Diferencia entre revisiones de «Ondas: vectoriales»

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Línea 443: Línea 443:
Dividiendo ambos lados entre <math>\Epsilon_0x</math> y <math>\Epsilon_0y</math> respectivamente tenemos que
Dividiendo ambos lados entre <math>\Epsilon_0x</math> y <math>\Epsilon_0y</math> respectivamente tenemos que


<center><math>\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  =  \cos (\varphi) \quad . </math></center>
<center><math>\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  =  \cos (\varphi) \quad ......... ec(1) </math></center>




<center><math>\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}  = \cos (\varphi+\varepsilon)</math></center>
<center><math>\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}  = \cos (\varphi+\varepsilon)......... ec(2)</math></center>


También la podemos escribir como utilizando la identidad trigonométrica.
También la podemos escribir como utilizando la identidad trigonométrica.

Revisión del 13:25 19 nov 2007

POLARIZACIÓN


Introducción

Para explicar el fenómeno de la polarización vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal entonces tomamos las ecuaciones de Maxwell las cuales establecen la existencia de ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta por campos eléctricos y magnéticos que son perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).(véase también soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional)


La solución mas simple a las ecuaciones anteriores es una onda sinodal para las cuales las magnitudes de campo E y B varían en función de de acuerdo con las expresiones.


Habitualmente se decide por convenio que para el estudio de la polarización se atienda exclusivamente al campo eléctrico, ignorando el campo magnético, ya que el vector de campo magnético puede obtenerse a partir del vector de campo eléctrico, pues es perpendicular y proporcional a él.


Como objetivo demostraremos que bajo ciertas condiciones estas ondas transversales con vectores de campo eléctrico en todas las direcciones transversales pueden ser polarizadas de diversas formas. Esto quiere decir que sólo ciertas orientaciones de los vectores del campo eléctrico están presentes en la onda polarizada.


La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función con un periodo espacial puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de (es decir, ,,, etc). La fórmula matemática de esta representación en serie de Fourier es:




donde los valores son constantes, y por supuesto, el perfil puede corresponder a una onda viajera

Polarización de ondas luminosas

Un haz de luz está formado por un gran número de ondas emitidas por los átomos de la fuente luminosa. Cada átomo produce una onda que tiene una orientación particular del campo eléctrico. La dirección de polarización de cada una de estas ondas se define como la dirección en la que vibra su campo eléctrico.

Consideremos la onda resultante del has de luz que es una superposición de ondas en las que sus campos eléctricos que vibran en muchas direcciones distintas. El resultado de un rayo no polarizado se ilustra en la figura La dirección de propagación es perpendicular a la pantalla. Las flechas muestran unas cuantas direcciones posibles de los vectores del campo eléctrico conforman el has resultante.


Podemos definir uno onda linealmente polarizada si en todo momento el campo eléctrico resultante E vibra lo misma dirección en un punto en particular. El plano formado por E y la dirección y propagación se conoce como plano de polarización de la onda.






........ ............... (2)

la ecuación ...(1) puede expresarse como


o como

donde

La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a k es entonces

El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición tienen cada uno la misma proyección en la dirección de .

Ahora podemos construir un conjunto de palnos sobre los cuales varía de manera sinusoidalen el espacio, es decir

o

Por todas estas expresiones se mantiene constante sobre cada plano definido por . Como estamos analizando las funciones armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de en la dirección de k. En la figura se representa esta clase de expresión. Del infinito número de planos se han dibujado sólo unos pocos, cada uno con una diferente. Los planos deberían también haberse dibujado con una extensión espacial infinita, ya qu no se han puesto límites a . La perturbación ocupa claramente todo el espacio.

Polarización Lineal

Imaginemos dos ondas de luz armónica, linealmente polarizadas, de la misma frecuencia, moviéndose en la misma dirección. Si sus vectores de campo eléctrico son coloniales las perturbaciones superpuestas se combinaran simplemente para formar una onda resultante lineal mente polarizada. Por otro lado si las dos ondas de luz son tales que la dirección de sus campos eléctricos respectivos son perpendiculares entre si, la onda resultante puede o no ser linealmente polarizada Se puede representar las dos perturbaciones ópticas ortogonales ya consideradas antes como:


Donde la perturbación óptica resultante es la suma vectorial de estas dos ondas perpendiculares

si o múltiplo entero de


La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como


La resultante será un una onda definida por un vector de dirección fija y de amplitud oscilante, esta onda también es linealmente polarizada

Ahora supongamos que multiplo entero impar de

La onda en la dirección queda


La podemos reescribir como

La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como

Esta de nuevo es linealmente polarizada pero se ha girado en el plano de vibración respecto a la condición anterior.

La orientación de la dirección de polarización en el plano (x, y) depende del coeficiente






, o .

Si se desea expresar al vector como combinación de los vectores, se representará como:

Sean , y las amplitudes complejas del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido.

Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos

y , asi como la relacién entre ellos para una onda plana


Para una onda TM (transverso eléctrico) plana

Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en existe una onda incidente y una reflejada. Nétese que es el campo eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuacién (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.

El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de como que es la éltima capa; nosotros preferimos escribir (la éltima capa) donde ya solamente hay onda transmitida.

\bibliographystyle{alpha} \bibliography{/home/mfg/acad/ext/ref/libros-doc,/home/mfg/acad/dif/curri/ref-mias/mfg-arti}


\appendix

==

La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante

la transformacién , entonces la primera derivada es

mientras que la segunda derivada es

que podemos reagrupar como

Polarización Circular

Otro caso especial de interés particular aparece cuando ambas ondas constituidas tiene igual amplitud Es decir


Y además su diferencia de fase relativa


es decir


Reescribimos

La ecuación de la onda queda


Podemos observar que la amplitud escalar

Donde

es una constante, pero la dirección de es variable con el tiempo y no esta restringida como antes a un solo plano

En la fig muestra lo que sucede en algún punto arbitrario Mantenemos un punto arbitrario y hacemos variar el tiempo, escojamos dos puntos arbitrarios , Evaluando estos puntos en la ecuación de onda obtenemos las siguientes ecuaciones para


para un tiempo



Podemos notar que el vector resultante para un tiempo uno se encuentra entre los ejes positivos y el vector resultante para un tiempo dos se encuentra sobre el eje entonces el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el sentido de la manecillas de el reloj con una frecuencia angular vista por un observador hacia quien la onda se esta moviendo. Esta onda se dice que tiene polarización circular a la derecha.


En otro caso si el desfase es


es decir



Entonces


Se pude reescribir como

La ecuación de la onda queda como


Nuevamente mantenemos un punto arbitrario hacemos variar el tiempo, escojamos dos puntos arbitrarios ,


Tenemos las siguientes ecuaciones

para un tiempo




Para este caso notamos que el vector resultante para un tiempo uno se encuentra entre los ejes positivo y negativo el vector resultante para un tiempo dos se encuentra sobre el eje entonces el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el conta de las manecillas de el reloj con una frecuencia angular . Esta onda se dice que tiene polarización circular a izquierda.










Plantilla:Commonscat

Supongamos y soluciones separadas de la ecuación de onda. Se deduce que también representa una solución. Esto se denomina principio de superposición.

Es cierto que

y


Sumando estos resulatdos

Por lo tanto

Superposición de ondas

Sea ,,.........., soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional.

Polarización Elíptica




REPRESENTACIÓN COMPLEJA cualquier número complejo se puede representar como

En la forma polar donde y





Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

Descripción formal de la polarización

Para describir la polarización de una manera más general, primero recordemos un poco de geometría: Pretendemos llegar de ecuaciones para métricas de un círculo o una elipse a sus ecuaciones formales Tomemos la ecuaciones para métricas para

Reescribimos

Elevando al cuadrado ambos miembros y sumándolos tenemos

si tenemos la ecuación forma de un circulo de radio

si tenemos la ecuación forma de una elipse


la polarización elíptica

Este tipo de polarización corresponde a cualquier otro caso diferente a los anteriores, es decir, las dos componentes tienen distintas amplitudes y el ángulo de desfase entre ellas es diferente a 0º y a 180º (no están en fase ni en contra fase).



Par realizar el tratamiento de la descripción matemática formal de la polarización realizaremos un tratamiento similar al anterior.

Sean las ondas planas transversales



Donde


Para simplificar los cálculos a realizar reescribimos las ecuaciones anteriores

Dividiendo ambos lados entre y respectivamente tenemos que


También la podemos escribir como utilizando la identidad trigonométrica.



Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es




Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

Energía de una onda

Ecuación de conservación a partir de la ecuación de onda en 1+1 dimensiones

La ecuación de onda para una dimensión espacial es

se multiplica por un factor , entonces

.

Sin embargo, y además . De manera que el primer término de la ecuación diferencial puede escribirse como

;

mientras que el segundo término que involucra segundas derivadas temporales puede reescribirse como






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