Optica: Capitulo2-problemas
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 2, con el siguiente formato:
Ejercicio 2.39
Indique cuales de las siguientes ecuaciones representan a una onda viajera:
- $\psi (y,t) = exp\left[-\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right)\right]$
- Solución: Para tener una onda viajera se debe tener una dependencia funcional de la forma:
- $\psi = f(y \mp vt)$
- donde $y$ será la dirección de propagación si el signo de $vt$ es negativo y $-y$ si el signo de $vt$ es positivo. Además
- $v = \dfrac{\omega}{k}$
- Notamos que dentro de la exponencial se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo que
- $\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right) = \left(ay - bt\right)^2 = a^2 \left(y - bt/a\right)^2$
- de donde concluimos que
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+y$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = b / a$
- $\psi (z,t) = A \sin \left(az^2 - bt^2\right)$
- Solución: En este caso el argumento de la función seno tiene una dependencia funcional cuadrática en las coordenadas espaciales y temporales, por ello no tiene una dependencia funcional de la forma $f(z \mp vt)$ y no se trata de una onda viajera.
- $\psi (x,t) = A \sin 2\pi \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b} \right)^2$
- Solución: Tenemos dentro de la función seno los términos $\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \left(x + \dfrac{at}{b}\right)^2$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $-x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = a / b$
- $\psi (x,t) = A \cos^2 2\pi \left(t-x\right)$
- Solución: En este caso resulta simple ver que $(t-x) = - (x - t)$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = 1$
Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:31 14 oct 2018 (CDT)
3ra Edición en español
Ejercicio 2.21 3ra Edición en español
Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t), y=h(t)$, entonces
- $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$
- Derive la ecuación (2.34)
- $\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
Solución
Para una onda que se propaga con fase constante:
- $\psi(x,t)=A \sin k(x\pm vt)$
- con $\phi(x,t)=k(x\pm vt)=constante$
- Cualquier punto de onda armónica con magnitud fija, se mueve de tal manera que $\phi(x,t)$ sea constante en el tiempo, i.e.,
- $\frac{d}{dt}\phi(x,t)=0$ o de otra forma, $\frac{d}{dt}\psi(x,t)=0$.
- Esto es cierto para toda clase de onda, periódica o no.
Así:
- $\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{dt}{dt}$
- $\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} (\pm v)+ \frac{\partial \psi}{\partial t} =0$
Conclusión
- Despejando $\pm v$ se obtiene la expresión requerida:
$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
- donde el signo de $v$ depende del sentido de propagación de la onda.
Realizado por: Sergio
Ejercicio 2.49 5ta Edición en Ingles
Demuestre que las ecuaciones (2.64) y (2.65) las cuales son ondas planas de forma arbitraria, satisfacen la ecuación de onda de tres dimensiones diferencial.
Solución
Las siguientes dos ecuaciones:
Son funciones, en las cuales f y g son dos veces diferenciables consideremos una función de la forma:
Calculando las derivadas parciales de la ecuación (1) obtenemos:
Agregando las tres derivadas espaciales y utilizando el echo que obtenemos:
Por la consideración anterior tenemos entonces que :
De la ecuación (2) notamos que se puede reescribir como :
Ahora combinando la parte temporal ecuación (4) y la parte espacial ecuación (3) por transitividad tenemos:
Por lo tanto cumple con la ecuación de onda en tres dimensiones
Realizado por: Carlosmiranda (discusión) 23:15 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.45 5ta Edición en Ingles
Demostrar que la parte imaginaria de un número complejo está dada por .
Solución
El numero complejo z, tiene la siguiente forma: Donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x , es la parte real y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y es la parte imaginaria del numero complejo también se tiene que el complejo conjugado del numero es restando el complejo conjugado a el numero complejo antes definido se obtiene:
Reorganizando la ecuación anterior para la parte imaginaria , se tiene:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y=\frac { \tilde { z } -{ \tilde { z } }^{ * } }{ 2i }
Por lo tanto la parte imaginaria de una numero complejo es:
Realizado por: Luis Gutiérrez Melgarejo 22:13 15 oct 2018 Carlosmiranda (discusión) 23:16 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.48 5ta Edición en Ingles
Empezando por la ecuación (2.51), compruebe que:
Solución
La onda armónica plana en coordenadas cartesianas se expresa como::
Si , y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \gamma
son los cosenos de dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{k}
en las direcciones , y respectivamente, entonces:
Así, la ecuación (2.51) puede expresarse como:
La magnitud del vector de propagación es:
En términos de componentes, la magnitud de , es
De la ecuación (1) y (2):
Realizado por: Enrique Ortiz Martinez 23:08 15 oct 2018 Carlosmiranda (discusión) 23:20 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.56
Mostrar explícitamente, que la función:: describe una onda siempre que:
- Solución:
Empecemos escribiendo el vector k y el vector r, en coordenadas cartesianas:
- :
- Haciendo el producto punto de K con r.
- Sustituyendo en la función de onda:
- Tenemos que la ecuación de onda es:
- Sustituyendo la función de onda en la ecuación anterior, obtenemos primero el laplaciano:
- El signo menos proviene del hecho de que
- Ahora calculando las parciales con respecto a
- Donde la magnitud de k es:
- Tenemos que la función de onda es::
- Ahora comparando con la segunda parcial del tiempo, tenemos que la función de onda es solución si se cumple lo siguiente:
- La última igualdad se cumple solo si:
Finalmente la función de onda es solución si:
Carlosmiranda (discusión) 23:21 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.40
Dada la onda , calcule su dirección de propagación. Determine algunos valores de y realice un boceto del perfil de onda en para y . ¿Cuál es la velocidad de la onda?
Solución:
Para simplificar los cálculos, podemos ver que Por tanto:
- Claramente, como se vio en cursos de cálculo básico. Una función de la forma:
- Siendo A y B valores positivos, la función f se desplazará hacía el eje positivo de las x. Por lo tanto la dirección de la propagación de dicha onda, será hacia el eje positivo de x.
- Para encontrar explícitamente el valor de la velocidad, se sabe que la ecuación dado el argumento de la exponencial es de la forma:
- Y se sabe que:
- Asi que
- .
- A tiempo t=0 la ecuación de onda queda como:
- .
- Que claramente es una función Gausseana. Es facil ver que cuando x=0. Implica que Por otro lado, cuando x^2>>>1, tiende a 0.
- Se anexa la gráfica de dicha función para apreciar el comportamiento de la Gausseana.
José Fernando Valencia Hernández
Carlosmiranda (discusión) 23:23 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.25
Muestra que es solución de la ecuación de onda diferencial.
solución:
ecuación de onda diferencial unidimensional es::
aquí es la función de onda, v es la velocidad de onda, t es el tiempo y x representa la distancia
La relación entre velocidad angular, número de onda y velocidad de onda es:
aqui es la velocidad angular y es el numero de onda por la relacion:
sacamos su diferencial con respecto a :
de nuevo diferenciar con respeto a :
y sustituyendo en (2) :
diferenciar la ecuación (1) con respecto a :
y diferenciando de nuevo con respecto a t:
multiplicando por
arreglando de nuevo:
de acuerdo con las ecuaciones (2) y (3)
queda demostrado que la ecuación diferencial dada es solución.
Carlosmiranda (discusión) 23:24 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.38
¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a ondas en desplazamiento? ¿Cuál es la velocidad de cada una? Las cantidades a,b y c son constantes positivas.
Solución: La forma de las ecuaciones que describen las ondas en desplazamiento es :
$\psi = f (x \pm vt )$
Y debe satisfacer la ecuación diferencial de onda :
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
Para el inciso (a)
$\psi (z,t) = \left(z-\frac{b}{a}t\right)^2$
Calculamos sus derivadas parciales a primer orden:
$\frac{\partial \psi}{\partial z}= 2\left(z-\frac{b}{a}t\right)$
$\frac{\partial \psi}{\partial t}= -2 \frac{b}{a}\left(z-\frac{b}{a}t\right)$
Sus derivadas a segundo orden :
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$
Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$
Se cumple que:
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
- Se satisface la ecuación de onda
- Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
- Al ser de la forma $\psi = f (x -vt )$ sabemos que la velocidad va en el sentido positivo del eje z
Para el inciso (b)
$\psi (x,t) = \left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)^2$
Al igual que en el inciso anterior, para comprobar si se cumple la ecuación de onda , obtenemos las primeras derivadas:
$\frac{\partial \psi}{\partial x}= 2\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)$
$\frac{\partial \psi}{\partial t}= 2 \frac{b}{a}\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right) $
Las segundas derivadas son:
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$
Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
- Se satisface la ecuación de onda
- Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
- Como es de la forma $\psi = f (x + vt )$ su velocidad va en el sentido negativo del eje z
Para el inciso (c)
$\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$
- No tiene una dependencia en t
$\psi = f (x \pm vt )$
- No cumple con la ecuación de onda
- Por lo tanto, no describe una onda.
Aurea Espin (discusión) 18:26 20 oct 2018 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 23:25 27 oct 2020 (CDT) ---
Ejercicio 2.22 3ra Edición en español
Utilizando los resultados del ejercicio anterior (ejercicio 2.21) demuestre que para una onda armónica con fase:
podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$. Aplique la técnica a la función de onda:
Solución
Del ejercicio anterior obtenemos que:
Ahora derivamos nuestra ecuación (1) respecto del tiempo y obtenemos:
donde:
Ahora, aplicamos esta técnica a la fase de la ecuación (2) $\varphi(y,t)=\pi (3*10^{6}y+9*10^{14}t)$ y obtenemos:
Realizado por: Jesús Flores Ortega,Carlosmiranda (discusión) 23:26 27 oct 2020 (CDT)
4ta Edición en Ingles
Ejercicio 2.20 4ta Edición en Ingles
Muestre que
$\psi\left({x},t\right)=A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$
es quivalente a
$\psi\left({x},t\right)=A \text{sen}\left(kx-\omega t\right).$
Solución:
Usemos la formula para el coseno de la suma de ángulos
$ \text{cos}(x \pm y) = \text{cos}(x) \text{cos}(y) \mp \text{sen}(x) \text{sen}(y), $
con la cual la función
$\psi\left({x},t\right)=A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$
toma la forma
$\psi\left({x},t\right)=A \left[\text{cos}\left(kx-\omega t\right)\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\text{sen}\left(kx-\omega t\right)\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right].$
Recordemos ahora que
$\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ y $\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,$
Conclusión
Sustituyendo obtenemos
$\psi\left({x},t\right)=A\text{sen}\left(kx-\omega t\right),$
por lo tanto
$A \text{cos}\left(kx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=A\text{sen}\left(kx-\omega t\right).$
Realizado por: Flor Ivon Vivar
Ejercicio 2.35 4ta Edición en Ingles
- Considerar una onda de luz que tiene una velocidad de fase de $3 \times 10^8 m/s$ y una frecuencia de $6 \times 10^{14} Hz$. a) ¿ Cuál es la distancia mas corta entre dos puntos de la onda los cuales tienen una diferencia de fase de 30° ?, b)¿Qué cambio de fase ocurre en un punto dado en un $\Delta{t}= 10^{-6}s$?, y c) ¿ Cuántas ondas han pasado en ese intervalo de tiempo?
Solución:
- a) La longitud de onda $\lambda$ se define como la distancia que recorre la onda en un determinado tiempo llamado periodo. Si la longitud de onda realiza un ciclo de 360° ó $2\pi rad$ cada periodo y $30°$ son $\frac{2\pi}{12}$, entonces basta con dividir a la longitud de onda entre 12 para obtener la respuesta:
$v=\lambda\nu$; $\lambda=\frac{v}{\nu}$ --> $\frac{\lambda}{12}= \frac{v}{12\nu}$ $\frac{\lambda}{12}= 4.16 \times 10^{-8} m $
- b)$\Delta{t} \Rightarrow \Delta{\varphi} $ (en el mismo punto); $\Delta{\varphi}= \varphi_2 - \varphi_1$, $\Delta{t}= 10^{-6} s$;
$\varphi_2= \omega{t_2} - Kx_1$
$\Delta{\varphi}= \varphi_2 - \varphi_1= \omega(t_2 - t_1)= \omega\Delta{t}$ - Con $\omega$ y K la frecuencia angular y el número de onda, respectivamente.
$\Delta{\varphi}= \omega\Delta{t}$ $\Delta{\varphi}= 2\pi(6 \times 10^{14})(1 \times 10^{-6})$
- Esto quiere decir que un número entero multiplica a $2\pi rad$ lo que equivale a dar una vuelta, entonces no habrá cambio de fase ya que el punto de la primera fase siempre va a llegar al mismo punto de donde empezó. $\Delta{\varphi}$=0.
- c) Si la frecuencia $\nu$ es el número de ciclos que da cada segundo, entonces:
- $\nu{t}$= Número de ondas que pasan en ese intervalo de tiempo
$\nu{t}= 6 \times 10^{14}(1 \times 10^{-6})= 6 \times 10^8 ondas$
Realizado por: Pedro J. Julian Salgado, Carlosmiranda (discusión) 23:28 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.44 4ta Edición en Ingles
Muestre que $\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r},t\right)$ puede representar una onda plana donde $\vec{k}$ es normal al frente de onda. Sugerencia. Sean $\vec{r}_{1}$, $\vec{r}_2$ dos vectores posición del origen a cualesquiera dos puntos del plano, pruebe que
Solución:
Una función vectorial viajera, tiene la siguiente expresión:
En particular una onda plana tiene como argumento:
Si el vector $\vec{r}_{1}$ y $\vec{r}_{2}$ son vectores dirigidos hacia el frente de onda, entonces satisfacen:
Conclusión
Observamos que:
$\psi\left(\vec{r}_{1},t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{1}-\omega t\right) =\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\vec{k}\cdot\vec{r}_{1}\right)-\omega t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\vec{k}\cdot\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)-\omega t\right)=\psi\left(\vec{k}\cdot\vec{r}_{2}-\omega t\right)=\psi\left(\vec{r}_{2},t\right)$
Realizado por: Diego de la Cruz,Carlosmiranda (discusión) 23:13 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.6
¿Cuántas ondas de luz amarilla $(\lambda=580\ nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.0076 cm)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu={10}^{10}\ Hz,\ es\ decir,\ 10GHz\ \ y\ \upsilon=3\times{10}^8\ m/s)$?
- Solución:
- Sea k el número de onda, que esta dada por:
$k=\frac{1}{\lambda}m$ - sustituyendo los datos:
$k=\frac{7.6\times{10}^{-5}m}{580\times{10}^{-9}m}=131$ - caben 131 ondas de luz amarilla en 0.0076 cm.
- Para calcular hasta donde se extiende el mismo número de microondas, calculamos la longitud de onda:
$\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3\times{10}^8\ m/s}{{10}^{10}\ 1/s}=0.03\ m$ $(0.03m)*(131)=3.9 m$ - Por lo tanto las ondas se extienden 3.9 m.
Carlosmiranda (discusión) 23:29 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 2.13
- calcular: la frecuencia,la longitud de onda, el periodo,la amplitud, la velocidad de fase, la dirección de movimiento.
- Teniendo :$\psi=A senK(x-vt)$...(3) y compararla con 1, se puede tener que .
- Entonces para la frecuencia:
sustituyendo el valor de v:
- Para la longitud de onda.
- Para el periodo:
- para la amplitud se tiene de la ecuación (1), que A=4.
- Para la velocidad de fase:
- para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecuación (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda:
sustituyendo los valores a t=0.
- para (b)
- Teniendo:
y compararla con 1 se puede tener que A=1/2,5 K=1 v=3,5.
- Entonces para la frecuencia:
- sustituyendo el valor de v:
- Para la longitud de onda:
- Para el periodo:
- para la amplitud se tiene de la ecuación (1) que
- Para la velocidad de fase:
para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecu (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda:
sustituyendo los valores a t=0.
Realizado por: luisa alejandra vega sanchez,Carlosmiranda (discusión) 23:29 27 oct 2020 (CDT)