Ondas: vectoriales

POLARIZACIÓN

Introducción

Para explicar este la polarización vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal: entonces tomamos las ecuaciones de Maxwell las cuales establecen la existencia de ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta por campos eléctricos y magnéticos que son perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sqrt{2}

La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función $\textstyle {f(x)}$ con un periodo espacial $\textstyle \lambda$ puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle\lambda (es decir, $\textstyle \lambda$,$\textstyle {\frac {\lambda }{2}}$,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle\frac{\lambda}{3} , etc). La fórmula matemática de esta representación en serie de Fourier es:

$f(x)=C_{0}+C_{1}cos\left({\frac {2\pi }{\lambda }}x+\varepsilon _{1}\right)+C_{2}cos\left({\frac {2\pi }{\frac {\lambda }{2}}}x+\varepsilon _{2}\right)+...(1)$

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donde los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C son constantes, y por supuesto, el perfil $f(x)$ puede corresponder a una onda viajera $f(x-vt)$

Polarización de ondas luminosas

Para explicar el fenómeno de la polarización vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal entonces tomamos las ecuaciones de Maxwell las cuales establecen la existencia de ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta por campos eléctricos y magnéticos que son perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).

La solución mas simple a las ecuaciones anteriores es una onda sinodal para las cuales las magnitudes de campo E y B varían en función de $(x,t)$ de acuerdo con las expresiones.

Habitualmente se decide por convenio que para el estudio de la polarización se atienda exclusivamente al campo eléctrico, ignorando el campo magnético, ya que el vector de campo magnético puede obtenerse a partir del vector de campo eléctrico, pues es perpendicular y proporcional a él.

Como objetivo demostraremos que bajo ciertas condiciones estas ondas transversales con vectores de campo eléctrico en todas las direcciones transversales pueden ser polarizadas de diversas formas. Esto quiere decir que sólo ciertas orientaciones de los vectores del campo eléctrico están presentes en la onda polarizada.

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${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {x} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {y} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {z} ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {v} ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {t} ^{2}}}$

Usando el operador Laplaciano reescribimos la ecuación de onda:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^2\Psi= \frac{1}{\mathrm{v}^2} \frac{\partial^2\Psi}{\partial\mathbf{t}^2}

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${\textbf {k}}=k_{x}{\hat {\textbf {i}}}+k_{y}{\hat {\textbf {j}}}+k_{z}{\hat {\textbf {k}}}$ ........ ............... (2)

la ecuación ...(1) puede expresarse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k_{x}(x-x_{0}) + k_{y}(y-y_{0}) + k_{z}(z-z_{0})\hat{ }=0

o como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z \hat{}=0

donde

$a=k_{x}x_{0}+k_{y}y_{0}+k_{z}z_{0}\ =constante$

La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a k es entonces

${\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}=constante=a$

El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición tienen cada uno la misma proyección en la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textbf{k} .

Ahora podemos construir un conjunto de palnos sobre los cuales Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r}) varía de manera sinusoidalen el espacio, es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r})=A Sen (\textbf{k}\cdot\textbf{r})

$\psi ({\textbf {r}})=ACos({\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}})$

o

$\psi ({\textbf {r}})=Ae^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$

Por todas estas expresiones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r}) se mantiene constante sobre cada plano definido por ${\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}=constante$. Como estamos analizando las funciones armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de $\lambda$ en la dirección de k. En la figura se representa esta clase de expresión. Del infinito número de planos se han dibujado sólo unos pocos, cada uno con una Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r}) diferente. Los planos deberían también haberse dibujado con una extensión espacial infinita, ya qu no se han puesto límites a ${\textbf {r}}$. La perturbación ocupa claramente todo el espacio.

Polarización Lineal

Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A , $R$ y $T$ las amplitudes complejas del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido.

Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos $\mathbf {E}$

y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{H} , asi como la relacién entre ellos para una onda plana

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}

Para una onda TM (transverso eléctrico) plana

$U_{0}=A+R$

Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U\left(z=0\right)=U_{0} existe una onda incidente y una reflejada. Nétese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U es el campo eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuacién (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.

$U\left(z_{l}\right)=T$

El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de $U$ como $z_{1}$ que es la éltima capa; nosotros preferimos escribir $z_{l}$ (la éltima capa) donde ya solamente hay onda transmitida.

\bibliographystyle{alpha} \bibliography{/home/mfg/acad/ext/ref/libros-doc,/home/mfg/acad/dif/curri/ref-mias/mfg-arti}

\appendix

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La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante

la transformacién $U=u{\sqrt {\mu }}$, entonces la primera derivada es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial U}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\mu^{-\frac{1}{2}}\frac{\partial\mu}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)

mientras que la segunda derivada es

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{2}}\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)+\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)$

que podemos reagrupar como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\mu^{\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\right]

Polarización Circular

• Filtro polarizador
• Óptica

Supongamos $\psi _{1}$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_2 soluciones separadas de la ecuación de onda. Se deduce que también $\psi _{1}+\psi _{2}$ representa una solución. Esto se denomina principio de superposición.

Es cierto que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial \psi_1}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_1}{\partial t^{2}} y ${\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Sumando estos resulatdos

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Por lo tanto

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})$

Superposición de ondas

Sea $\psi _{1}(r,t)$,$\psi _{2}(r,t)$,..........,$\psi _{n}(r,t)$ soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional. ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$

Polarización Elíptica

$\psi (r,t)=$

REPRESENTACIÓN COMPLEJA

cualquier número complejo se puede representar como $z=Re(z)+iIm(z)$

En la forma polar donde $Re(z)=rcos\theta$ y$Im=rsen\theta$

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Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

$\nabla \cdot \left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

${\frac {\partial }{\partial z}}\left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Descripción formal de la polarización

Utilizaremos la derivación de Borowitz

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Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

$\nabla \cdot \left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

${\frac {\partial }{\partial z}}\left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

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Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

$\nabla \cdot \left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

${\frac {\partial }{\partial z}}\left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Energía de una onda

Utilizaremos la derivación de Borowitz

Ecuación de conservación a partir de la ecuación de onda en 1+1 dimensiones

La ecuación de onda para una dimensión espacial es

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0$

se multiplica por un factor $\textstyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\dot {\psi }}$, entonces

${\dot {\psi }}\left({{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial {\dot {\psi }}}{\partial t}}}\right)=0$.

Sin embargo, $\textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}\left({{\dot {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}}\right)={\dot {\psi }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {\partial {\dot {\psi }}}{\partial z}}$ y además $\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)^{2}=2{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {\partial {\dot {\psi }}}{\partial z}}$. De manera que el primer término de la ecuación diferencial puede escribirse como

$-{\dot {\psi }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={1 \over 2}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)^{2}-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({{\dot {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}}\right)$;

mientras que el segundo término que involucra segundas derivadas temporales puede reescribirse como

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