Ondas: superposicion

Supongamos $\psi _{1}$ y $\psi _{2}$ soluciones separadas de la ecuación de onda. Se deduce que también $\psi _{1}+\psi _{2}$ representa una solución. Esto se denomina principio de superposición.

Es cierto que

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}$ y ${\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Sumando estos resulatdos

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Por lo tanto

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})$

Superposición de ondas

Sea $\psi _{1}(r,t)$,$\psi _{2}(r,t)$,..........,$\psi _{n}(r,t)$ soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional. ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$

Cualquier combinación lineal de éstas será, a su ves, una solución. Ppr lo tanto

$\psi (r,t)=$

Satisface la ecuación de onda

Esta propiedad denominada Principio de superposición sugiere que la perturbación resultante en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas consecutivas separadas.

REPRESENTACIÓN COMPLEJA

cualquier número complejo se puede representar como $z=Re(z)+iIm(z)$

En la forma polar donde $Re(z)=rcos\theta$ y$Im=rsen\theta$

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