Diferencia entre revisiones de «Ondas: vectoriales»

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El plano formado por E y la dirección de propagación se conoce como plano de polarización de la onda.
 
El plano formado por E y la dirección de propagación se conoce como plano de polarización de la onda.
  
[[Imagen:Imagen3.png|500x500px|center|thumb|fig.2 plano de polarización]]
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[[Imagen:Imagen3.png|500x500px|center|thumb|fig.2 <ref>Física Raymond A.Serway . Volumen II[cap. p.521]  </ref>,plano de polarización]]
  
 
En la figura 2 se muestra una onda transversal linealmente polarizada, se muestra  el plano de polarización como ya se estableció anteriormente este plano es el formado por la oscilación del campo eléctrico y la dirección de propagación de la onda.
 
En la figura 2 se muestra una onda transversal linealmente polarizada, se muestra  el plano de polarización como ya se estableció anteriormente este plano es el formado por la oscilación del campo eléctrico y la dirección de propagación de la onda.
  
 
==Polarización Lineal==  
 
==Polarización Lineal==  
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Imaginemos dos ondas de luz armónica<ref>E Hetch.  
 
Imaginemos dos ondas de luz armónica<ref>E Hetch.  
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<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x \Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad , </math></center>
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<center><math>\mathbf\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x \Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad , </math></center>
 
 
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
 
 
 
 
 
donde <math>\varepsilon </math>  es la diferencia de fase y <math>\varphi = (kz - \omega t) </math> es la fase con la misma dependencia espacio temporal ...
 
  
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<center><math>\mathbf\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
  
  
<math>\varepsilon = </math> diferencia de fase y <math>\varphi = (kz - \omega t) = </math> es la fase con la misma dependencia espacio temporal.
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donde <math>\varepsilon </math> es la diferencia de fase y <math>\varphi = (kz - \omega t) </math> es la fase con la misma dependencia espacio temporal.
  
 
Donde la perturbación óptica resultante es la suma vectorial de estas dos ondas  perpendiculares   
 
Donde la perturbación óptica resultante es la suma vectorial de estas dos ondas  perpendiculares   
  
<math>\Epsilon (z,t) =\Epsilon_y (z,t) + \Epsilon_x (z,t) </math>
+
<math>\mathbf\Epsilon (z,t) =\mathbf\Epsilon_y (z,t) + \mathbf\Epsilon_x (z,t) </math>
  
 
si<math>\varepsilon  = 0</math> o múltiplo entero de  <math>\varepsilon  = \pm 2\pi </math>
 
si<math>\varepsilon  = 0</math> o múltiplo entero de  <math>\varepsilon  = \pm 2\pi </math>
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La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como
 
La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como
  
<math>\Epsilon = ( \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x  + \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y) \cos (kz - \omega t) </math>
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<math>\mathbf\Epsilon = ( \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x  + \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y) \cos (kz - \omega t) </math>
  
 
   
 
   
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<center><math>\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+n\pi ) \qquad n =( \pm 1 ,\pm 2, \pm 3..... </math></center>
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<center><math>\mathbf\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+n\pi ) \qquad n =( \pm 1 ,\pm 2, \pm 3..... </math></center>
 
[[Imagen:Imagen11.png|thumb|rigth|280x280px|fig.4 polarización lineal]]
 
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<math>\Epsilon_y (z,t) =- \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t ) </math>
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<math>\mathbf\Epsilon_y (z,t) =- \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t ) </math>
 
   
 
   
 
La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como
 
La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como
  
  
<math>\Epsilon = ( \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x  - \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y) \cos (kz - \omega t) </math>
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<math>\mathbf\Epsilon = ( \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x  - \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y) \cos (kz - \omega t) </math>
  
 
Esta de nuevo es linealmente polarizada pero se ha girado en el plano de vibración respecto a la condición anterior.
 
Esta de nuevo es linealmente polarizada pero se ha girado en el plano de vibración respecto a la condición anterior.
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[[Image:imagenA.png|left|200px|thumb|fig.5 Polarización lineal; Onda resultante ]]
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Optica.
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Addison Weseley, 3ra edition, 2000.</ref>, Polarización lineal; Onda resultante ]]
  
  
 
En la figura 7 se muestra la perturbación óptica resultante  de la superposición de las dos ondas planas transversales mencionadas con su desfase <math>\varepsilon</math> .
 
En la figura 7 se muestra la perturbación óptica resultante  de la superposición de las dos ondas planas transversales mencionadas con su desfase <math>\varepsilon</math> .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
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[[Imagen:Polarisation rectiligne.gif|400x400px|thumb|fig.6 polarización lineal]]
 
[[Imagen:Polarisation rectiligne.gif|400x400px|thumb|fig.6 polarización lineal]]
[[Image: Linear_polarization_schematic.png|left|100px|thumb|fig.5 Diagrama de polarización lineal]]
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[[Image: Linear_polarization_schematic.png|left|100px|thumb|fig.5 <ref>http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n </ref> Diagrama de polarización lineal]]
  
  
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<math>\Epsilon_0x =\Epsilon_0y = \Epsilon_0 </math>
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<math>\mathbf{E}_0x =\mathbf{E}_0y = \mathbf{E}_0 </math>
 
    
 
    
 
Y además su diferencia de fase relativa
 
Y además su diferencia de fase relativa
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es decir  
 
es decir  
 
    
 
    
<math>\varepsilon= (- \frac{\pi}{2}+2m\pi) \qquad \qquad m =( 0,\pm 1 ,\pm 2, \pm 3.....  </math>
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<math>\mathbf{\varepsilon}= (- \frac{\pi}{2}+2m\pi) \qquad \qquad m =( 0,\pm 1 ,\pm 2, \pm 3.....  </math>
  
<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
+
<center><math>\mathbf{\Epsilon_x} (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
  
  
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
  
 
   
 
   
 
Reescribimos
 
Reescribimos
  
<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad  </math></center>
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<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad  </math></center>
  
  
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz - \omega t)</math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz - \omega t)</math></center>
 
   
 
   
 
La ecuación de la onda queda
 
La ecuación de la onda queda
  
  
<math>\Epsilon =\Epsilon_0 ( \hat{\mathbf{e}}_x \cos (kz - \omega t)+\hat{\mathbf{e}}_y\sin (kz - \omega t) )  </math>
+
<math>\mathbf{E} =\mathbf{E}_0 ( \hat{\mathbf{e}}_x \cos (kz - \omega t)+\hat{\mathbf{e}}_y\sin (kz - \omega t) )  </math>
  
 
   
 
   
Podemos observar que la amplitud escalar <math>\Epsilon = \sqrt{\Epsilon \cdot \ \Epsilon }= \Epsilon_0</math>
+
Podemos observar que la amplitud escalar <math>\mathbf{\Epsilon} = \sqrt{\Epsilon \cdot \ \Epsilon }= \Epsilon_0</math>
  
  
<math>\Epsilon = \sqrt{\Epsilon \cdot \ \Epsilon }=(\Epsilon_0^2 \cos^2 (kz - \omega t)+\Epsilon_0^2 \sin^2 (kz - \omega t))^\frac{1}{2} </math>
+
<math>\mathbf{E} = \sqrt{\Epsilon \cdot \ \Epsilon }=(\Epsilon_0^2 \cos^2 (kz - \omega t)+\Epsilon_0^2 \sin^2 (kz - \omega t))^\frac{1}{2} </math>
  
  
Línea 264: Línea 217:
  
  
<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz) \quad  </math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz) \quad  </math></center>
  
  
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz)</math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz)</math></center>
  
  
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<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x </math></center>
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<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x </math></center>
  
  
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y0</math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y0</math></center>
 
   
 
   
  
Línea 284: Línea 237:
 
Podemos notar que el vector  resultante para  un tiempo uno <math>t=0</math> se encuentra entre los ejes <math>x, y</math> positivos y el vector resultante para un tiempo dos  <math>t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math> se encuentra  sobre el eje <math>x</math>  entonces  el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el sentido de la manecillas de el reloj  con una frecuencia angular <math>\omega</math>  vista  por un observador hacia quien  la onda se esta moviendo.
 
Podemos notar que el vector  resultante para  un tiempo uno <math>t=0</math> se encuentra entre los ejes <math>x, y</math> positivos y el vector resultante para un tiempo dos  <math>t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math> se encuentra  sobre el eje <math>x</math>  entonces  el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el sentido de la manecillas de el reloj  con una frecuencia angular <math>\omega</math>  vista  por un observador hacia quien  la onda se esta moviendo.
 
Esta onda se dice  que  tiene polarización  circular a la derecha.
 
Esta onda se dice  que  tiene polarización  circular a la derecha.
 
 
 
  
 
=== Polarización Circular a Izquierdas ===
 
=== Polarización Circular a Izquierdas ===
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Entonces   
 
Entonces   
  
<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
  
  
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
  
  
 
   
 
   
 
Se pude reescribir como  
 
Se pude reescribir como  
<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad  </math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad  </math></center>
  
  
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = - \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz - \omega t)</math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = - \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz - \omega t)</math></center>
 
   
 
   
 
La ecuación de la onda queda como  
 
La ecuación de la onda queda como  
  
<math>\Epsilon =\Epsilon_0 ( \hat{\mathbf{e}}_x \cos (kz - \omega t)-\hat{\mathbf{e}}_y\sin (kz - \omega t) )  </math>
+
<math>\mathbf{E} =\mathbf{E}_0 ( \hat{\mathbf{e}}_x \cos (kz - \omega t)-\hat{\mathbf{e}}_y\sin (kz - \omega t) )  </math>
  
  
Línea 330: Línea 280:
 
Tenemos las siguientes ecuaciones  
 
Tenemos las siguientes ecuaciones  
  
<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz) \quad  </math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz) \quad  </math></center>
  
  
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = -\hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz)</math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = -\hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz)</math></center>
  
 
para un tiempo <math>t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math>
 
para un tiempo <math>t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math>
  
<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x </math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x </math></center>
  
  
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = -\hat{\mathbf{e}}_y0</math></center>
+
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = -\hat{\mathbf{e}}_y0</math></center>
 
   
 
   
  
Línea 358: Línea 308:
 
Recordemos que las siguientes figuras muestran la variación del vector de campo eléctrico (azul) con el tiempo (el eje vertical), con sus componentes X e Y (roja/izquierda y verde/derecha), y la trayectoria trazada por la punta del vector en el plano (púrpura).  
 
Recordemos que las siguientes figuras muestran la variación del vector de campo eléctrico (azul) con el tiempo (el eje vertical), con sus componentes X e Y (roja/izquierda y verde/derecha), y la trayectoria trazada por la punta del vector en el plano (púrpura).  
  
[[Imagen:Polarisation circulaire.gif|300x300px|thumb|fig.8 polarización circular]]
+
[[Imagen:Polarisation circulaire.gif|300x300px|thumb|fig.7 polarización circular]]
  
[[Image: Circular_polarization_schematic.png|990x990px|thumb|left|fig.8 Diagrama de polarización circular]]
+
[[Image: Circular_polarization_schematic.png|990x990px|thumb|left|fig.8<ref>http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n</ref>, Diagrama de polarización circular]]
  
  
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[[Imagen:Polarisation elliptique.gif|700x900px|thumb|polarización eliptica]]
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[[Imagen:Polarisation elliptique.gif|700x900px|thumb|fig.9 polarización eliptica]]
  
[[Image:Elliptical_polarization_schematic.png|700px|thumb|left|Diagrama de polarización elíptica]]
+
[[Image:Elliptical_polarization_schematic.png|700px|thumb|left|fig.10 <ref>http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n </ref>, Diagrama de polarización elíptica]]
  
  
Línea 478: Línea 428:
  
  
<center><math>\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
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<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
 
 
<center><math>\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
 
 
 
<math>\varepsilon =</math> diferencia de fase
 
 
 
  
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<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
  
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donde <math>\varepsilon =</math> es la diferencia de fase y <math>\varphi = (kz - \omega t)</math> es la fase.
 
Donde<math>\varphi = (kz - \omega t)</math> es la fase    
 
 
 
 
   
 
   
 
Para simplificar  los cálculos a realizar  reescribimos las ecuaciones anteriores  
 
Para simplificar  los cálculos a realizar  reescribimos las ecuaciones anteriores  
  
  
<center><math>\Epsilon_x = \Epsilon_0x \cos (\varphi) \quad . </math></center>
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<center><math>\mathbf{E}_x = \Epsilon_0x \cos (\varphi) \quad . </math></center>
  
<center><math>\Epsilon_y = \Epsilon_0y \cos (\varphi+\varepsilon)</math></center>
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<center><math>\mathbf{E}_y = \Epsilon_0y \cos (\varphi+\varepsilon)</math></center>
  
 
Dividiendo ambos lados entre <math>\Epsilon_0x</math> y <math>\Epsilon_0y</math> respectivamente tenemos que
 
Dividiendo ambos lados entre <math>\Epsilon_0x</math> y <math>\Epsilon_0y</math> respectivamente tenemos que
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Revisión actual - 16:30 20 jun 2008

[1]POLARIZACIÓN



Introducción



La polarización electromagnética es un fenómeno que puede producirse en las ondas electromagnéticas, como la luz, por el cual el campo eléctrico oscila en un plano determinado, denominado plano de polarización. Este plano puede definirse por dos vectores, uno de ellos paralelo a la dirección de propagación de la onda y otro perpendicular a esa misma dirección. En una onda electromagnética sin polarizar, al igual que en cualquier otro tipo de onda transversal sin polarizar, las oscilaciones se producen en todas las direcciones normales a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales, como las ondas sonoras, no pueden ser polarizadas porque su oscilación se produce en la misma dirección que su propagación.

Una onda electromagnética es una onda transversal compuesta por un campo eléctrico y un campo magnético simultáneamente. Ambos campos oscilan perpendicularmente entre sí según las ecuaciones de Maxwell.


Para explicar el fenómeno de la polarización vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal entonces tomamos las ecuaciones de Maxwell las cuales establecen la existencia de ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta por campos eléctricos y magnéticos que son perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).(véase también soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional)

\( \frac{\partial^2\Epsilon}{\partial z^2} = \frac{1}{\mathrm{v}^2} \frac{\partial^2\Epsilon}{\partial t^2}\)


\( \frac{\partial^2\Beta}{\partial z^2} = \frac{1}{\mathrm{v}^2} \frac{\partial^2\Beta}{\partial t^2} \)

La solución mas simple a las ecuaciones anteriores es una onda sinodal para las cuales las magnitudes de campo E y B varían en función de \((z,t)\) de acuerdo con las expresiones.

\(\Epsilon (z,t) = \Epsilon \cos (kz - \omega t) \)
\(\Beta (z,t) = \Beta \cos (kz - \omega t) \,\!\)


Habitualmente se decide por convenio que para el estudio de la polarización se atienda exclusivamente al campo eléctrico, ignorando el campo magnético, ya que el vector de campo magnético puede obtenerse a partir del vector de campo eléctrico, pues es perpendicular y proporcional a él.


Como objetivo demostraremos que bajo ciertas condiciones estas ondas transversales con vectores de campo eléctrico en todas las direcciones transversales pueden ser polarizadas de diversas formas. Esto quiere decir que sólo ciertas orientaciones de los vectores del campo eléctrico están presentes en la onda polarizada.

Polarización de ondas luminosas



Un haz de luz está formado por un gran número de ondas emitidas por los átomos de la fuente luminosa. Cada átomo produce una onda que tiene una orientación particular del campo eléctrico. La dirección de polarización de cada una de estas ondas se define como la dirección en la que vibra su campo eléctrico.

Consideremos la onda resultante del haz de luz que es una superposición de ondas en las que sus campos eléctricos que vibran en muchas direcciones distintas. El resultado de un rayo no polarizado se ilustra en la figura 1 La dirección de propagación es perpendicular a la pantalla. Las flechas muestran unas cuantas direcciones posibles de los vectores del campo eléctrico conforman el has resultante.


fig.1, polarización lineal


Podemos definir uno onda linealmente polarizada[2] si en todo momento el campo eléctrico resultante E vibra lo misma dirección en un punto en particular. El plano formado por E y la dirección de propagación se conoce como plano de polarización de la onda.

fig.2 [3],plano de polarización

En la figura 2 se muestra una onda transversal linealmente polarizada, se muestra el plano de polarización como ya se estableció anteriormente este plano es el formado por la oscilación del campo eléctrico y la dirección de propagación de la onda.

Polarización Lineal

Imaginemos dos ondas de luz armónica[4],linealmente polarizadas, de la misma frecuencia, moviéndose en la misma dirección. Si sus vectores de campo eléctrico son coloniales las perturbaciones superpuestas se combinaran simplemente para formar una onda resultante lineal mente polarizada. Por otro lado si las dos ondas de luz son tales que la dirección de sus campos eléctricos respectivos son perpendiculares entre si, la onda resultante puede o no ser linealmente polarizada Se puede representar las dos perturbaciones ópticas ortogonales ya consideradas antes como:


\(\mathbf\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x \Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad , \)
\(\mathbf\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)\)


donde \(\varepsilon \) es la diferencia de fase y \(\varphi = (kz - \omega t) \) es la fase con la misma dependencia espacio temporal.

Donde la perturbación óptica resultante es la suma vectorial de estas dos ondas perpendiculares

\(\mathbf\Epsilon (z,t) =\mathbf\Epsilon_y (z,t) + \mathbf\Epsilon_x (z,t) \)

si\(\varepsilon = 0\) o múltiplo entero de \(\varepsilon = \pm 2\pi \)

fig.3 polarización lineal




La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como

\(\mathbf\Epsilon = ( \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x + \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y) \cos (kz - \omega t) \)


La resultante será un una onda definida por un vector de dirección fija y de amplitud oscilante, esta onda también es linealmente polarizada

Ahora supongamos que \( \varepsilon = \) multiplo entero impar de \( \pi \)

La onda en la dirección \(y\) queda



\(\mathbf\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+n\pi ) \qquad n =( \pm 1 ,\pm 2, \pm 3..... \)
fig.4 polarización lineal

La podemos reescribir como


\(\mathbf\Epsilon_y (z,t) =- \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t ) \)

La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como


\(\mathbf\Epsilon = ( \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x - \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y) \cos (kz - \omega t) \)

Esta de nuevo es linealmente polarizada pero se ha girado en el plano de vibración respecto a la condición anterior.

La orientación de la dirección de polarización en el plano (x, y) depende del coeficiente


\(\tan (\alpha)= \frac{\Epsilon_oy}{\Epsilon_ox}\)


fig.5 [5], Polarización lineal; Onda resultante


En la figura 7 se muestra la perturbación óptica resultante de la superposición de las dos ondas planas transversales mencionadas con su desfase \(\varepsilon\) .


Generalización de Polarización Lineal




Las siguientes figuras representan la polarización lineal,la figura 5 muestran la variación del vector de campo eléctrico (azul) con el tiempo (el eje vertical), con sus componentes X e Y (roja/izquierda y verde/derecha), y la figura 6 muestra la trayectoria trazada por la punta del vector en el plano (púrpura). corresponde a la polarización lineal.

fig.6 polarización lineal
fig.5 [6] Diagrama de polarización lineal



En la figura de la derecha, la polarización es lineal y la oscilación el plano perpendicular a la dirección de propagación se produce a lo largo de una línea recta. Se puede representar cada oscilación descomponiéndola en dos ejes X e Y. La polarización lineal se produce cuando ambas componentes están en fase (con un ángulo de desfase nulo, cuando ambas componentes alcanzan sus máximos y mínimos simultáneamente) o en contratase (con un ángulo de desfase de 180º, cuando cada una de las componentes alcanza sus máximos cuando la otra alcanza sus mínimos). La relación entre las amplitudes de ambas componentes determina la dirección de la oscilación, que es la dirección de la polarización lineal.

Polarización Circular

Polarización Circular a Derechas

Otro caso especial de interés particular aparece cuando ambas ondas constituidas tiene igual amplitud Es decir


\(\mathbf{E}_0x =\mathbf{E}_0y = \mathbf{E}_0 \)

Y además su diferencia de fase relativa


\(\varepsilon= (- \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{2},\frac{11\pi}{2})\)

es decir

\(\mathbf{\varepsilon}= (- \frac{\pi}{2}+2m\pi) \qquad \qquad m =( 0,\pm 1 ,\pm 2, \pm 3..... \)

\(\mathbf{\Epsilon_x} (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . \)


\(\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)\)


Reescribimos

\(\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad \)


\(\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz - \omega t)\)

La ecuación de la onda queda


\(\mathbf{E} =\mathbf{E}_0 ( \hat{\mathbf{e}}_x \cos (kz - \omega t)+\hat{\mathbf{e}}_y\sin (kz - \omega t) ) \)


Podemos observar que la amplitud escalar \(\mathbf{\Epsilon} = \sqrt{\Epsilon \cdot \ \Epsilon }= \Epsilon_0\)


\(\mathbf{E} = \sqrt{\Epsilon \cdot \ \Epsilon }=(\Epsilon_0^2 \cos^2 (kz - \omega t)+\Epsilon_0^2 \sin^2 (kz - \omega t))^\frac{1}{2} \)


\( \quad =(\Epsilon_0^2 (\cos^2 (kz - \omega t)+ \sin^2 (kz - \omega t)))^\frac{1}{2}\)


\( \quad =(\Epsilon_0^2 )^\frac{1}{2} = \Epsilon_0\)

Donde \(\Epsilon_0 \)


es una constante, pero la dirección de \(E\) es variable con el tiempo y no esta restringida como antes a un solo plano

Mantenemos un punto arbitrario \(Z_0\) y hacemos variar el tiempo, escojamos dos puntos arbitrarios \(t=0\) , \(\textstyle t= \frac{KZ_0}{\omega}\) Evaluando estos puntos en la ecuación de onda obtenemos las siguientes ecuaciones para \(t=0\)


\(\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz) \quad \)


\(\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz)\)


para un tiempo \(t= \textstyle \frac{KZ_0}{\omega}\)


\(\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \)


\(\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y0\)



Podemos notar que el vector resultante para un tiempo uno \(t=0\) se encuentra entre los ejes \(x, y\) positivos y el vector resultante para un tiempo dos \(t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}\) se encuentra sobre el eje \(x\) entonces el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el sentido de la manecillas de el reloj con una frecuencia angular \(\omega\) vista por un observador hacia quien la onda se esta moviendo. Esta onda se dice que tiene polarización circular a la derecha.

Polarización Circular a Izquierdas

En otro caso si el desfase es

\(\varepsilon= (\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2}.......)\)


es decir

\(\varepsilon= (\frac{\pi}{2}+2m\pi) \qquad \qquad m =( 0,\pm 1 ,\pm 2, \pm 3..... \)



Entonces

\(\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . \)


\(\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)\)


Se pude reescribir como

\(\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad \)


\(\mathbf{E}_y (z,t) = - \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz - \omega t)\)

La ecuación de la onda queda como

\(\mathbf{E} =\mathbf{E}_0 ( \hat{\mathbf{e}}_x \cos (kz - \omega t)-\hat{\mathbf{e}}_y\sin (kz - \omega t) ) \)


Nuevamente mantenemos un punto arbitrario hacemos variar el tiempo, escojamos dos puntos arbitrarios \(t=0\) , \(t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}\)


Tenemos las siguientes ecuaciones

\(\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz) \quad \)


\(\mathbf{E}_y (z,t) = -\hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz)\)

para un tiempo \(t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}\)

\(\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \)


\(\mathbf{E}_y (z,t) = -\hat{\mathbf{e}}_y0\)




Para este caso notamos que el vector resultante para un tiempo uno \(t=\textstyle 0\) se encuentra entre los ejes \(x\) positivo y \(y\) negativo el vector resultante para un tiempo dos \(\quad t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}\) se encuentra sobre el eje \(x\) entonces el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el conta de las manecillas de el reloj con una frecuencia angular \(\omega\) . Esta onda se dice que tiene polarización circular a izquierda.

Generalización de Polarización Circular



Recordemos que las siguientes figuras muestran la variación del vector de campo eléctrico (azul) con el tiempo (el eje vertical), con sus componentes X e Y (roja/izquierda y verde/derecha), y la trayectoria trazada por la punta del vector en el plano (púrpura).

fig.7 polarización circular
fig.8[7], Diagrama de polarización circular



















En la figura las dos componentes ortogonales tienen exactamente la misma amplitud y están desfasados exactamente 90º. En este caso una componente se anula cuando la otra componente alcanza en su amplitud máxima o mínima. Existen dos relaciones posibles que satisfacen esta exigencia, de forma que la componente x puede estar 90º adelantada o retrasada respecto a la componente y.. El sentido (horario o antihorario) en el que gira el campo eléctrico depende de cuál de estas dos relaciones se dé. En este caso especial la trayectoria trazada en el plano por la punta del vector de campo eléctrico tiene la forma de una circunferencia, por lo que en este caso se habla de polarización circular.


Polarización Elíptica



fig.9 polarización eliptica
fig.10 [8], Diagrama de polarización elíptica



Polarización Elíptica

En la figura se representa la polarización elíptica. Este tipo de polarización corresponde a cualquier otro caso diferente a los anteriores, es decir, las dos componentes tienen distintas amplitudes y el ángulo de desfase entre ellas es diferente a 0º y a 180º (no están en fase ni en contrafase).


Ecuación general de la polarización elíptica


\(\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \cos \varepsilon = \sin^2 \varepsilon \)

Descripción formal de la polarización


Análisis Geométrico




Para describir la polarización de una manera más general, primero recordemos un poco de geometría: Pretendemos llegar de ecuaciones para métricas de un círculo o una elipse a sus ecuaciones formales Tomemos la ecuaciones para métricas para \( x, y\)

\(x= rcos\theta\)

\(y= rsin\theta\)


Reescribimos


\( \frac{x}{r}= rcos\theta\)

\(\frac{y}{r}= rsin\theta\)

\( \left ( \frac{x}{r} \right )^2 = cos^2 \theta\)

\(\left ( \frac{y}{r} \right )^2 = sin^2 \theta\)


Elevando al cuadrado ambos miembros y sumándolos tenemos


\( \left ( \frac{x}{r} \right )^2 +\left ( \frac{y}{r} \right )^2 = cos^2 \theta + sin^2 \theta \)

si \(a=b\) tenemos la ecuación forma de un circulo de radio \(a\)

si \(a\ne b\) tenemos la ecuación forma de una elipse

Análisis con Ondas Transversales




Para realizar el tratamiento de la descripción matemática formal de la polarización realizaremos un tratamiento similar al anterior.

Sean las ondas planas transversales


\(\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . \)
\(\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)\)

donde \(\varepsilon =\) es la diferencia de fase y \(\varphi = (kz - \omega t)\) es la fase.

Para simplificar los cálculos a realizar reescribimos las ecuaciones anteriores


\(\mathbf{E}_x = \Epsilon_0x \cos (\varphi) \quad . \)
\(\mathbf{E}_y = \Epsilon_0y \cos (\varphi+\varepsilon)\)

Dividiendo ambos lados entre \(\Epsilon_0x\) y \(\Epsilon_0y\) respectivamente tenemos que

\(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} = \cos (\varphi) \quad \textstyle ......... (1) \)


\(\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} = \cos (\varphi+\varepsilon).\textstyle ........ (2)\)

También la podemos escribir como utilizando la identidad trigonométrica.


\(\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} = \cos (\varphi) \cos (\varepsilon) - \sin (\varphi) \sin (\varepsilon)\textstyle ......... (3)\)

Sustituimos la \(ec(1 )\) en \(ec(3)\)

\(\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} = \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos (\varepsilon) - \sin (\varphi) \sin (\varepsilon)\textstyle ......... (5)\)


Por otro lado multiplicamos la ec(1) por \(\sin \varepsilon\) tenemos que


\(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \sin \varepsilon = \sin (\varepsilon )\cos (\varphi) \quad \textstyle ......... (6) \)

Elevando estas dos ultimas ecuaciones al cuadrado


\(\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 = \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon\sin \varphi \sin \varepsilon+sin^2 \varphi \sin^2 \varepsilon......... (7)\)

\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon = \sin^2 \varepsilon \cos^2 \varphi \quad ......... (8) \)

Sumandolas se obtiene


\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 = \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon\sin \varphi \sin \varepsilon + \sin^2 \varepsilon (\cos^2 \varphi+ sin^2 \varphi )\)

\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 = \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon\sin \varphi \sin \varepsilon + \sin^2 \)


Esta ecuación la igualamos a


\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 - \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon + 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon\sin \varphi \sin \varepsilon = \sin^2 \varepsilon......... (9) \)

Factorizando el tercer y cuarto miembro de la ecuación tenemos que


\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 + \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon ( \sin \varphi \sin \varepsilon -\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon) = \sin^2 \varepsilon......... (10) \)

Por otro lado de la ecuación \((5)\) despejamos y multiplicamos por dos para dejar todo en términos de los campos eléctricos.


\( 2 \sin \varphi \sin \varepsilon = 2 \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}\)


\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 + \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon ( 2 \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}-\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon) = \sin^2 \varepsilon ......... (11)\)

Reducimos términos semejantes


\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 + \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon ( \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}) = \sin^2 \varepsilon \)

\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} = \sin^2 \varepsilon ......... (12)\)

Factorizando primer y tercer miembro


\(\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 (\cos^2 \varepsilon +\sin^2 \varepsilon ) - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} = \sin^2 \varepsilon \)

\(\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} = \sin^2 \varepsilon \)


Llegamos a la ecuación general de la elipse


\(\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \cos \varepsilon = \sin^2 \varepsilon......... (13) \)


si \( \quad \varepsilon =0\) tenemos que


\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 -2 \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}=0 \)


Recordemos que \(\quad \varepsilon\) es el desfase de las dos ondas transversales planas que se superponen .La podemos factorizar quedando como.


\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}- \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 =0 \)


Esta es la ecuación de una recta la cual expresa la polarización lineal


\(\textstyle \Epsilon_x = \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}\Epsilon_0x ......... (13) \)

si\(\varepsilon = 0\) o múltiplo entero de \(\varepsilon = \pm \pi \) y \(\Epsilon (z,t) =\Epsilon_y (z,t) + \Epsilon_x (z,t) \)


Resulta la ecuación general del círculo

\(\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right )^2 =1......... (14) \)


Podemos notar que en este desfase que se deduce de esta ecuación coincide con los ya mencionadas anteriormente.

[9]

Referencias




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  2. Física Raymond A.Serway . Volumen II[cap. p.521]
  3. Física Raymond A.Serway . Volumen II[cap. p.521]
  4. E Hetch. Optica. Addison Weseley, 3ra edition, 2000.
  5. E Hetch. Optica. Addison Weseley, 3ra edition, 2000.
  6. http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n
  7. http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n
  8. http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n
  9. F.G.Smith y J.H Thompson [cap. p.102-107]