Ondas: superposicion

La forma de la ecuación diferencial de onda pone de manifiesto una propiedad interesante de las ondas, que es bastante distinta del comportamiento de un flujo de partículas clasicas .Supongamos que las funciones de onda $\psi _{1}$ y $\psi _{2}$ sean soluciones separadas de la ecuación de onda; de ello se deduce que también $\psi _{1}+\psi _{2}$ representa una solución.

Esto se denomina Principio de superposición y podra demostrarse facilmente puesto que tiene que ser cierto que

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}$ y ${\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Sumando estos resulatdos

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Por lo tanto

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})$

que establece que efectivamente $\psi _{1}+\psi _{2}$

es una solución. Esto quiere decir que cuando dos ondas separadas llegan al mismo sitio en el espacio en donde se superponen, se sumaran o se sustraeran simplemente.

La perturbación rseultante en cada punto de la zona de superposición es la suma algebraica de las ondas constituyentes individuales en ese punto.Una ves que hayan pasado por el área donde las ondas coexisten, cada cual saldra y se alejara, quedando inalterada por el encuentro.

Examinemos detenidamente las dos ondas coexistentes en la figura 1.En cada punto(es decir, cada valor de kx, sumamos simplemente $\psi _{1}+\psi _{2}$, pudiendo cualquieran de los dos ser positivo o negativo.

Figura 1.

.

Recuerde que dondequiera que una componente de la onsda sea cero (por ejemplo, $\psi _{1}=0$ la perturbación resultante equivaldrá al valor de la otra componente de la onda distinto de cero ($\psi _{2}$)y aquellas dos curvas se cruzaran en ese punto

Por otra,$\psi =0$ dondequiera que las dos ondas constituyentes tengan la misma magnitud y signos opuestos (por ejemplo, en kx=+2.67

La figura 2 muestra cómo el resultado de la superposición de dos ondas de amplitud casi igual depende de la diferencia de ángulo de fase entre ellas, por ejemplo en la figura 2 las dos ondas constituyentes tienen la misma fase

Figura 2. Figura 3. Figura 3.

Figura 3.

Superposición de ondas

Sea $\psi _{1}(r,t)$,$\psi _{2}(r,t)$,..........,$\psi _{n}(r,t)$

soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional. ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$

Cualquier combinación lineal de éstas será, a su ves, una solución. Ppr lo tanto

$\psi (r,t)=$

Satisface la ecuación de onda

Esta propiedad denominada Principio de superposición sugiere que la perturbación resultante en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas consecutivas separadas.

Representación compleja

cualquier número complejo se puede representar como $z=Re(z)+iIm(z)$

En la forma polar donde $Re(z)=rcos\theta$ y $Im=rsen\theta$