Optica: Capitulo10-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 10

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Ejercicio 10.70

Integre la expresión $dS=2\pi \rho ^{2}\sin \varphi d\varphi$ sobre la zona l-ésima para obtener el área de esa zona, es decir:

$A_{l}={\dfrac {\lambda \pi \rho }{\rho +r_{0}}}\left[r_{0}+{\dfrac {(2l-1)\lambda }{4}}\right]$

Solución:

La integral se hace en el intervalo $\varphi \in [0,\varphi ]$, entonces

$A=\int _{0}^{\varphi }2\pi \rho ^{2}\sin \varphi d\varphi =2\pi \rho ^{2}\int _{0}^{\varphi }\sin \varphi d\varphi =2\pi \rho ^{2}(-\cos \varphi )_{0}^{\varphi }=2\pi \rho ^{2}(1-\cos \varphi )$

Y de la ley de los cosenos para $r^{2}$ sabemos que

$\cos \varphi ={\dfrac {\rho ^{2}+(\rho +r_{0})^{2}-r_{l}^{2}}{2\rho (\rho +r_{0})}}$

además

$r_{l}=r_{0}+{\dfrac {l\lambda }{2}};r_{l-1}=r_{0}+{\dfrac {(l-1)\lambda }{2}}$

Utilizando estas expresiones en la encontrada para el área tenemos que:

$A=2\pi \rho ^{2}-2\pi \rho ^{2}{\dfrac {\rho ^{2}+(\rho +r_{0})^{2}-r_{l}^{2}}{2\rho (\rho +r_{0})}}=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {\rho ^{2}+\rho ^{2}+r_{0}^{2}+2\rho r_{0}-r_{l}^{2}}{\rho +r_{0}}}=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {\rho ^{2}+\rho ^{2}+r_{0}^{2}+2\rho r_{0}-(r_{0}^{2}+r_{0}l\lambda +l^{2}\lambda ^{2}/4)}{\rho +r_{0}}}$

Obteniendo finalmente la expresión para el área

$A=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {2\rho ^{2}+2\rho r_{0}-r_{0}l\lambda -l^{2}\lambda ^{2}/4}{\rho +r_{0}}}$

Ahora bien, queremos encontrar la expresión para $A_{l}=A-A_{l-1}$, pero el área de la zona $l-1$ es análoga a la de A con la salvedad de que se utiliza $r_{l-1}^{2}$ en lugar de $r_{l}^{2}$.

$A_{l-1}=2\pi \rho ^{2}-2\pi \rho ^{2}{\dfrac {\rho ^{2}+(\rho +r_{0})^{2}-r_{l-1}^{2}}{2\rho (\rho +r_{0})}}=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {\rho ^{2}+\rho ^{2}+r_{0}^{2}+2\rho r_{0}-r_{l-1}^{2}}{\rho +r_{0}}}=2\pi \rho ^{2}-\pi \rho {\dfrac {\rho ^{2}+\rho ^{2}+r_{0}^{2}+2\rho r_{0}-(r_{0}^{2}+\lambda ^{2}(l^{2}+1-2l)/4-r_{0}\lambda (l-1))}{\rho +r_{0}}}$

Que restado de A para obtener $A_l$ da

Error al representar (error de sintaxis): A_l = A - A_{l-1} = \dfrac{\pi \rho}{\rho+r_0}\left[-\dfrac{\lambda^2}{4} + \dfrac{\lambda^2 l}{2} + r_0\lambda\right] = \dfrac{\pi \rho \lambda}{\rho+r_0}\left[r_0 + \dfrac{\lambda}{4}(2l-1)\right]

con lo que se obtiene lo buscado

$A_{l}={\dfrac {\lambda \pi \rho }{\rho +r_{0}}}\left[r_{0}+{\dfrac {(2l-1)\lambda }{4}}\right]$

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 00:12 20 nov 2018 (CST)

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