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===Ejercicio 2.13===
===Ejercicio 2.13===


calcular: la frecuencia,la longitud de onda, el periodo,la amplitud, la velocidad de fase, la dirección de movimiento.
:calcular: la frecuencia,la longitud de onda, el periodo,la amplitud, la velocidad de fase, la dirección de movimiento.
(a) :$\psi=4sen($\2pi(0.2X-3t))...(1)
(a) :$\psi=4sen(2\pi(0.2X-3t$))...(1)
(b) :$\psi=1/2.5 * sen(7X+3.5t)...(2)
(b) :$\psi=1/2.5 * sen(7X+3.5t$)...(2)


Teniendo  :$\psi=A senK(x-vt)...(3) y compararla con 1, se puede tener que A=4,K=$\2pi$,v=3.
:Teniendo  :$\psi=A senK(x-vt)$...(3) y compararla con 1, se puede tener que A=4,K=$2\pi$,v=3.
Entonces para la frecuencia:
:Entonces para la frecuencia:
:$\omega=$\2pi*v,sustituyendo el valor de v.
:$\omega=2\pi*v$,sustituyendo el valor de v.
:$\omega=$\2pi*3=$\6pi$
:$\omega=2\pi*3=6\pi$


Para la longitud de onda.
:Para la longitud de onda.
:$\lambda=$\2pi/k=$\2pi/$\2pi=1
:$\lambda=2\pi/k=2\pi/2\pi$=1


Para el periodo.
:Para el periodo.
:$\tau=$\2pi/k*v=$\2pi/$\2pi*3=1/3$
:$\tau=2\pi/k*v=2\pi/2\pi*3$=1/3
para la amplitud se tiene de la ecu. (1), que A=4
:para la amplitud se tiene de la ecu. (1), que A=4
Para la velocidad de fase
:Para la velocidad de fase
v=:$\omega/k=$\2pi/$\2pi=1m/s
:v=:$\omega/k=2\pi/2\pi$=1m/s


para la dirección de movimiento, de las funciones de onda armónica, la ecu (3), el argumento completo de la función es la fase :$\fi$ de la onda.
:para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecu (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda
:$\fi= kx-$\omega*t), sustituyendo los valores a t=0:


:$\fi=kx-\omega*t$
sustituyendo los valores a t=0


:$\fi=:$\2pi*0.2$=1.256m
:$\fi=2\pi*0,2$=1,256m


El mismo procedimiento es para el inciso b:
:$para (b)$


:$\psi=\frac{1}{/2.5}*sen(7X+3.5t)$  ...(2)


:$\psi=1/2.5 * sen(7X+3.5t)...(2)
:Teniendo $\psi=A senK(x-vt)...(3)
y compararla con 1 se puede tener que A=1/2,5 K=1 v=3,5
:Entonces para la frecuencia
:$\omega=2\pi*v$ sustituyendo el valor de v
:$\omega=2\pi*3,5=6,5\pi$


Teniendo  :$\psi=A senK(x-vt)...(3) y compararla con 2, se puede tener que A=/2.5,K=1,v=3.5.
:Para la longitud de onda
Entonces para la frecuencia:
:$\lambda=2\pi/k=2\pi/1=2\pi$
:$\omega=$\2pi*v,sustituyendo el valor de v.
:$\omega=$\2pi*3.5=$\6.5pi$


:Para el periodo
:$\tau=2\pi/k*v=2\pi/1*3,5$=1,795
:para la amplitud se tiene de la ecu (1) que A=1/2,5
:Para la velocidad de fase
:v=$(\omega/k=6.5\pi/1)$=6.5 m/s
para  la  dirección  de  movimiento de las funciones de onda armónica la ecu (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda
:\fi=$(kx-\omega*t)$
sustituyendo los valores a t=0


Para la longitud de onda.
:$\fi$=1*7=7m
:$\lambda=$\2pi/k=$\2pi/1=$\2pi
 
Para el periodo.
:$\tau=$\2pi/k*v=$\2pi/1*3.5=1.795m/s
para la amplitud se tiene de la ecu. (2), que A=1/2.5
Para la velocidad de fase
v=:$\omega/k=$\6.5pi/1=$\6.5pi
 
 
para la dirección de movimiento, de las funciones de onda armónica, la ecu (3), el argumento completo de la función es la fase :$\fi$ de la onda.
:$\fi= kx-$\omega*t), sustituyendo los valores a t=0:
 
 
:$\fi=:$\1*7m$=7m
 




--[[luisa alejandra vega sanchez]]--
--[[luisa alejandra vega sanchez]]--

Revisión del 00:59 22 oct 2018

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 2, con el siguiente formato:


Problema 1

Planteamiento del problema

Solución


y su respectiva firma

--Gael


Problema 2

Planteamiento del problema

Solución

y su respectiva firma


Etcétera.


Ejercicio 2.39


Indique cuales de las siguientes ecuaciones representan a una onda viajera:

  • $\psi (y,t) = exp\left[-\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right)\right]$
Solución: Para tener una onda viajera se debe tener una dependencia funcional de la forma:
$\psi = f(y \mp vt)$
donde $y$ será la dirección de propagación si el signo de $vt$ es negativo y $-y$ si el signo de $vt$ es positivo. Además
$v = \dfrac{\omega}{k}$
Notamos que dentro de la exponencial se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo que
$\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right) = \left(ay - bt\right)^2 = a^2 \left(y - bt/a\right)^2$
de donde concluimos que
* La onda es viajera con dirección de propagación $+y$
* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = b / a$
  • $\psi (z,t) = A \sin \left(az^2 - bt^2\right)$
Solución: En este caso el argumento de la función seno tiene una dependencia funcional cuadrática en las coordenadas espaciales y temporales, por ello no tiene una dependencia funcional de la forma $f(z \mp vt)$ y no se trata de una onda viajera.
  • $\psi (x,t) = A \sin 2\pi \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b} \right)^2$
Solución: Tenemos dentro de la función seno los términos $\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \left(x + \dfrac{at}{b}\right)^2$ y por ello
* La onda es viajera con dirección de propagación $-x$
* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = a / b$
  • $\psi (x,t) = A \cos^2 2\pi \left(t-x\right)$
Solución: En este caso resulta simple ver que $(t-x) = - (x - t)$ y por ello
* La onda es viajera con dirección de propagación $+x$
* La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = 1$

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:31 14 oct 2018 (CDT)


Ejercicio 2.21


Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t), y=h(t)$, entonces

$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$
Derive la ecuación (2.34)
$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
Solución:

Para una onda que se propaga con fase constante:

$\psi(x,t)=A \sin k(x\pm vt)$
con $\phi(x,t)=k(x\pm vt)=constante$
Cualquier punto de onda armónica con magnitud fija, se mueve de tal manera que $\phi(x,t)$ sea constante en el tiempo, i.e.,
$\frac{d}{dt}\phi(x,t)=0$ o de otra forma, $\frac{d}{dt}\psi(x,t)=0$.
Esto es cierto para toda clase de onda, periódica o no.

Así:

$\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{dt}{dt}$
$\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} (\pm v)+ \frac{\partial \psi}{\partial t} =0$
Despejando $\pm v$ se obtiene la expersión requerida:

$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$

donde el signo de $v$ depende del sentido de propagación de la onda.

--Sergio


Ejercicio 2.49


Demuestre que las ecuaciones (2.64) y (2.65) las cuales son ondas planas de forma arbitraria, satisfacen la ecuación de onda de tres dimensiones diferencial.

Solución:

Las siguientes dos ecuaciones:

......................(2.64)

......................(2.65)

Son funciones, en las cuales f y g son dos veces diferenciables consideremos una función de la forma:

........(1)

Calculando las derivadas parciales de la ecuación (1) obtenemos:

...............(2)

Agregando las tres derivadas espaciales y utilizando el echo que obtenemos:

Por la consideración anterior tenemos entonces que :

.......(3)

De la ecuación (2) notamos que se puede reescribir como :

..........(4)

Ahora combinando la parte temporal ecuación (4) y la parte espacial ecuación (3) por transitividad tenemos:

Por lo tanto cumple con la ecuación de onda en tres dimensiones

Ruben Espinosa Guzman 21:22 15 oct 2018


Ejercicio 2.45


Demostrar que la parte imaginaria de un número complejo está dada por .

Solución:

El numero complejo z, tiene la siguiente forma: Donde , es la parte real y es la parte imaginaria del numero complejo Se tiene tambien que el complejo conjugado del numero es Restando el complejo conjugado a el numero complejo antes definido se tiene:

Reorganizando la ecuación anterior para la parte imaginaria , se tiene:

Por lo tanto la parte imaginaria de una numero complejo es:

Luis Gutiérrez Melgarejo 22:13 15 oct 2018



Ejercicio 2.48


Empezando por la ecuación (2.51), compruebe que



y que



Solución:

La onda armónica plana en coordenadas cartesianas se expresa como:


..........(2.51)


Si , y son los cosenos de dirección de en las direcciones , y respectivamente, entonces:





así, la ecuación (2.51) puede expresarse como:




La magnitud del vector de propagación es:


..........(1)


en términos de componentes, magnitud de ,





..........(2)


de la ecuación (1) y (2):





Enrique Ortiz Martinez 23:08 15 oct 2018


Ejercicio 2.56


Mostrar explícitamente, que la función: describe una onda siempre que

Solución:

Empecemos escribiendo el vector k y el vector r, en coordenadas cartesianas:

:
Haciendo el producto punto de K con r.
Sustituyendo en la función de onda:
Tenemos que la ecuación de onda es:
sustituyendo la función de onda en la ecuación anterior, obtenemos primero del laplaciano:


El signo menos proviene del hecho de que
Ahora calculando las parciales con respecto a t:
Donde la magnitud de k es:
Tenemos que la función de onda es:

Ahora comparando con la segunda parcial del tiempo, tenemos que la función de onda es solución si se cumple lo siguiente:
La última igualdad se cumple solo si:

Finalmente la función de onda es solución si:

Luis Manuel chávez Antonio



Ejercicio 2.40


Dada la onda , calcule su dirección de propagación. Determine algunos valores de y realice un boceto del perfil de onda en t=0 para a=25m^-2 y b=9.0s^2. ¿Cuál es la velocidad de la onda?.


Solución:

Para siplificar los calculos, podemos ver que Por tanto:

Claramente, como se vio en cursos de cálculo básico. Una función de la forma
Siendo A y B valores positivos, la función f se desplazará hacía el eje positivo de las x. Por lo tanto la dirección de la propagación de dicha onda, será hacia el eje positivo de x.
Para encontrar explicitamente el valor de la velocidad, se sabe que la ecucaión dada, el argumento de la exponencial es de la forma:
Y se sabe que:
Asi que
m/s.
A tiempo t=0 la ecuación de onda queda como:
.
Que claramente es una función Gausseana. Es facil ver que cuando x=0. Implica que Por otro lado, cuando x^2>>>1, tiende a 0.
Se anexa la gráfica de dicha función para apreciar el comportamiento de la Gausseana.

Grafica problema 2.40.jpeg

José Fernando Valencia Hernández


Ejercicio 2.25

Muestra que es solución de la ecuación de onda diferencial.

solución:

ecuación de onda diferencial unidimensional es:

aquí es la función de onda, v es la velocidad de onda, t es el tiempo y x representa la distancia

La relación entre velocidad angular, número de onda y velocidad de onda es:

aqui es la velocidad angular y es el numero de onda

por la relacion, ...(1)

sacamos su diferencial con respecto a x

de nuevo diferenciar con respeto a x

....(2)

y sustituyendo en (2) a 

diferenciar la ecuación (1) con respecto a una t

y diferenciando de nuevo con respecto a t

multiplicando por

arreglando de nuevo:

...(3)

por ecuación (2) y (3)


.

queda demostrado que la ecuación diferencial dada es solución.

Salvador morales carranza

Ejercicio 2.38


¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a ondas en desplazamiento? ¿Cuál es la velocidad de cada una? Las cantidades a,b y c son constantes positivas.

(a) $\psi (z,t) = \left(az-bt\right)^2$
(b)$\psi (x,t) = \left(ax+bt+c\right)^2$
(c)$\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$

Solución: La forma de las ecuaciones que describen las ondas en desplazamiento es :

$\psi = f (x \pm vt )$

Y debe satisfacer la ecuación diferencial de onda :

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$

Para el inciso (a)

$\psi (z,t) = \left(z-\frac{b}{a}t\right)^2$


Calculamos sus derivadas parciales a primer orden:

$\frac{\partial \psi}{\partial z}= 2\left(z-\frac{b}{a}t\right)$
$\frac{\partial \psi}{\partial t}= -2 \frac{b}{a}\left(z-\frac{b}{a}t\right)$

Sus derivadas a segundo orden :

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$

Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$

Se cumple que:

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$


  • Se satisface la ecuación de onda
  • Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
  • Al ser de la forma $\psi = f (x -vt )$ sabemos que la velocidad va en el sentido positivo del eje z

Para el inciso (b)

$\psi (x,t) = \left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)^2$

Al igual que en el inciso anterior, para comprobar si se cumple la ecuación de onda , obtenemos las primeras derivadas:

$\frac{\partial \psi}{\partial x}= 2\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)$
$\frac{\partial \psi}{\partial t}= 2 \frac{b}{a}\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right) $

Las segundas derivadas son:

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$

Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$


  • Se satisface la ecuación de onda
  • Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
  • Como es de la forma $\psi = f (x + vt )$ su velocidad va en el sentido negativo del eje z

Para el inciso (c)

$\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$
  • No tiene una dependencia en t
$\psi = f (x \pm vt )$
  • No cumple con la ecuación de onda
  • Por lo tanto, no describe una onda.

Aurea Espin (discusión) 18:26 20 oct 2018 (CDT)

---

Ejercicio 2.22

---

Utilizando los resultados del ejercicio anterior (ejercicio 2.21) demuestre que para una onda armónica con fase

                                           $\varphi (x,t)=k(x-vt)$....................(1)

podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$. Aplique la técnica a la función de onda

                                          $\psi (y,t)= A \mathrm{cos} \pi (3*10^{6}y+9*10^{14}t)$....(2)


Solución

Del ejercicio anterior obtenemos que

$\frac{d \varphi}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial t}\frac{dt}{dt} $.

Ahora derivamos nuestra ecuación (1) respecto del tiempo y obtenemos

$\frac{d \varphi}{d t}=k\frac{dx}{dt}-kv=0 \Rightarrow$

$\frac{dx}{dt}=\pm v$

donde $\frac{\partial \varphi}{\partial x}=k$ y $\frac{\partial \varphi}{\partial t}=-kv$

Ahora, aplicamos esta técnica a la fase de la ecuación (2) $\varphi(y,t)=\pi (3*10^{6}y+9*10^{14}t)$ y obtenemos

$\frac{d \varphi}{d t}=3*10^{6}\pi v+9*10^{14}\Rightarrow$

$ 3*10^{6}\pi v+9*10^{14}=0 \Rightarrow$

$v=-3*10^{8} \mathrm{m/s}$


--Jesús Flores Ortega

---

Ejercicio 2.35

---

Considerar una onda de luz que tiene una velocidad de fase de $3 \times 10^8 m/s$ y una frecuencia de $6 \times 10^{14} Hz$. a) ¿ Cuál es la distancia mas corta entre dos puntos de la onda los cuales tienen una diferencia de fase de 30° ?, b)¿Qué cambio de fase ocurre en un punto dado en un $\Delta{t}= 10^{-6}s$?, y c) ¿ Cuántas ondas han pasado en ese intervalo de tiempo?
Solución:
a) La longitud de onda $\lambda$ se define como la distancia que recorre la onda en un determinado tiempo llamado periodo. Si la longitud de onda realiza un ciclo de 360° ó $2\pi rad$ cada periodo y $30°$ son $2\pi/12$, entonces basta con dividir a la longitud de onda entre 12 para obtener la respuesta:
$v=\lambda\nu$; $\lambda= v/\nu$ --> $\lambda/12= v/{12\nu}$
$\lambda/12= 4.16 \times 10^{-8} m $
b)$\Delta{t} \Rightarrow \Delta{\varphi} $ (en el mismo punto); $\Delta{\varphi}= \varphi_2 - \varphi_1$, $\Delta{t}= 10^{-6} s$;

$\varphi_1= \omega{t_1} - Kx_1$

$\varphi_2= \omega{t_2} - Kx_1$
$\Delta{\varphi}= \varphi_2 - \varphi_1= \omega(t_2 - t_1)= \omega\Delta{t}$.
Con $\omega$ y K la frecuencia angular y el número de onda, respectivamente.
$\Delta{\varphi}= \omega\Delta{t}$
$\Delta{\varphi}= 2\pi(6 \times 10^{14})(1 \times 10^{-6})$
Esto quiere decir que un número entero multipica a $2\pi rad$ lo que equivale a dar una vuelta, entonces no habrá cambio de fase ya que el punto de la primera fase siempre va a llegar al mismo punto de donde empezó. $\Delta{\varphi}$=0
c) Si la frecuencia $\nu$ es el número de ciclos que da cada segundo, entonces:
$\nu{t}$= Número de ondas que pasan en ese intervalo de tiempo
$\nu{t}= 6 \times 10^{14}(1 \times 10^{-6})= 6 \times 10^8 ondas$

--Pedro J. Julian Salgado--


Ejercicio 2.6


¿Cuántas ondas de luz amarilla $(\lambda=580\ nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.0076 cm)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu={10}^{10}\ Hz,\ es\ decir,\ 10GHz\ \ y\ \upsilon=3\times{10}^8\ m/s)$?

Solución:
Sea k el número de onda, que esta dada por:
$k=\frac{1}{\lambda}m$
sustituyendo los datos
$k=\frac{7.6\times{10}^{-5}m}{580\times{10}^{-9}m}=131$
caben 131 ondas de luz amarilla en 0.0076 cm.
Para calcular hasta donde se extiende el mismo número de microondas, calculamos la longitud de onda:
$\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3\times{10}^8\ m/s}{{10}^{10}\ 1/s}=0.03\ m$
$(0.03m)*(131)=3.9 m$
Por lo tanto las ondas se extienden 3.9 m.

--Verenisse


Ejercicio 2.13

calcular: la frecuencia,la longitud de onda, el periodo,la amplitud, la velocidad de fase, la dirección de movimiento.

(a) :$\psi=4sen(2\pi(0.2X-3t$))...(1) (b) :$\psi=1/2.5 * sen(7X+3.5t$)...(2)

Teniendo  :$\psi=A senK(x-vt)$...(3) y compararla con 1, se puede tener que A=4,K=$2\pi$,v=3.
Entonces para la frecuencia:
$\omega=2\pi*v$,sustituyendo el valor de v.
$\omega=2\pi*3=6\pi$
Para la longitud de onda.
$\lambda=2\pi/k=2\pi/2\pi$=1
Para el periodo.
$\tau=2\pi/k*v=2\pi/2\pi*3$=1/3
para la amplitud se tiene de la ecu. (1), que A=4
Para la velocidad de fase
v=:$\omega/k=2\pi/2\pi$=1m/s
para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecu (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda
$\fi=kx-\omega*t$

sustituyendo los valores a t=0

$\fi=2\pi*0,2$=1,256m
$para (b)$
$\psi=\frac{1}{/2.5}*sen(7X+3.5t)$ ...(2)
Teniendo $\psi=A senK(x-vt)$ ...(3)

y compararla con 1 se puede tener que A=1/2,5 K=1 v=3,5

Entonces para la frecuencia
$\omega=2\pi*v$ sustituyendo el valor de v
$\omega=2\pi*3,5=6,5\pi$
Para la longitud de onda
$\lambda=2\pi/k=2\pi/1=2\pi$
Para el periodo
$\tau=2\pi/k*v=2\pi/1*3,5$=1,795
para la amplitud se tiene de la ecu (1) que A=1/2,5
Para la velocidad de fase
v=$(\omega/k=6.5\pi/1)$=6.5 m/s

para la dirección de movimiento de las funciones de onda armónica la ecu (3) el argumento completo de la función es la fase de la onda

\fi=$(kx-\omega*t)$

sustituyendo los valores a t=0

$\fi$=1*7=7m


--luisa alejandra vega sanchez--