Diferencia entre revisiones de «Ondas: vectoriales»

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'''POLARIZACIÓN'''  
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== Introducción ==
== Introducción ==


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La polarización electromagnética es un fenómeno que puede producirse en las ondas electromagnéticas, como la luz, por el cual el campo eléctrico oscila en un plano determinado, denominado plano de polarización. Este plano puede definirse por dos vectores, uno de ellos paralelo a la dirección de propagación de la onda y otro perpendicular a esa misma dirección. En una onda electromagnética sin polarizar, al igual que en cualquier otro tipo de onda transversal sin polarizar, las oscilaciones se producen en todas las direcciones normales a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales, como las ondas sonoras, no pueden ser polarizadas porque su oscilación se produce en la misma dirección que su propagación.
Una onda electromagnética es una onda transversal compuesta por un campo eléctrico y un campo magnético simultáneamente. Ambos campos oscilan perpendicularmente entre sí según las ecuaciones de Maxwell.
Para explicar el fenómeno de la polarización  vamos a tomar a la luz como modelo  ya que esta se comporta como una onda transversal  entonces tomamos  las ecuaciones de Maxwell las cuales  establecen la existencia de  ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta  por  campos eléctricos  y magnéticos  que son  perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).(véase también soluciones individuales de [[Ondas: ecuación de onda # La Ecuación diferencial de onda tridimensional | la ecuación diferencial de onda tridimensional]])
<math>  \frac{\partial^2\Epsilon}{\partial z^2} = \frac{1}{\mathrm{v}^2} \frac{\partial^2\Epsilon}{\partial t^2}</math>
<math>  \frac{\partial^2\Beta}{\partial z^2} = \frac{1}{\mathrm{v}^2} \frac{\partial^2\Beta}{\partial t^2} </math>


Para explicar este  la polarización  vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal:  entonces tomamos  las ecuaciones de Maxwell las cuales  establecen la existencia de  ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta  por  campos eléctricos y magnéticos  que son  perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).
La solución mas simple a las ecuaciones anteriores es una onda sinodal para las cuales  las  magnitudes de campo E y B varían en función de <math>(z,t)</math>  de acuerdo con las expresiones.


<math>\sqrt{2}</math>
<center><math>\Epsilon (z,t) = \Epsilon \cos (kz - \omega t) </math></center>


La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como ''teorema de Fourier'' que establece que ''una función <math>\textstyle{f(x)}</math> con un periodo espacial ''<math>\textstyle\lambda</math>'' puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de ''<math>\textstyle\lambda</math>'' (es decir, ''<math>\textstyle\lambda</math>'',<math>\textstyle\frac{\lambda}{2}</math>,<math>\textstyle\frac{\lambda}{3}</math>, etc)''. La fórmula matemática de esta representación en serie de Fourier es:
<center><math>\Beta (z,t) = \Beta \cos (kz - \omega t) \,\!</math></center>
<center><math>f(x)=C_{0}+C_{1}cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x+ \varepsilon_1\right)+C_{2}cos\left(\frac{2\pi}{\frac{\lambda}{2}}x+ \varepsilon_2\right)+...    (1) </math></center>




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Habitualmente se decide por convenio que para el estudio de la polarización se atienda exclusivamente al campo eléctrico, ignorando el campo magnético, ya que el vector de campo magnético puede obtenerse a partir del vector de campo eléctrico, pues es perpendicular y proporcional a él.




donde los valores <math>C</math> son constantes, y por supuesto, el perfil <math>f(x)</math> puede corresponder a una onda viajera <math>f(x-vt)</math>
Como objetivo  demostraremos  que bajo ciertas condiciones estas ondas transversales con vectores de campo eléctrico en todas las direcciones  transversales pueden ser polarizadas de diversas formas.
Esto quiere decir que sólo ciertas orientaciones de los vectores del campo eléctrico están presentes en la onda polarizada.


== Polarización de ondas luminosas ==
== Polarización de ondas luminosas ==


-------------------------------


<math> \frac{\partial^2\Psi}{\partial\mathbf{x}^2}+ \frac{\partial^2\Psi}{\partial\mathbf{y}^2}+ \frac{\partial^2\Psi}{\partial\mathbf{z}^2} = \frac{1}{\mathrm{v}^2} \frac{\partial^2\Psi}{\partial\mathbf{t}^2} </math>
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Un haz de luz está  formado por un gran número de ondas  emitidas por los átomos de la fuente luminosa. Cada átomo produce una onda que tiene una orientación particular del campo eléctrico.
La dirección de polarización de cada una  de estas ondas se define como la dirección en la que vibra su campo eléctrico.
 
Consideremos  la onda resultante del haz de luz que es una superposición de ondas en las que sus campos eléctricos que vibran en muchas direcciones distintas.
El resultado de un rayo no polarizado se ilustra en la figura 1
La dirección de propagación es perpendicular a la pantalla. Las flechas muestran unas cuantas direcciones posibles de los vectores del campo eléctrico conforman  el  has resultante.
 
 
[[Imagen:Imagen5.png|300x300px|thumb|fig.1, polarización lineal]]
 
 
 
Podemos definir uno onda linealmente polarizada<ref>Física Raymond A.Serway . Volumen II[cap.  p.521]  </ref> si en todo momento el campo eléctrico  resultante E vibra lo misma dirección  en un punto en particular.
El plano formado por E y la dirección de propagación se conoce como plano de polarización de la onda.
 
[[Imagen:Imagen3.png|500x500px|center|thumb|fig.2 <ref>Física Raymond A.Serway . Volumen II[cap. p.521]  </ref>,plano de polarización]]
 
En la figura 2 se muestra una onda transversal linealmente polarizada, se muestra  el plano de polarización como ya se estableció anteriormente este plano es el formado por la oscilación del campo eléctrico y la dirección de propagación de la onda.
 
==Polarización Lineal==
 
Imaginemos dos ondas de luz armónica<ref>E Hetch.
Optica.
Addison Weseley, 3ra edition, 2000.</ref>,linealmente polarizadas, de la misma frecuencia, moviéndose en la misma dirección.
Si sus vectores de campo eléctrico son coloniales las perturbaciones superpuestas se combinaran  simplemente para formar una onda resultante lineal mente polarizada.
Por otro lado si las  dos ondas  de luz son tales  que la dirección  de sus campos eléctricos respectivos son perpendiculares entre si, la onda resultante puede o no ser linealmente polarizada
Se puede representar las dos perturbaciones ópticas ortogonales  ya consideradas antes como:
 
 
 
<center><math>\mathbf\Epsilon_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x \Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad , </math></center>
 
<center><math>\mathbf\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
 
 
donde <math>\varepsilon </math>  es la diferencia de fase y <math>\varphi = (kz - \omega t) </math> es la fase con la misma dependencia espacio temporal.
 
Donde la perturbación óptica resultante es la suma vectorial de estas dos ondas  perpendiculares 
 
<math>\mathbf\Epsilon (z,t) =\mathbf\Epsilon_y (z,t) + \mathbf\Epsilon_x (z,t) </math>
 
si<math>\varepsilon  = 0</math> o múltiplo entero de  <math>\varepsilon  = \pm 2\pi </math>
 
[[Imagen:Imagen10.png|thumb|rigth|280x280px|fig.3 polarización lineal]]
 
 
 
 


Usando el operador ''Laplaciano'' reescribimos la ecuación de onda:


<math> \nabla^2\Psi= \frac{1}{\mathrm{v}^2} \frac{\partial^2\Psi}{\partial\mathbf{t}^2}  </math>
La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como


<math>\mathbf\Epsilon = ( \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x  + \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y) \cos (kz - \omega t) </math>


La resultante será un una onda definida por un vector de dirección fija  y de amplitud oscilante, esta onda también es linealmente polarizada


----------------------------------------------------------
Ahora supongamos que  <math>  \varepsilon = </math> multiplo entero impar de <math>  \pi  </math>


<math>\textbf{k}=k_{x}\hat{\textbf{i}}+k_{y}\hat{\textbf{j}}+k_{z}\hat{\textbf{k}}</math> ........ ............... (2)
La onda en la dirección <math>y</math> queda


la ecuación ...(1)  puede expresarse como


<math> k_{x}(x-x_{0}) + k_{y}(y-y_{0}) + k_{z}(z-z_{0})\hat{ }=0 </math>




o como


<math> k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z \hat{}=0 </math>
<center><math>\mathbf\Epsilon_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+n\pi ) \qquad n =( \pm 1 ,\pm 2, \pm 3..... </math></center>
[[Imagen:Imagen11.png|thumb|rigth|280x280px|fig.4 polarización lineal]]
 
La podemos reescribir como


donde
<math>\mathbf\Epsilon_y (z,t) =- \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t ) </math>
La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como


<math>a = k_{x}x_{0} + k_{y}y_{0} + k_{z}z_{0}\ =constante </math>


La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a '''k''' es entonces
<math>\mathbf\Epsilon = ( \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x  - \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y) \cos (kz - \omega t) </math>


<math>\textbf{k}\cdot\textbf{r}=constante=a</math>
Esta de nuevo es linealmente polarizada pero se ha girado en el plano de vibración respecto a la condición anterior.


El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición tienen cada uno la misma proyección en la dirección de <math>\textbf{k}</math>.
La orientación de la dirección de polarización  en el plano (x, y) depende del coeficiente 


Ahora podemos construir un conjunto de palnos sobre los cuales <math>\psi(\textbf{r})</math> varía de manera sinusoidalen el espacio, es decir


<math>\psi(\textbf{r})=A Sen (\textbf{k}\cdot\textbf{r})</math>


<math>\psi(\textbf{r})=A Cos (\textbf{k}\cdot\textbf{r})</math>
<math>\tan (\alpha)= \frac{\Epsilon_oy}{\Epsilon_ox}</math>    


o


<math>\psi(\textbf{r})=A e^{i\textbf{k}\cdot\textbf{r}} </math>


Por todas estas expresiones  <math>\psi(\textbf{r})</math> se mantiene constante sobre cada plano definido por <math>\textbf{k}\cdot\textbf{r}=constante</math>. Como estamos analizando las funciones armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de <math>\lambda</math> en la dirección de '''k'''. En la figura se representa esta clase de expresión. Del infinito número de planos se han dibujado sólo unos pocos, cada uno con una <math>\psi(\textbf{r})</math> diferente. Los planos deberían también haberse dibujado con una extensión espacial infinita, ya qu no se han puesto límites  a <math>\textbf{r}</math>. La perturbación ocupa claramente todo el espacio.
[[Image:imagenA.png|left|200px|thumb|fig.5 <ref>E Hetch.  
Optica.  
Addison Weseley, 3ra edition, 2000.</ref>, Polarización lineal; Onda resultante ]]


==Polarización lineal==


Sean <math>A</math>, <math>R</math> y <math>T</math> las amplitudes complejas del campo eléctrico
En la figura 7 se muestra la perturbación óptica resultante  de la superposición de las dos ondas planas transversales mencionadas con su desfase <math>\varepsilon</math> .
incidente, reflejado y transmitido.


Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos <math>\mathbf{E}</math>
y <math>\mathbf{H}</math>, asi como la relacién entre ellos para una onda plana<center><math>
\mathbf{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}</math></center>


=== Generalización de Polarización Lineal ===
----


Para una onda TM (transverso eléctrico) plana <center><math>
----
U_{0}=A+R</math></center>
Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en <math>U\left(z=0\right)=U_{0}</math>
existe una onda incidente y una reflejada. Nétese que <math>U</math> es el campo
eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuacién
(5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere
a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales
a los campos.


<center><math>
U\left(z_{l}\right)=T</math></center>
El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe
el argumento de <math>U</math> como <math>z_{1}</math> que es la éltima capa; nosotros
preferimos escribir <math>z_{l}</math> (la éltima capa) donde ya solamente hay
onda transmitida.


\bibliographystyle{alpha}
\bibliography{/home/mfg/acad/ext/ref/libros-doc,/home/mfg/acad/dif/curri/ref-mias/mfg-arti}


Las siguientes figuras representan la polarización lineal,la figura 5 muestran la variación del vector de campo eléctrico (azul) con el tiempo (el eje vertical), con sus componentes X e Y (roja/izquierda y verde/derecha), y la figura 6 muestra la trayectoria trazada por la punta del vector en el plano (púrpura). corresponde a la polarización lineal.


\appendix
[[Imagen:Polarisation rectiligne.gif|400x400px|thumb|fig.6 polarización lineal]]
[[Image: Linear_polarization_schematic.png|left|100px|thumb|fig.5 <ref>http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n </ref> Diagrama de polarización lineal]]


==


La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante
la transformacién <math>U=u\sqrt{\mu}</math>, entonces la primera derivada es<center><math>
\frac{\partial U}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\mu^{-\frac{1}{2}}\frac{\partial\mu}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)</math></center>
mientras que la segunda derivada es<center><math>
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\frac{1}{2}\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)</math></center>
que podemos reagrupar como<center><math>
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\mu^{\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\right]</math></center>
La ecuacién diferencial \eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*}
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\
-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}
que simplifica a<center><math>
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.</math></center>


\end{document}


Solo estoy de curioso pero vamos a ver si entendi bien.
En la figura de la derecha, la polarización es lineal y la oscilación el plano perpendicular a la dirección de propagación se produce a lo largo de una línea recta. Se puede representar cada oscilación descomponiéndola en dos ejes X e Y. La polarización lineal se produce cuando ambas componentes están en fase (con un ángulo de desfase nulo, cuando ambas componentes alcanzan sus máximos y mínimos simultáneamente) o en contratase (con un ángulo de desfase de 180º, cuando cada una de las componentes alcanza sus máximos cuando la otra alcanza sus mínimos). La relación entre las amplitudes de ambas componentes determina la dirección de la oscilación, que es la dirección de la polarización lineal.


== Polarización Circular ==
== Polarización Circular ==
{{commonscat|Polarization}}
*[[Filtro polarizador]]
*[[Óptica]]
Supongamos  <math>\psi_1</math>  y <math>\psi_2</math>    soluciones separadas de la ecuación de onda.
Se deduce que también <math>\psi_1+\psi_2</math>          representa una solución.
Esto se denomina principio de superposición.
Es cierto que  <center> <math>\frac{\partial \psi_1}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_1}{\partial t^{2}}</math>  y  <math>\frac{\partial \psi_2}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_2}{\partial t^{2}}</math> </center>




Sumando estos resulatdos <center>  <math>\frac{\partial \psi_1}{\partial x^{2}}+\frac{\partial \psi_2}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_1}{\partial t^{2}}+\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_2}{\partial t^{2}}</math> </center>


Por lo tanto <center>  <math>\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(\psi_1+\psi_2)=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(\psi_1+\psi_2)</math> </center>


Superposición de ondas  
===Polarización Circular a Derechas===
 
Otro caso especial de interés particular aparece cuando ambas ondas constituidas tiene igual amplitud
Es decir
 
 
<math>\mathbf{E}_0x  =\mathbf{E}_0y  = \mathbf{E}_0 </math>
 
Y además su diferencia de fase relativa
 
 
<math>\varepsilon= (- \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{2},\frac{11\pi}{2})</math>     
 
es decir
 
<math>\mathbf{\varepsilon}= (- \frac{\pi}{2}+2m\pi) \qquad \qquad m =( 0,\pm 1 ,\pm 2, \pm 3.....  </math>
 
<center><math>\mathbf{\Epsilon_x} (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
 
Reescribimos
 
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad  </math></center>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz - \omega t)</math></center>
La ecuación de la onda queda
 
 
<math>\mathbf{E} =\mathbf{E}_0 ( \hat{\mathbf{e}}_x \cos (kz - \omega t)+\hat{\mathbf{e}}_y\sin (kz - \omega t) )  </math>
 
Podemos observar que la amplitud escalar <math>\mathbf{\Epsilon} = \sqrt{\Epsilon \cdot \ \Epsilon }= \Epsilon_0</math>
 
 
<math>\mathbf{E} = \sqrt{\Epsilon \cdot \ \Epsilon }=(\Epsilon_0^2 \cos^2 (kz - \omega t)+\Epsilon_0^2 \sin^2 (kz - \omega t))^\frac{1}{2} </math>
 
 
<math> \quad =(\Epsilon_0^2 (\cos^2 (kz - \omega t)+ \sin^2 (kz - \omega t)))^\frac{1}{2}</math>
 
 
<math> \quad =(\Epsilon_0^2 )^\frac{1}{2} = \Epsilon_0</math>
 
Donde
<math>\Epsilon_0 </math>
 
es una constante, pero la dirección de <math>E</math> es variable con el tiempo  y no esta restringida como antes  a un solo plano
   
Mantenemos un punto arbitrario <math>Z_0</math> y hacemos variar el tiempo, escojamos dos puntos arbitrarios <math>t=0</math> , <math>\textstyle t= \frac{KZ_0}{\omega}</math>
Evaluando estos puntos en la ecuación de onda  obtenemos las siguientes ecuaciones para <math>t=0</math>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz) \quad  </math></center>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz)</math></center>
 
 
para un tiempo <math>t= \textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x </math></center>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y0</math></center>
 
 
Podemos notar que el vector  resultante para  un tiempo uno <math>t=0</math> se encuentra entre los ejes <math>x, y</math> positivos y el vector resultante para un tiempo dos  <math>t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math> se encuentra  sobre el eje <math>x</math>  entonces  el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el sentido de la manecillas de el reloj  con una frecuencia angular <math>\omega</math>  vista  por un observador hacia quien  la onda se esta moviendo.
Esta onda se dice  que  tiene polarización  circular a la derecha.
 
=== Polarización Circular a Izquierdas ===
 
 
 
En otro caso si el desfase es
 
<math>\varepsilon= (\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{9\pi}{2}.......)</math>     
 
 
es decir
 
<math>\varepsilon= (\frac{\pi}{2}+2m\pi) \qquad \qquad m =( 0,\pm 1 ,\pm 2, \pm 3.....  </math>
 
 
 
 
Entonces 
 
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
 
 
Se pude reescribir como
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad  </math></center>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = - \hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz - \omega t)</math></center>
La ecuación de la onda queda como
 
<math>\mathbf{E} =\mathbf{E}_0 ( \hat{\mathbf{e}}_x \cos (kz - \omega t)-\hat{\mathbf{e}}_y\sin (kz - \omega t) )  </math>
 
 
Nuevamente mantenemos un punto arbitrario  hacemos variar el tiempo, escojamos dos puntos arbitrarios <math>t=0</math> , <math>t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math>
 
Tenemos las siguientes ecuaciones


Sea <math>\psi_1(r,t)</math>,<math>\psi_2(r,t)</math>,..........,<math>\psi_n(r,t)</math> soluciones individuales de [[Ondas: ecuación de onda # La Ecuación diferencial de onda tridimencional | la ecuación diferencial de onda tridimensional]].
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz) \quad  </math></center>
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}=\frac{1}{v^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}</math>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = -\hat{\mathbf{e}}_y\Epsilon_0y \sin (kz)</math></center>
 
para un tiempo <math>t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math>
 
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x </math></center>
 
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = -\hat{\mathbf{e}}_y0</math></center>
 
 
 
 
Para este caso notamos que el vector  resultante para  un tiempo uno <math>t=\textstyle 0</math> se encuentra entre los ejes <math>x</math> positivo y <math>y</math> negativo  el vector resultante para un tiempo dos  <math>\quad t=\textstyle \frac{KZ_0}{\omega}</math> se encuentra  sobre el eje <math>x</math>  entonces  el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el conta de las manecillas de el reloj  con una frecuencia angular <math>\omega</math> .
Esta onda se dice  que  tiene polarización  circular a izquierda.
 
=== Generalización de Polarización Circular  ===
 
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Recordemos que las siguientes figuras muestran la variación del vector de campo eléctrico (azul) con el tiempo (el eje vertical), con sus componentes X e Y (roja/izquierda y verde/derecha), y la trayectoria trazada por la punta del vector en el plano (púrpura).
 
[[Imagen:Polarisation circulaire.gif|300x300px|thumb|fig.7 polarización circular]]
 
[[Image: Circular_polarization_schematic.png|990x990px|thumb|left|fig.8<ref>http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n</ref>, Diagrama de polarización circular]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la figura las dos componentes ortogonales tienen exactamente la misma amplitud y están desfasados exactamente 90º. En este caso una componente se anula cuando la otra componente alcanza en su amplitud máxima o mínima. Existen dos relaciones posibles que satisfacen esta exigencia, de forma que la componente x puede estar 90º adelantada o retrasada respecto a la componente y.. El sentido (horario o antihorario) en el que gira el campo eléctrico depende de cuál de estas dos relaciones se dé. En este caso especial la trayectoria trazada en el plano por la punta del vector de campo eléctrico tiene la forma de una circunferencia, por lo que en este caso se habla de polarización circular.
 
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== Polarización  Elíptica ==
== Polarización  Elíptica ==
   
   


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[[Imagen:Polarisation elliptique.gif|700x900px|thumb|fig.9 polarización eliptica]]
[[Image:Elliptical_polarization_schematic.png|700px|thumb|left|fig.10 <ref>http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n </ref>, Diagrama de polarización elíptica]]


<math>\psi(r,t)=</math>








'''Polarización Elíptica'''


En la figura se representa la polarización elíptica. Este tipo de polarización corresponde a cualquier otro caso diferente a los anteriores, es decir, las dos componentes tienen distintas amplitudes y el ángulo de desfase entre ellas es diferente a 0º y a 180º (no están en fase ni en contrafase).


REPRESENTACIÓN COMPLEJA


Ecuación general  de la [[Polarización General# Polarización Elíptica|polarización elíptica]]


<math>\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \cos \varepsilon  = \sin^2 \varepsilon </math>


== Descripción formal de la polarización ==


cualquier número complejo se puede representar como
----
<math>z=Re(z)+iIm(z)</math>


En la forma polar donde <math>Re(z)=rcos\theta</math> y<math>Im=rsen\theta</math>
=== Análisis Geométrico ===


-----------------
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Para describir la polarización de una manera más general, primero recordemos un poco  de geometría:
Pretendemos llegar de ecuaciones para métricas de un círculo o una elipse a sus ecuaciones formales
Tomemos la  ecuaciones para métricas para <math> x, y</math>


Recordemos que la [[ecuación de conservación]] tiene la forma
<math>x= rcos\theta</math>


<math>\nabla \cdot \left( \triangleright \psi_\rho \right) + \frac{\partial }{\partial t} \psi_\rho =0</math>
<math>y= rsin\theta</math>


Para una dimensión espacial, digamos en la dirección ''z'', la ecuación de continuidad es


<math>\frac{\partial }{\partial z} \left( \triangleright \psi_\rho \right) + \frac{\partial }{\partial t} \psi_\rho =0</math>
Reescribimos
 
<math> \frac{x}{r}= rcos\theta</math>
 
<math>\frac{y}{r}= rsin\theta</math>
 
<math> \left ( \frac{x}{r} \right )^2  = cos^2 \theta</math>
 
<math>\left ( \frac{y}{r} \right )^2 = sin^2 \theta</math>
 
Elevando al cuadrado ambos miembros y sumándolos tenemos
 
 
<math> \left ( \frac{x}{r} \right )^2 +\left ( \frac{y}{r} \right )^2 = cos^2 \theta + sin^2 \theta </math>
 
si <math>a=b</math> tenemos la ecuación forma de un circulo de radio <math>a</math>
 
si <math>a\ne b</math> tenemos la ecuación forma de una elipse
 
=== Análisis con Ondas  Transversales  ===
 
----
----
 
 
Para realizar el tratamiento de la descripción matemática formal de la polarización realizaremos un tratamiento similar al anterior.
Sean las ondas planas transversales
 
 
<center><math>\mathbf{E}_x (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_x\Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \quad . </math></center>
 
<center><math>\mathbf{E}_y (z,t) = \hat{\mathbf{e}}_y \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t+\varepsilon)</math></center>
 
donde <math>\varepsilon =</math> es la diferencia de fase y <math>\varphi = (kz - \omega t)</math> es la fase.
Para simplificar  los cálculos a realizar  reescribimos las ecuaciones anteriores
 
 
<center><math>\mathbf{E}_x  = \Epsilon_0x \cos (\varphi) \quad . </math></center>
 
<center><math>\mathbf{E}_y  = \Epsilon_0y \cos (\varphi+\varepsilon)</math></center>
 
Dividiendo ambos lados entre <math>\Epsilon_0x</math> y <math>\Epsilon_0y</math> respectivamente tenemos que
 
<center><math>\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  =  \cos (\varphi) \quad \textstyle ......... (1) </math></center>
 
 
<center><math>\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}  = \cos (\varphi+\varepsilon).\textstyle ........ (2)</math></center>
 
También la podemos escribir como utilizando la identidad trigonométrica.
 
 
<center><math>\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}  = \cos (\varphi) \cos (\varepsilon) - \sin (\varphi) \sin (\varepsilon)\textstyle ......... (3)</math></center>
Sustituimos la <math>ec(1 )</math> en <math>ec(3)</math>
 
<center><math>\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}  = \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos (\varepsilon) - \sin (\varphi) \sin (\varepsilon)\textstyle ......... (5)</math></center>
 
 
Por otro lado multiplicamos la ec(1) por <math>\sin \varepsilon</math> tenemos que
 
 
<center><math>\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \sin \varepsilon  = \sin (\varepsilon )\cos (\varphi) \quad \textstyle ......... (6) </math></center>
 
Elevando estas dos ultimas ecuaciones al cuadrado
 
 
 
<math>\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 = \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon\sin \varphi \sin \varepsilon+sin^2 \varphi \sin^2 \varepsilon......... (7)</math>
 
<math>\textstyle \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon  = \sin^2 \varepsilon \cos^2 \varphi \quad ......... (8) </math>
 
Sumandolas se obtiene
 
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 = \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon\sin \varphi \sin \varepsilon  + \sin^2 \varepsilon (\cos^2 \varphi+ sin^2 \varphi )</math>
 
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 = \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon\sin \varphi \sin \varepsilon  + \sin^2  </math>
 
 
Esta ecuación la igualamos a
 
 
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 - \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon + 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon\sin \varphi \sin \varepsilon  = \sin^2 \varepsilon.........  (9) </math>
 
Factorizando el tercer y cuarto miembro de la ecuación tenemos que
 
 
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 + \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  \cos \varepsilon ( \sin \varphi \sin \varepsilon -\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  \cos \varepsilon)  = \sin^2 \varepsilon......... (10) </math>
 
Por otro lado de la ecuación <math>(5)</math> despejamos y multiplicamos por dos para dejar todo en términos de los campos eléctricos.
 
 
<center><math> 2 \sin \varphi \sin \varepsilon = 2 \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}</math></center>
 
 
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 + \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  \cos \varepsilon ( 2 \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}-\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  \cos \varepsilon)  = \sin^2 \varepsilon ......... (11)</math>
 
Reducimos términos semejantes
 
 
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 + \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  \cos \varepsilon (  \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y})  = \sin^2 \varepsilon </math>
 
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 \sin^2 \varepsilon + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 \cos^2 \varepsilon - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}  = \sin^2 \varepsilon ......... (12)</math>
 
Factorizando primer y tercer miembro
 
 
<math>\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 (\cos^2 \varepsilon +\sin^2 \varepsilon ) - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}  = \sin^2 \varepsilon </math>
 
<math>\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \cos \varepsilon \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}  = \sin^2 \varepsilon </math>
 
 
Llegamos a la ecuación general  de  la elipse
 
 
<math>\textstyle \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 + \left (\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \right )^2 - 2\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}  \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \cos \varepsilon  = \sin^2 \varepsilon......... (13) </math>
 
 
si <math> \quad \varepsilon =0</math> tenemos que
 
 
 
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 -2 \frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x} \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}=0 </math>
 
 
Recordemos que <math>\quad \varepsilon</math> es el desfase de las dos ondas transversales planas que se superponen
.La podemos factorizar quedando como.


== Descripción formal de la polarización ==


Utilizaremos la derivación de Borowitz <ref> S. Borowitz, Fundamentals of Quantum Mechanics, W.A. Benjamin, NY (1967), pp.71-74 </ref>


<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}- \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 =0  </math>




-------------------------
Esta es la ecuación de una recta la cual expresa  la polarización  lineal
----------------------------
-----------------------------
Recordemos que la [[ecuación de conservación]] tiene la forma


<math>\nabla \cdot \left( \triangleright \psi_\rho \right) + \frac{\partial }{\partial t} \psi_\rho =0</math>


Para una dimensión espacial, digamos en la dirección ''z'', la ecuación de continuidad es
<math>\textstyle \Epsilon_x = \frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y}\Epsilon_0x ......... (13)  </math>


<math>\frac{\partial }{\partial z} \left( \triangleright \psi_\rho \right) + \frac{\partial }{\partial t} \psi_\rho =0</math>
si<math>\varepsilon  = 0</math> o múltiplo entero de  <math>\varepsilon  = \pm \pi </math>
------------------
y  <math>\Epsilon (z,t) =\Epsilon_y (z,t) + \Epsilon_x (z,t) </math>
----------------




Resulta la  ecuación general del círculo


Recordemos que la [[ecuación de conservación]] tiene la forma
<math>\textstyle  \left(\frac{\Epsilon_x}{\Epsilon_0x}\right)^2 + \left (\frac{\Epsilon_y}{\Epsilon_0y} \right  )^2 =1......... (14) </math>


<math>\nabla \cdot \left( \triangleright \psi_\rho \right) + \frac{\partial }{\partial t} \psi_\rho =0</math>


Para una dimensión espacial, digamos en la dirección ''z'', la ecuación de continuidad es
Podemos notar que en este desfase que se deduce de esta ecuación coincide con los ya mencionadas anteriormente.


<math>\frac{\partial }{\partial z} \left( \triangleright \psi_\rho \right) + \frac{\partial }{\partial t} \psi_\rho =0</math>
<ref>F.G.Smith y J.H Thompson [cap.  p.102-107]  </ref>


== Energía de una onda ==
=Referencias =


Utilizaremos la derivación de Borowitz <ref> S. Borowitz, Fundamentals of Quantum Mechanics, W.A. Benjamin, NY (1967), pp.71-74 </ref>
-----


=== Ecuación de conservación a partir de la ecuación de onda en 1+1 dimensiones ===


La ecuación de onda para una dimensión espacial es


<math>\frac{\partial ^2\psi }{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2\psi
}{\partial t^2}=0</math>


se multiplica por un factor  <math>\textstyle \frac{\partial \psi }{\partial t}=\dot {\psi }</math>,
{|class=wikitable
entonces
|
<references/>
|}


<math>\dot
----
{\psi }\left( {\frac{\partial ^2\psi }{\partial
z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial \dot {\psi }}{\partial t}} \right)=0</math>.


Sin embargo,
<math>\textstyle \frac{\partial }{\partial z}\left( {\dot
{\psi }\frac{\partial \psi }{\partial z}} \right)=\dot {\psi }\frac{\partial
^2\psi }{\partial z^2}+\frac{\partial \psi }{\partial z}\frac{\partial \dot
{\psi }}{\partial z}</math>
y además
<math>\textstyle \frac{\partial }{\partial t}\left( {\frac{\partial \psi
}{\partial z}} \right)^2=2\frac{\partial \psi }{\partial z}\frac{\partial
\dot {\psi }}{\partial z}</math>.
De manera que el primer término de la ecuación diferencial puede escribirse como


<math>-\dot {\psi }\frac{\partial ^2\psi }{\partial z^2} =
{1 \over 2}\frac{\partial }{\partial t}\left( {\frac{\partial \psi }{\partial z}}
\right)^2-\frac{\partial }{\partial z}\left( {\dot {\psi }\frac{\partial
\psi }{\partial z}} \right)</math>;


mientras que el segundo término que involucra segundas derivadas temporales puede reescribirse como




------------------
[[categoría: Ondas]]
-------------

Revisión del 16:30 20 jun 2008

[1]POLARIZACIÓN



Introducción



La polarización electromagnética es un fenómeno que puede producirse en las ondas electromagnéticas, como la luz, por el cual el campo eléctrico oscila en un plano determinado, denominado plano de polarización. Este plano puede definirse por dos vectores, uno de ellos paralelo a la dirección de propagación de la onda y otro perpendicular a esa misma dirección. En una onda electromagnética sin polarizar, al igual que en cualquier otro tipo de onda transversal sin polarizar, las oscilaciones se producen en todas las direcciones normales a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales, como las ondas sonoras, no pueden ser polarizadas porque su oscilación se produce en la misma dirección que su propagación.

Una onda electromagnética es una onda transversal compuesta por un campo eléctrico y un campo magnético simultáneamente. Ambos campos oscilan perpendicularmente entre sí según las ecuaciones de Maxwell.


Para explicar el fenómeno de la polarización vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal entonces tomamos las ecuaciones de Maxwell las cuales establecen la existencia de ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta por campos eléctricos y magnéticos que son perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).(véase también soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional)


La solución mas simple a las ecuaciones anteriores es una onda sinodal para las cuales las magnitudes de campo E y B varían en función de de acuerdo con las expresiones.


Habitualmente se decide por convenio que para el estudio de la polarización se atienda exclusivamente al campo eléctrico, ignorando el campo magnético, ya que el vector de campo magnético puede obtenerse a partir del vector de campo eléctrico, pues es perpendicular y proporcional a él.


Como objetivo demostraremos que bajo ciertas condiciones estas ondas transversales con vectores de campo eléctrico en todas las direcciones transversales pueden ser polarizadas de diversas formas. Esto quiere decir que sólo ciertas orientaciones de los vectores del campo eléctrico están presentes en la onda polarizada.

Polarización de ondas luminosas



Un haz de luz está formado por un gran número de ondas emitidas por los átomos de la fuente luminosa. Cada átomo produce una onda que tiene una orientación particular del campo eléctrico. La dirección de polarización de cada una de estas ondas se define como la dirección en la que vibra su campo eléctrico.

Consideremos la onda resultante del haz de luz que es una superposición de ondas en las que sus campos eléctricos que vibran en muchas direcciones distintas. El resultado de un rayo no polarizado se ilustra en la figura 1 La dirección de propagación es perpendicular a la pantalla. Las flechas muestran unas cuantas direcciones posibles de los vectores del campo eléctrico conforman el has resultante.


fig.1, polarización lineal


Podemos definir uno onda linealmente polarizada[2] si en todo momento el campo eléctrico resultante E vibra lo misma dirección en un punto en particular. El plano formado por E y la dirección de propagación se conoce como plano de polarización de la onda.

fig.2 [3],plano de polarización

En la figura 2 se muestra una onda transversal linealmente polarizada, se muestra el plano de polarización como ya se estableció anteriormente este plano es el formado por la oscilación del campo eléctrico y la dirección de propagación de la onda.

Polarización Lineal

Imaginemos dos ondas de luz armónica[4],linealmente polarizadas, de la misma frecuencia, moviéndose en la misma dirección. Si sus vectores de campo eléctrico son coloniales las perturbaciones superpuestas se combinaran simplemente para formar una onda resultante lineal mente polarizada. Por otro lado si las dos ondas de luz son tales que la dirección de sus campos eléctricos respectivos son perpendiculares entre si, la onda resultante puede o no ser linealmente polarizada Se puede representar las dos perturbaciones ópticas ortogonales ya consideradas antes como:



donde es la diferencia de fase y es la fase con la misma dependencia espacio temporal.

Donde la perturbación óptica resultante es la suma vectorial de estas dos ondas perpendiculares

si o múltiplo entero de

fig.3 polarización lineal




La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como


La resultante será un una onda definida por un vector de dirección fija y de amplitud oscilante, esta onda también es linealmente polarizada

Ahora supongamos que multiplo entero impar de

La onda en la dirección queda



fig.4 polarización lineal

La podemos reescribir como


La representación vectorial de esta perturbación óptica queda como


Esta de nuevo es linealmente polarizada pero se ha girado en el plano de vibración respecto a la condición anterior.

La orientación de la dirección de polarización en el plano (x, y) depende del coeficiente



fig.5 [5], Polarización lineal; Onda resultante


En la figura 7 se muestra la perturbación óptica resultante de la superposición de las dos ondas planas transversales mencionadas con su desfase .


Generalización de Polarización Lineal




Las siguientes figuras representan la polarización lineal,la figura 5 muestran la variación del vector de campo eléctrico (azul) con el tiempo (el eje vertical), con sus componentes X e Y (roja/izquierda y verde/derecha), y la figura 6 muestra la trayectoria trazada por la punta del vector en el plano (púrpura). corresponde a la polarización lineal.

fig.6 polarización lineal
fig.5 [6] Diagrama de polarización lineal



En la figura de la derecha, la polarización es lineal y la oscilación el plano perpendicular a la dirección de propagación se produce a lo largo de una línea recta. Se puede representar cada oscilación descomponiéndola en dos ejes X e Y. La polarización lineal se produce cuando ambas componentes están en fase (con un ángulo de desfase nulo, cuando ambas componentes alcanzan sus máximos y mínimos simultáneamente) o en contratase (con un ángulo de desfase de 180º, cuando cada una de las componentes alcanza sus máximos cuando la otra alcanza sus mínimos). La relación entre las amplitudes de ambas componentes determina la dirección de la oscilación, que es la dirección de la polarización lineal.

Polarización Circular

Polarización Circular a Derechas

Otro caso especial de interés particular aparece cuando ambas ondas constituidas tiene igual amplitud Es decir


Y además su diferencia de fase relativa


es decir



Reescribimos


La ecuación de la onda queda



Podemos observar que la amplitud escalar




Donde


es una constante, pero la dirección de es variable con el tiempo y no esta restringida como antes a un solo plano

Mantenemos un punto arbitrario y hacemos variar el tiempo, escojamos dos puntos arbitrarios , Evaluando estos puntos en la ecuación de onda obtenemos las siguientes ecuaciones para




para un tiempo





Podemos notar que el vector resultante para un tiempo uno se encuentra entre los ejes positivos y el vector resultante para un tiempo dos se encuentra sobre el eje entonces el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el sentido de la manecillas de el reloj con una frecuencia angular vista por un observador hacia quien la onda se esta moviendo. Esta onda se dice que tiene polarización circular a la derecha.

Polarización Circular a Izquierdas

En otro caso si el desfase es


es decir



Entonces



Se pude reescribir como


La ecuación de la onda queda como


Nuevamente mantenemos un punto arbitrario hacemos variar el tiempo, escojamos dos puntos arbitrarios ,


Tenemos las siguientes ecuaciones


para un tiempo





Para este caso notamos que el vector resultante para un tiempo uno se encuentra entre los ejes positivo y negativo el vector resultante para un tiempo dos se encuentra sobre el eje entonces el vector de campo eléctrico resultante dio un pequeño giro en el conta de las manecillas de el reloj con una frecuencia angular . Esta onda se dice que tiene polarización circular a izquierda.

Generalización de Polarización Circular



Recordemos que las siguientes figuras muestran la variación del vector de campo eléctrico (azul) con el tiempo (el eje vertical), con sus componentes X e Y (roja/izquierda y verde/derecha), y la trayectoria trazada por la punta del vector en el plano (púrpura).

fig.7 polarización circular
fig.8[7], Diagrama de polarización circular



















En la figura las dos componentes ortogonales tienen exactamente la misma amplitud y están desfasados exactamente 90º. En este caso una componente se anula cuando la otra componente alcanza en su amplitud máxima o mínima. Existen dos relaciones posibles que satisfacen esta exigencia, de forma que la componente x puede estar 90º adelantada o retrasada respecto a la componente y.. El sentido (horario o antihorario) en el que gira el campo eléctrico depende de cuál de estas dos relaciones se dé. En este caso especial la trayectoria trazada en el plano por la punta del vector de campo eléctrico tiene la forma de una circunferencia, por lo que en este caso se habla de polarización circular.


Polarización Elíptica



fig.9 polarización eliptica
fig.10 [8], Diagrama de polarización elíptica



Polarización Elíptica

En la figura se representa la polarización elíptica. Este tipo de polarización corresponde a cualquier otro caso diferente a los anteriores, es decir, las dos componentes tienen distintas amplitudes y el ángulo de desfase entre ellas es diferente a 0º y a 180º (no están en fase ni en contrafase).


Ecuación general de la polarización elíptica


Descripción formal de la polarización


Análisis Geométrico




Para describir la polarización de una manera más general, primero recordemos un poco de geometría: Pretendemos llegar de ecuaciones para métricas de un círculo o una elipse a sus ecuaciones formales Tomemos la ecuaciones para métricas para


Reescribimos



Elevando al cuadrado ambos miembros y sumándolos tenemos


si tenemos la ecuación forma de un circulo de radio

si tenemos la ecuación forma de una elipse

Análisis con Ondas Transversales




Para realizar el tratamiento de la descripción matemática formal de la polarización realizaremos un tratamiento similar al anterior.

Sean las ondas planas transversales


donde es la diferencia de fase y es la fase.

Para simplificar los cálculos a realizar reescribimos las ecuaciones anteriores


Dividiendo ambos lados entre y respectivamente tenemos que


También la podemos escribir como utilizando la identidad trigonométrica.


Sustituimos la en


Por otro lado multiplicamos la ec(1) por tenemos que


Elevando estas dos ultimas ecuaciones al cuadrado


Sumandolas se obtiene



Esta ecuación la igualamos a


Factorizando el tercer y cuarto miembro de la ecuación tenemos que


Por otro lado de la ecuación despejamos y multiplicamos por dos para dejar todo en términos de los campos eléctricos.



Reducimos términos semejantes


Factorizando primer y tercer miembro



Llegamos a la ecuación general de la elipse



si tenemos que



Recordemos que es el desfase de las dos ondas transversales planas que se superponen .La podemos factorizar quedando como.



Esta es la ecuación de una recta la cual expresa la polarización lineal


si o múltiplo entero de y


Resulta la ecuación general del círculo


Podemos notar que en este desfase que se deduce de esta ecuación coincide con los ya mencionadas anteriormente.

[9]

Referencias




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  2. Física Raymond A.Serway . Volumen II[cap. p.521]
  3. Física Raymond A.Serway . Volumen II[cap. p.521]
  4. E Hetch. Optica. Addison Weseley, 3ra edition, 2000.
  5. E Hetch. Optica. Addison Weseley, 3ra edition, 2000.
  6. http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n
  7. http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n
  8. http://gl.wikipedia.org/wiki/Polarizaci%C3%B3n
  9. F.G.Smith y J.H Thompson [cap. p.102-107]