Ondas: vectoriales

POLARIZACIÓN

Introducción:

Para explicar este la polarización vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal: entonces tomamos las ecuaciones de Maxwell las cuales establecen la existencia de ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta por campos eléctricos y magnéticos que son perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).

${\sqrt {2}}$

La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función $\textstyle {f(x)}$ con un periodo espacial $\textstyle \lambda$ puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de $\textstyle \lambda$ (es decir, $\textstyle \lambda$,$\textstyle {\frac {\lambda }{2}}$,$\textstyle {\frac {\lambda }{3}}$, etc). La fórmula matemática de esta representación en serie de Fourier es:

$f(x)=C_{0}+C_{1}cos\left({\frac {2\pi }{\lambda }}x+\varepsilon _{1}\right)+C_{2}cos\left({\frac {2\pi }{\frac {\lambda }{2}}}x+\varepsilon _{2}\right)+...(1)$

donde los valores $C$ son constantes, y por supuesto, el perfil $f(x)$ puede corresponder a una onda viajera $f(x-vt)$

La Ecuación diferencial de onda tridimencional

Ahora analiazaremos una onda que se propaga en tres dimenciones espaciales y una temporal,solo la onda plana viaja sin cambiar su perfil (mas adelante se detallara "onda plana").

En coordenadas cartesianas tenemos (x,y,z,t) aunada con el tiempo. Debe existir simetría la ecuación diferencial en estas tres coordenadas espaciales, puesto ninguna de ellas goza de algun distinción caracteristicas de su eje.

Por lo tanto definimos la ecuación diferecial de onda tridimencional como:

${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {x} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {y} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {z} ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {v} ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {t} ^{2}}}$

Usando el operador Laplaciano reescribimos la ecuación de onda:

$\nabla ^{2}\Psi ={\frac {1}{\mathrm {v} ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \mathbf {t} ^{2}}}$

${\textbf {k}}=k_{x}{\hat {\textbf {i}}}+k_{y}{\hat {\textbf {j}}}+k_{z}{\hat {\textbf {k}}}$ ........ ............... (2)

la ecuación ...(1) puede expresarse como

$k_{x}(x-x_{0})+k_{y}(y-y_{0})+k_{z}(z-z_{0}){\hat {}}=0$

o como

$k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z{\hat {}}=0$

donde

$a=k_{x}x_{0}+k_{y}y_{0}+k_{z}z_{0}\ =constante$

La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a k es entonces

${\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}=constante=a$

El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición tienen cada uno la misma proyección en la dirección de ${\textbf {k}}$.

Ahora podemos construir un conjunto de palnos sobre los cuales $\psi ({\textbf {r}})$ varía de manera sinusoidalen el espacio, es decir

$\psi ({\textbf {r}})=ASen({\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}})$

$\psi ({\textbf {r}})=ACos({\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}})$

o

$\psi ({\textbf {r}})=Ae^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$

Por todas estas expresiones $\psi ({\textbf {r}})$ se mantiene constante sobre cada plano definido por ${\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}=constante$. Como estamos analizando las funciones armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de $\lambda$ en la dirección de k. En la figura se representa esta clase de expresión. Del infinito número de planos se han dibujado sólo unos pocos, cada uno con una $\psi ({\textbf {r}})$ diferente. Los planos deberían también haberse dibujado con una extensión espacial infinita, ya qu no se han puesto límites a ${\textbf {r}}$. La perturbación ocupa claramente todo el espacio.