Ondas: vectoriales

De luz-wiki

POLARIZACIÓN


Introducción

Para explicar este la polarización vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal: entonces tomamos las ecuaciones de Maxwell las cuales establecen la existencia de ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta por campos eléctricos y magnéticos que son perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).

La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función con un periodo espacial puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de (es decir, ,,, etc). La fórmula matemática de esta representación en serie de Fourier es:




donde los valores son constantes, y por supuesto, el perfil puede corresponder a una onda viajera

Polarización de ondas luminosas


Usando el operador Laplaciano reescribimos la ecuación de onda:



........ ............... (2)

la ecuación ...(1) puede expresarse como


o como

donde

La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a k es entonces

El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición tienen cada uno la misma proyección en la dirección de .

Ahora podemos construir un conjunto de palnos sobre los cuales varía de manera sinusoidalen el espacio, es decir

o

Por todas estas expresiones se mantiene constante sobre cada plano definido por . Como estamos analizando las funciones armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de en la dirección de k. En la figura se representa esta clase de expresión. Del infinito número de planos se han dibujado sólo unos pocos, cada uno con una diferente. Los planos deberían también haberse dibujado con una extensión espacial infinita, ya qu no se han puesto límites a . La perturbación ocupa claramente todo el espacio.

Polarización lineal

Sean , y las amplitudes complejas del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido.

Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos

y , asi como la relacién entre ellos para una onda plana


Para una onda TM (transverso eléctrico) plana

Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en existe una onda incidente y una reflejada. Nétese que es el campo eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuacién (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.

El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de como que es la éltima capa; nosotros preferimos escribir (la éltima capa) donde ya solamente hay onda transmitida.

\bibliographystyle{alpha} \bibliography{/home/mfg/acad/ext/ref/libros-doc,/home/mfg/acad/dif/curri/ref-mias/mfg-arti}


\appendix

==

La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante

la transformacién , entonces la primera derivada es

mientras que la segunda derivada es

que podemos reagrupar como

La ecuacién diferencial \eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*} \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\ -\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}

que simplifica a

\end{document}

Solo estoy de curioso pero vamos a ver si entendi bien.

Polarización Circular

Plantilla:Commonscat

Supongamos y soluciones separadas de la ecuación de onda. Se deduce que también representa una solución. Esto se denomina principio de superposición.

Es cierto que

y


Sumando estos resulatdos

Por lo tanto

Superposición de ondas

Sea ,,.........., soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional.

Polarización Elíptica




REPRESENTACIÓN COMPLEJA



cualquier número complejo se puede representar como

En la forma polar donde y





Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

Descripción formal de la polarización

Utilizaremos la derivación de Borowitz [1]





Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es




Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

Energía de una onda

Utilizaremos la derivación de Borowitz [2]

Ecuación de conservación a partir de la ecuación de onda en 1+1 dimensiones

La ecuación de onda para una dimensión espacial es

se multiplica por un factor , entonces

.

Sin embargo, y además . De manera que el primer término de la ecuación diferencial puede escribirse como

;

mientras que el segundo término que involucra segundas derivadas temporales puede reescribirse como




  1. S. Borowitz, Fundamentals of Quantum Mechanics, W.A. Benjamin, NY (1967), pp.71-74
  2. S. Borowitz, Fundamentals of Quantum Mechanics, W.A. Benjamin, NY (1967), pp.71-74