Diferencia entre revisiones de «Optica: Capitulo10-problemas»

De luz-wiki
Sin resumen de edición
Sin resumen de edición
Línea 3: Línea 3:
[[categoría:Optica]]
[[categoría:Optica]]
[[categoría:Cursos]]
[[categoría:Cursos]]
----
===Ejercicio 10.7*===
Una rendija individual en una pantalla opaca de 0,10 mm de anchura está iluminada (en el aire) por ondas planas de un láser de ión de criptón (<math>\lambda_0</math> = 461,9 nm). Si la pantalla de observación se halla a una distancia de 1 m, determine si la figura de difracción resultante pertenecerá a la variedad de campo lejano y después calcule la anchura angular del máximo central.
:'''Solución'''
Primero determinamos si la interferencia producida recibida en la pantalla sería o no difracción de Fraunhofer, esto se puede verificar conociendo la distancia entre la rendija y la pantalla R y el ancho de la rendija a y la longitud de onda de la onda incidente <math>\ lambda</math>, donde si se cumple la siguiente condición, el patrón de difracción es la difracción de Fraunhofer.
:<math>R>>\frac{a^2}{2\lambda}</math>
Y es que dado que la rendija tiene un ancho de 0.1 mm, y que la longitud de onda, de la onda incidente es de 461.9 nm, y que la pantalla está colocada a una distancia de 1.0 metros. sustituyendo encontramos que
:<math>\frac{a^2}{2\lambda}=\frac{((0.1)10^{-3})^2}{(2)461.9X10^{-9}}=0.01108249 m</math>
Por lo que
:<math>R=1.0 m</math>
:<math>R=1.0>>\frac{a^2}{\lambda}=0.0108</math>
Por lo que podemos concluir que se trata de una difracción de Fraunhofer. El patrón de difracción obtenido presentaría una variación de campo lejano.
Por lo tanto, podemos proceder a encontrar el ancho angular del máximo central, que será el doble del ancho medio angular, y el ancho medio angular es igual a
:<math>\theta=sin^{-1}\left(\frac{\lambda}{d} \right)</math>
Eso implica que
<math>\theta=0.26465°</math>
Por tanto, la amplitud angular del máximo central es
:<math>2\theta=(2)0.26465=0.5293°</math>
Por lo que podemos concluir que: Sí, el patrón de difracción mostraría una variedad de campo lejano, el ancho angular del máximo central es de 0,53 grados.


----
----

Revisión del 19:41 15 nov 2020

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10


Ejercicio 10.7*

Una rendija individual en una pantalla opaca de 0,10 mm de anchura está iluminada (en el aire) por ondas planas de un láser de ión de criptón ( = 461,9 nm). Si la pantalla de observación se halla a una distancia de 1 m, determine si la figura de difracción resultante pertenecerá a la variedad de campo lejano y después calcule la anchura angular del máximo central.

Solución


Primero determinamos si la interferencia producida recibida en la pantalla sería o no difracción de Fraunhofer, esto se puede verificar conociendo la distancia entre la rendija y la pantalla R y el ancho de la rendija a y la longitud de onda de la onda incidente , donde si se cumple la siguiente condición, el patrón de difracción es la difracción de Fraunhofer.

Y es que dado que la rendija tiene un ancho de 0.1 mm, y que la longitud de onda, de la onda incidente es de 461.9 nm, y que la pantalla está colocada a una distancia de 1.0 metros. sustituyendo encontramos que

Por lo que

Por lo que podemos concluir que se trata de una difracción de Fraunhofer. El patrón de difracción obtenido presentaría una variación de campo lejano.

Por lo tanto, podemos proceder a encontrar el ancho angular del máximo central, que será el doble del ancho medio angular, y el ancho medio angular es igual a

Eso implica que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \theta=0.26465°}

Por tanto, la amplitud angular del máximo central es

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle 2\theta=(2)0.26465=0.5293°}

Por lo que podemos concluir que: Sí, el patrón de difracción mostraría una variedad de campo lejano, el ancho angular del máximo central es de 0,53 grados.




Ejercicio 10.12

¿Cuál es la irradiancia relativa de los máximos subsidiarios en un patrón de difracción de Fraunhofer de tres rendijas ?

Solución.

La distribución de flujo de irradiancia en el caso de N rendijas está dado por:

Donde & son funciones de y .

Entonces, los máximos subsidiarios ocurren en los siguientes valores aproximados de :

. Dichos valores de se les suele llamar también picos de la función de distribución de flujo de irradiancia.

Esto con lleva a que los valores que toma son:

Por otra parte, los valores máximos subsidiarios en ocurren en:

Por tanto, se defina la irradiancia relativa como:

Así que para el caso N=3:

&

Si consideramos a con valores pequeños y por tanto varía muy poco alrededor de 1. Entonces, bajo este régimen, la irradiancia relativa para los primeros tres máximos subsidiarios son (aproximadamente):




Diego de la Cruz López




Ejercicio 10.70

Integre la expresión sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:

Solución:

La integral se hace en el intervalo , entonces

Y de la ley de los cosenos para sabemos que

además

Utilizando estas expresiones en la encontrada para el área tenemos que:

Obteniendo finalmente la expresión para el área

Ahora bien, queremos encontrar la expresión para , pero el área de la zona es análoga a la de A con la salvedad de que se utiliza en lugar de .

Que restado de A para obtener $A_l$ da

Error al representar (error de sintaxis): A_l = A - A_{l-1} = \dfrac{\pi \rho}{\rho+r_0}\left[-\dfrac{\lambda^2}{4} + \dfrac{\lambda^2 l}{2} + r_0\lambda\right] = \dfrac{\pi \rho \lambda}{\rho+r_0}\left[r_0 + \dfrac{\lambda}{4}(2l-1)\right]

con lo que se obtiene lo buscado

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 00:53 20 nov 2018 (CST)


Ejercicio 10.52

Una luz con una longitud de onda de 550 nm ilumina una rejilla de difracción con rendijas de cm de separación. ¿En qué ángulo aparecerá el máximo de tercer orden?

Solución:

La distancia "a" de separación de las ranuras en la rejilla que es el elemento de rejilla.

Primero haciendo la conversión a metros:

= m

=m

La longitud de onda:

m

De la ecuación de rejilla tenemos:

.....(1)

Para tercer orden y

Sustituyendo los valores en (1)

Despejando a

Por lo tanto, el tercer orden máximo aparecerá:

Error al representar (error de sintaxis): 15.96°


Luis Manuel Chávez Antonio



Ejercicio 10.53


Una rejilla de difracción produce un espectro de segundo orden de luz amarilla a 25°. Determine el espacio entre las lineas en la rejilla.


Solución:


Datos:


Longitud de onda de luz amarilla


Angulo de difracción del espectro de segundo orden en la red de difracción 25°


De la ecuación de la rejilla, tenemos:



......(1)


Para segundo orden m=2 y


Sustituimos estos valores en la ecuación (1) y obtenemos






El espacio (a) entre las lineas de las rejillas es


Enrique Ortiz Martinez



Ejercicio 10.36



Verifique la irradiación de pico del primer "anillo" en el patrón de Airy para difracción de campo lejano en una apertura circular sea tal que .Es posible que desee usar el hecho de que :


Solución:


Sabemos que para el primer "anillo" en el patrón de Airy para campo lejano, su máximo ocurre:



Utilizando la identidad siguiente:



podemos sustituir en ella el valor de dando como resultado lo siguiente :


Calculando todos los términos de la ecuación anterior tenemos como resultado que:



Por otro lado sabemos que la irradiación es dada por:


Entonces, la irradiación para el primer maximo es:



Pero anteriormente ya calculamos el termino de el cual tiene un valor alrededor de


Así que el calculo se reduce a lo siguiente:



Despejando a podemos obtener la difracción de campo lejano en la abertura circular


el cual concuerda con el enunciado del problema.


Ruben Espinosa Guzman



Ejercicio 10.66

cual es el numero total de lineas que debe tener una rejilla del doblete de sodio en tercer orden?

solucion:


las longitudes de onda del doblete de sodio son:

diferencia en longitudes:

de acuerdo con la teoria del poder de resolucion:

esto es:

Resolviendo el poder de resolucion:

sabemos que el poder de resolucion es

donde m es el numero de orden que es de 3

por tanto el numero de lineas en la rejilla es de

Salvador Alejandro Morales Carranza



Ejercicio 10.42

Pretendemos observar dos estrellas alejadas de igual luminosidad cuya separación angular es de es de $50,0 \times 10^{-7}$ rad. Si suponemos una longitud de onda media de 550 nm ¿Cuál es la lente objetivo de menor diámetro de que resolverá las estrellas ( de acuerdo con el criterio de Rayleigh )?

Solución:

La separación angular mínima resoluble o límite angular de resolución es :

$(\Delta \varphi)_{min} = 1.22 \frac{\lambda_0}{D} $

Dónde $\lambda_0$ es la logitud de onda media, D es es el diámetro del lente que se utiliza para formar la imagen de las dos estrellas.

Despejando :

$D= 1.22 \frac{\lambda_0} {(\Delta \varphi)_{min}}$

Sustituyendo los datos

$D= 1.22 \frac{550 \times 10 ^{-9} m}{50,0 \times 10^{-7} rad}$


$D= 1.22 (0.11) \frac{m}{rad} $

$D= 0.1342 m$


Necesitamos una lente objetivo de mínimo 13 cm de diámetro .


Aurea Espin (discusión) 13:48 25 nov 2018 (CST)



Ejercicio 10.28

El telescopio del monte palomar tiene un lente objetivo con un diámetro de 508 cm. a) Determinar su resolución angular limite a una longitud de onda de 550 nm, en radianes, grados y segundos de arco. b) ¿Qué tan lejos deben estar dos objetos en la superficie de la luna si son "solubles" por el telescopio palomar?, la distancia tierra-luna es de $3.844 x 10^8 m$ ; tomar $\lambda_{0}= 550 nm$. c) ¿Qué tan lejos deben estar dos objetos en la luna para que sean distinguidos por el ojo? Asumir que el diametro de la pupila es de 4 mm.



Solución-----

a) Este problema se asemeja mucho al de encontrar el radio de un disco de Airy, el cual esta dado por:

$\Delta\varphi_{min}= \Delta\theta= \frac{1.22 \lambda}{D}$
Con "D" la apertura del diámetro y $\lambda$ la longitud de onda que en este caso es de $\lambda= 550 nm$

Entonces, la resolución angular limite en radianes es:

$\Delta\varphi_{min}= \frac{1.22 (550 nm)}{5.08 m}= 1.32 x 10^{-7} rad.$

En grados es:

$(1.32 x 10^{-7} rad)(\frac{360°}{2\pi rad})= (7.56 x 10^{-6})°$
Para calcular los segundos de arco, se tiene que recordar que $1°$ equivale a $60$ minutos de arco y por lo tanto $1°$ equivale a $3600$ segundos de arco:
$(7.56 x 10^{-6})°(\frac{3600 seg-arc}{1°})= 27.21 x 10^{-3} seg-arc$
b) Si el criterio de Rayleigh se aplica aquí, entonces los objetos se dicen "solubles" cuando el centro de un disco de Airy cae al primer minimo del disco de Airy del otro objeto, entonces del inciso anterior $\Delta\varphi= 1.32 x 10^{-7} rad$ si son solubles.
Por lo tanto para encontrar la distancia de separación se usa la relación: $\Delta s= r\Delta\varphi$. Con $\Delta s$ la separación entre los dos objetos.
$ \Delta s= r\Delta\varphi= 3.844 x 10^8 m (1.32 x 10^{-7} rad)= 50.74 m$
c) Para el ojo hay una resolución limite angular diferente, según:
$\Delta\varphi= \frac{1.22 \lambda}{D}= \frac{1.22 (550 nm)}{4 x 10^{-3} m}= 1.67 x 10^{-4} rad$
Por lo que $\Delta s= (3.844 x 10^8 m) (1.67 x 10^{-4} rad)= 64.48 x 10^{3} m.$

Una muestra de cuanto ha avanzado la tecnología.

Usuario: Pedro J. Julián.


Ejercicio 10.40


Supongamos que tenemos un láser que emite un haz de difracción limitada () con un diámetro de 2 mm. ¿Qué tan grande puede producirse un punto de luz en la superficie de la luna a una distancia de lejos de dicho dispositivo? desprecie los efectos de la atmósfera terrestre.

Solución:

La longitud de onda del rayo lasér es de:

Diamtreo (d) del haz en la apertura del laser:

Distancia de la luna desde el dispositivo:

El tamaño del punto de luz en la superficie de la Luna esta dado por:

Diametro de la luna:

De esto se tiene que:

Entonces, el lugar seria diámetro de la Luna.


Luis Gutiérrez Melgarejo

---

Ejercicio 10.14

---

Demuestre que, para una distribución de Fraunhofer de doble rendija, si a=mb, el número de franjas brillantes (o partes de ellas) dentro del máximo central de difracción será igual a 2m.
Solución
$\alpha=\frac{ka}{2}sin{\theta}$
$\beta=\frac{kb}{2}sin{\theta}$ dado que $a=mb$
$\alpha=m\frac{kb}{2}sin{\theta}$
$\alpha=m\beta$ donde $\beta=2\pi$
$\alpha=m2\pi$
$N=número de franjas=\frac{a}{\pi}=\frac{2m\pi}{\pi}=2m$


--Verenisse


Ejercicio 10.8

Una rendija individual estrecha (en el aire) en una pantalla opaca está por infrarrojo de una laser de He- Ne de 1152.2nm y resulta que el centro de la decima frnaja oscura de la distribución de Fraunhofer se halla aun ángulo de 6.2 grados fuera del eje central. Determine el ancho de la rendija. ¿ A que ángulo aparecera el decimo mínimo si todo el conjunto esta sumergido en agua ($n_{ag=1.33}$) en lugar de aire ($n_{a}=1.00029$) ?


Solución

A partir de la ecuación conocida

$b\sin \theta_{m}=m\lambda\Rightarrow$

$b=\frac{m\lambda}{\sin\theta_{m}}$..............(1)

Por hipotesis del problema empleamos $m=10$, $\lambda=1.11522\times10^{-6}\mathrm{m}$ para sustituir en (1) y obtenemos

$b=\frac{10 \times 1.11522\times10^{-6}\mathrm{m}}{\sin\left( 6.2^{\circ}\right)}\Rightarrow$

$b=1.07\times^{-14}\mathrm{m}$.

Si esta sumergido en agua empleamos nuevamente (1) pero hacemos la sustitución $\lambda \rightarrow \frac{n_{a}}{n_{ag}}\lambda$ y despejamos $\theta_{m}$ obtenemos

$\theta=\sin^{-1}\left[\frac{10 \times 1.00029 \times 1.11522\times10^{-6}\mathrm{m}}{1.33 \times 1.07\times^{-4} \mathrm{m}}\right] $


--Jesús Flores Ortega

Ejercicio 10.43

Realiza el procedimiento matemático necesario para derivar la ecuación 10.76 (Optica, Hecht 4a ed)


Solución:

La ecuación 10.76 es

$E_l=(-1)^{l+1} \frac{2K_l \epsilon_A \rho \lambda}{\rho+r_0}\text{sen}[\omega t-k(\rho+r_0)]$

partimos de la ecuación 10.75

$E_l=\left[ \frac{-K_l \epsilon_A \rho \lambda}{\rho+r_0}\right]\text{sen}[\omega t-k\rho-kr)]^{r=r_l}_{r=r_l-1},$

si tomamos en cuenta que

$r_l=r_0+\frac{l\lambda}{2}$

realizamos la diferencia de senos

$\Delta=\text{sen}[\omega t-k\rho-kr_l)]-\text{sen}[\omega t-k\rho-kr_{l+1})]=\text{sen}\left[\omega t-k\rho-k(r_0+\frac{l\lambda}{2})\right]-\text{sen}\left[\omega t-k\rho-k(r_0+\frac{(l-1)\lambda}{2})\right]$

separando el último término del argumento de los senos y sustituyendo $k=\frac{2\pi}{\lambda}$

$\Delta=\text{sen}\left[\omega t-k(\rho+r_0)-\frac{2\pi l\lambda}{2\lambda}\right]-\text{sen}\left[\omega t-k(\rho+r_0)+\frac{2\pi(l-1)\lambda}{2\lambda}\right].$


Ahora usemos la identidad

$ \text{sen}(x \pm y) =\text{sen}(x) \text{cos}(y) \pm \text{cos}(x) \text{sen}(y),$

para el primer término

$\text{sen}\left[\omega t-k(\rho+r_0)-\frac{2\pi l\lambda}{2\lambda}\right]=\text{sen}(\omega t-k(\rho+r_0)) \text{cos}(\pi l) - \text{cos}(\omega t-k(\rho+r_0)) \text{sen}(\pi l)$

El segundo término se descompone de manera analoga, sabemos que $\text{sen}(\pi l)=\text{sen}(\pi (l-1))=0$ y que $\text{cos}(\pi l)=-\text{cos}(\pi (l-1))=(-1)^{l}$

Por lo que

$\Delta=(-1)^{l+1}\text{sen}(\omega t-k(\rho+r_0))$

sustituyendo $\Delta$ en 10.75 obtenemos

$E_l=(-1)^{l+1} \frac{2K_l \epsilon_A \rho \lambda}{\rho+r_0}\text{sen}[\omega t-k(\rho+r_0)]$

Que es lo que se quiere derivar

--Flor Ivon Vivar


Ejercicio 10.4

refiriéndose al sistema múltiple de antenas de la fig 10.8, calcular la separación angular entre lóbulos sucesivos o máximos principales y el ancho del máximo central.


partiendo de dsen${\theta_m}$=m${\lambda}$

${\theta}$=$\frac{N*{\delta}}{2}$ = ${\pi}$


7sen${\theta}$= (1)*(0.21)


${\delta}$=$\frac{2\pi}{N}$= Kd *sen${\theta}$


sen${\theta}$=0.03


entonces


${\theta}$=1.7°, por lo que para


sen${\theta}$=0.0009, ${\theta}$= 3


--Usuario:luisa vega