Ondas: vectoriales

POLARIZACIÓN

Introducción

Para explicar el fenómeno de la polarización vamos a tomar a la luz como modelo ya que esta se comporta como una onda transversal entonces tomamos las ecuaciones de Maxwell las cuales establecen la existencia de ondas electromagnéticas las cuales son transversales ( esta compuesta por campos eléctricos y magnéticos que son perpendiculares en la dirección de propagación de la onda).

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {E} }{\partial \mathbf {z} ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {v} ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {E} }{\partial \mathbf {t} ^{2}}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^2\Beta}{\partial\mathbf{z}^2} = \frac{1}{\mathrm{v}^2} \frac{\partial^2\Beta}{\partial\mathbf{t}^2}

La solución mas simple a las ecuaciones anteriores es una onda sinodal para las cuales las magnitudes de campo E y B varían en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (z ,t) de acuerdo con las expresiones.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Epsilon (z,t) = \Epsilon_0y \cos (kz - \omega t) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Beta (z,t) = \Epsilon_0x \cos (kz - \omega t) \,\!

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Epsilon_y (z,t) = \hat{j} \Epsilon_0y \sin (kz - \omega t) $\mathrm {E} _{x}(z,t)={\hat {j}}\mathrm {E} _{0}x\sin(kz-\omega t)\,\!$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{a} = (x, y, z) , o Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{a}(x, y, z) .

Si se desea expresar al vector como combinación de los vectores, se representará como:

${\vec {a}}=x{\hat {i}}+y{\hat {j}}+z{\hat {k}}$

Habitualmente se decide por convenio que para el estudio de la polarización se atienda exclusivamente al campo eléctrico, ignorando el campo magnético, ya que el vector de campo magnético puede obtenerse a partir del vector de campo eléctrico, pues es perpendicular y proporcional a él.

Como objetivo demostraremos que bajo ciertas condiciones estas ondas transversales con vectores de campo eléctrico en todas las direcciones transversales pueden ser polarizadas de diversas formas. Esto quiere decir que sólo ciertas orientaciones de los vectores del campo eléctrico están presentes en la onda polarizada.

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La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función $\textstyle {f(x)}$ con un periodo espacial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle\lambda puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de $\textstyle \lambda$ (es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle\lambda ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle\frac{\lambda}{2} ,$\textstyle {\frac {\lambda }{3}}$, etc). La fórmula matemática de esta representación en serie de Fourier es:

$f(x)=C_{0}+C_{1}cos\left({\frac {2\pi }{\lambda }}x+\varepsilon _{1}\right)+C_{2}cos\left({\frac {2\pi }{\frac {\lambda }{2}}}x+\varepsilon _{2}\right)+...(1)$

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donde los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C son constantes, y por supuesto, el perfil $f(x)$ puede corresponder a una onda viajera Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x-vt)

Polarización de ondas luminosas

Un haz de luz está formado por un gran número de ondas emitidas por los átomos de la fuente luminosa. Cada átomo produce una onda que tiene una orientación particular del campo eléctrico. La dirección de polarización de cada una de estas ondas se define como la dirección en la que vibra su campo eléctrico.

Consideremos la onda resultante del has de luz que es una superposición de ondas en las que sus campos eléctricos que vibran en muchas direcciones distintas. El resultado de un rayo no polarizado se ilustra en la figura La dirección de propagación es perpendicular a la pantalla. Las flechas muestran unas cuantas direcciones posibles de los vectores del campo eléctrico conforman el has resultante.

Podemos definir uno onda linealmente polarizada si en todo momento el campo eléctrico resultante E vibra lo misma dirección en un punto en particular. El plano formado por E y la dirección y propagación se conoce como plano de polarización de la onda.

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Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textbf{k}=k_{x}\hat{\textbf{i}}+k_{y}\hat{\textbf{j}}+k_{z}\hat{\textbf{k}} ........ ............... (2)

la ecuación ...(1) puede expresarse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k_{x}(x-x_{0}) + k_{y}(y-y_{0}) + k_{z}(z-z_{0})\hat{ }=0

o como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k_{x}x + k_{y}y + k_{z}z \hat{}=0

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a = k_{x}x_{0} + k_{y}y_{0} + k_{z}z_{0}\ =constante

La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a k es entonces

${\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}=constante=a$

El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición tienen cada uno la misma proyección en la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textbf{k} .

Ahora podemos construir un conjunto de palnos sobre los cuales Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r}) varía de manera sinusoidalen el espacio, es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r})=A Sen (\textbf{k}\cdot\textbf{r})

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r})=A Cos (\textbf{k}\cdot\textbf{r})

o

$\psi ({\textbf {r}})=Ae^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$

Por todas estas expresiones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r}) se mantiene constante sobre cada plano definido por ${\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}=constante$. Como estamos analizando las funciones armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lambda en la dirección de k. En la figura se representa esta clase de expresión. Del infinito número de planos se han dibujado sólo unos pocos, cada uno con una Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r}) diferente. Los planos deberían también haberse dibujado con una extensión espacial infinita, ya qu no se han puesto límites a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textbf{r} . La perturbación ocupa claramente todo el espacio.

Polarización Lineal

Imaginemos dos ondas de luz armónica, linealmente polarizadas, de la misma frecuencia, moviéndose en la misma dirección. Si sus vectores de campo eléctrico son coloniales las perturbaciones superpuestas se combinaran simplemente para formar una onda resultante lineal mente polarizada. Por otro lado si las dos ondas de luz son tales que la dirección de sus campos eléctricos respectivos son perpendiculares entre si, la onda resultante puede o no ser linealmente polarizada Se puede representar las dos perturbaciones ópticas ortogonales ya consideradas antes como:

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Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): R y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): T las amplitudes complejas del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido.

Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{E}

y $\mathbf {H}$, asi como la relacién entre ellos para una onda plana

$\mathbf {H} ={\sqrt {\frac {\varepsilon }{\mu }}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E}$

Para una onda TM (transverso eléctrico) plana

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U_{0}=A+R

Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U\left(z=0\right)=U_{0} existe una onda incidente y una reflejada. Nétese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U es el campo eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuacién (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.

$U\left(z_{l}\right)=T$

El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{1} que es la éltima capa; nosotros preferimos escribir $z_{l}$ (la éltima capa) donde ya solamente hay onda transmitida.

\bibliographystyle{alpha} \bibliography{/home/mfg/acad/ext/ref/libros-doc,/home/mfg/acad/dif/curri/ref-mias/mfg-arti}

\appendix

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La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante

la transformacién $U=u{\sqrt {\mu }}$, entonces la primera derivada es

${\frac {\partial U}{\partial z}}=\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u\mu ^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial \mu }{\partial z}}=\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)$

mientras que la segunda derivada es

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{2}}\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)+\mu ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}+{\frac {1}{2}}u{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)$

que podemos reagrupar como

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=\mu ^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}{\frac {\partial u}{\partial z}}+\left({\frac {1}{4}}\left({\frac {\partial \ln \mu }{\partial z}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\ln \mu }{\partial z^{2}}}\right)u\right]$

Polarización Circular

• Filtro polarizador
• Óptica

Supongamos $\psi _{1}$ y $\psi _{2}$ soluciones separadas de la ecuación de onda. Se deduce que también $\psi _{1}+\psi _{2}$ representa una solución. Esto se denomina principio de superposición.

Es cierto que

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}$ y ${\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Sumando estos resulatdos

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Por lo tanto

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})$

Superposición de ondas

Sea $\psi _{1}(r,t)$,$\psi _{2}(r,t)$,..........,$\psi _{n}(r,t)$ soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional. ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$

Polarización Elíptica

$\psi (r,t)=$

REPRESENTACIÓN COMPLEJA cualquier número complejo se puede representar como $z=Re(z)+iIm(z)$

En la forma polar donde $Re(z)=rcos\theta$ y$Im=rsen\theta$

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Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

$\nabla \cdot \left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

${\frac {\partial }{\partial z}}\left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Descripción formal de la polarización

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Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

$\nabla \cdot \left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

${\frac {\partial }{\partial z}}\left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

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Recordemos que la ecuación de conservación tiene la forma

$\nabla \cdot \left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Para una dimensión espacial, digamos en la dirección z, la ecuación de continuidad es

${\frac {\partial }{\partial z}}\left(\triangleright \psi _{\rho }\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{\rho }=0$

Energía de una onda

Ecuación de conservación a partir de la ecuación de onda en 1+1 dimensiones

La ecuación de onda para una dimensión espacial es

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0$

se multiplica por un factor $\textstyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\dot {\psi }}$, entonces

${\dot {\psi }}\left({{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial {\dot {\psi }}}{\partial t}}}\right)=0$.

Sin embargo, $\textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}\left({{\dot {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}}\right)={\dot {\psi }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {\partial {\dot {\psi }}}{\partial z}}$ y además $\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)^{2}=2{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {\partial {\dot {\psi }}}{\partial z}}$. De manera que el primer término de la ecuación diferencial puede escribirse como

$-{\dot {\psi }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={1 \over 2}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)^{2}-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({{\dot {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}}\right)$;

mientras que el segundo término que involucra segundas derivadas temporales puede reescribirse como

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