funciones, en las cuales f y g son dos veces diferenciables consideremos una función de la forma:

$\psi (x,y,z,t)={e}^{ik(\alpha x+\beta y+\gamma z\pm vt)}~~~~~~~~~~~(1)$

Calculando las derivadas parciales de la ecuación (1) obtenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=-\alpha ^{2}k^{2}\psi$ ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=-\beta ^{2}k^{2}\psi$ ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\gamma ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-k^{2}v^{2}\psi ~~~~~~~~~~~(2)$

Agregando las tres derivadas espaciales y utilizando el echo que $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$ obtenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-k^{2}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})\psi$

Por la consideración anterior tenemos entonces que :

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-k^{2}\psi ~~~~~~~~~~~(3)$

De la ecuación (2) notamos que se puede reescribir como :

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-k^{2}\psi ~~~~~~~~~~~(4)$

Ahora combinando la parte temporal ecuación (4) y la parte espacial ecuación (3) por transitividad tenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$

Por lo tanto cumple con la ecuación de onda en tres dimensiones

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Realizado por: Carlosmiranda (discusión) 23:15 27 oct 2020 (CDT)

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